數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí).ppt

1、數(shù)理統(tǒng)計(jì)是具有廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容包括兩方面：一如何收集，整理數(shù)據(jù)資料；二如何對(duì)所得的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行分析，研究從而對(duì)所研究的對(duì)象的性質(zhì)，特點(diǎn)作出推斷。后者就是我們所說(shuō)的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題。 本章將介紹總體，隨機(jī)樣本及統(tǒng)計(jì)量等基本概念，并著重介紹幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量及抽樣分布。,第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí),我們將研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)的值的全體稱(chēng)為總體。總體中每個(gè)元素稱(chēng)為個(gè)體。 總體中所包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)稱(chēng)為總體的容量。容量有限的稱(chēng)為有限總體，否則稱(chēng)為無(wú)限總體。 從總體中抽取若干個(gè)體的過(guò)程稱(chēng)為抽樣。抽樣結(jié)果得到的一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)（或觀測(cè)值）稱(chēng)為樣本。樣本所包含個(gè)體的數(shù)量稱(chēng)為樣本容量。 為了使樣本能很好

2、的放映總體的情況，從總體中抽取樣本，必須滿(mǎn)足下述兩個(gè)條件： .代表性 因抽取樣本要反映總體，自然要求每個(gè)個(gè)體和總體具有相同分布。 .獨(dú)立性 各次抽取必須是相互獨(dú)立的，即每次抽樣的結(jié)果既不影響其他各次抽樣的結(jié)果，也不受其他各次抽樣結(jié)果的影響。 這種隨機(jī)的，獨(dú)立的抽樣方法稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。由此得到的樣本稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。,6.1 隨機(jī)樣本,定義設(shè)總體是具有某一分布函數(shù)的隨機(jī)變量，如果隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，且都與X具有相同的分布，則稱(chēng)，為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱(chēng)樣本，n稱(chēng)為樣本容量。 對(duì)總體X進(jìn)行一次具體的抽樣并作觀測(cè)之后，得到樣本，的確切數(shù)值x，x，x，稱(chēng)為樣本觀察值（或觀測(cè)值），簡(jiǎn)稱(chēng)樣本值。

3、,如果總體的分布函數(shù)為（），則樣本，.的聯(lián)合分布函數(shù)為 F*(x1,x2,.xn)=F(x1)F(x2)F(xn)= 如果總體X是離散型隨機(jī)變量，且概率密度為 PX=xi，i=1,2,. 則樣本，.的聯(lián)合概率密度為 P*X1=x1,X2=x2,.Xn=xn=PX1=x1PX2=x2PXn=xn= 如果總體X是連續(xù)型隨機(jī)變量，且有概率密度f(wàn)（x），則樣本，.的聯(lián)合分布函數(shù)為 f*（x1,x2,.xn）=f（x1）f（x2）f（xn）=,6.2 抽樣分布,樣本是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的依據(jù)，在應(yīng)用時(shí)，往往不是直接使用樣本本身，而是針對(duì)不同的問(wèn)題構(gòu)造樣本的適當(dāng)函數(shù)，利用這些樣本的函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。 一統(tǒng)計(jì)量的

4、概念 定義1 設(shè)，為來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，g（，）是，的函數(shù)，若g中不含未知參數(shù)，則稱(chēng)g（，）是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。 因?yàn)椋际请S機(jī)變量，而統(tǒng)計(jì)量g（，）是隨機(jī)變量的函數(shù)，即樣本的函數(shù)，因此統(tǒng)計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)x，x，x是相應(yīng)于，的樣本值，則g（x，x，x）稱(chēng)為g（，）的觀察值。,二常用的統(tǒng)計(jì)量,樣本均值 樣本方差 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 樣本k階原點(diǎn)矩 樣本k階中心矩,顯然有 ，它們的觀察值分別為,這些觀測(cè)值仍分別稱(chēng)為樣本均值，樣本方差，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，樣本k階原點(diǎn)矩，樣本k階中心矩。 我們指出，若總體X的k階原點(diǎn)距 存在，則當(dāng)n時(shí)， 即：樣本的k階原點(diǎn)距依概率收斂于總體的k階原點(diǎn)距。 事實(shí)上，由于，相互獨(dú)立，

5、且與X同分布，故X1k，X2k，.，Xnk相互獨(dú)立，且與Xk同分布，故有 E（X1k）=E（X2k）=E（Xnk）=k，k=1,2,. 由第五章的辛欽大數(shù)定律知 進(jìn)而根據(jù)第五章中關(guān)于依概率收斂的序列的性質(zhì)知道 其中g(shù)為連續(xù)函數(shù)。這也是第七章所要介紹的矩估計(jì)法的理論依據(jù)。,三抽樣分布,統(tǒng)計(jì)量的分布稱(chēng)為抽樣分布，當(dāng)總體的分布函數(shù)已知時(shí)，抽樣分布是確定的。然而要求出統(tǒng)計(jì)量的精確分布，一般來(lái)說(shuō)是困難的。下面介紹來(lái)自正態(tài)總體的幾個(gè)重要的抽樣分布。 2分布 定義2 設(shè)，是來(lái)自正態(tài)總體N（0,1）的樣本，稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量 2=X2+X2+.+X2 服從自由度為n的2分布，記作22（n）。,可以證明，2（n）分布的概

6、率密度為,其中（）為Gamma函數(shù)，f（x）的圖形如圖所示 2分布具有下列性質(zhì),性質(zhì)1 若22（n），則E（2）=n，D（2）=2n性質(zhì)2 設(shè)X2（n1），Y2（n2），且相互獨(dú)立，則有X+Y2（n1+n2） 定義3 設(shè)設(shè)X2（n），對(duì)于給定的正數(shù)（02（n）=+2（n）f（x）dx=的點(diǎn)2（n）為2（n）分布的上分位點(diǎn)。 如圖，2（n）就是使得圖中陰影部分的面積為時(shí)，在x軸上確定出來(lái)的點(diǎn)，對(duì)于不同的與n，上分位點(diǎn)的值已制成表格，可以查用，該表只詳列到n=45為止，費(fèi)歇曾證明，當(dāng)n充分大時(shí)，有2（n）1/2（u+2n-1）2，當(dāng)n45時(shí)，可用此式求得2（n）分布的上分位點(diǎn)的近似值，其中是u標(biāo)準(zhǔn)

7、正態(tài)分布的上分位點(diǎn)。,定義4 設(shè)XN（0,1），對(duì)給定的正數(shù)（0u=，即（u）=1-，則稱(chēng)點(diǎn)u為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）的上分位點(diǎn)，,如圖，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)可自附表查得，如，設(shè)=0.05，滿(mǎn)足PXu=0.05的點(diǎn)u查表知u=1.645。,定義5 設(shè)XN（0,1），對(duì)任意給定的正數(shù)（0u/2=，即 則稱(chēng)點(diǎn)u/2為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0,1）的雙側(cè)分位點(diǎn)。如圖 求雙側(cè)分位點(diǎn)u/2，即是求上/2分位點(diǎn)u/2。,t分布,定義6 設(shè)XN（0,1），Y2（n），且X和Y相互獨(dú)立，稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量 服從自由度為n的t分布（或稱(chēng)學(xué)生氏分布），記作Tt（n）。 可以證明，t（n）分布的概率密度為 如圖,f（x）的圖形

8、關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得 故當(dāng)n充分大時(shí)，t分布近似于N（0,1）分布，但對(duì)于較小的n，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相差較大。 定義7 設(shè)Tt（n），對(duì)于給定的正數(shù)（0t（n）=+2（n）f（x）dx=的點(diǎn)t（n）為t（n）分布的上分位點(diǎn)，如圖,由t分布上分位點(diǎn)的定義及f（x）圖形的對(duì)稱(chēng)性知 t1-（n）=-t（n） t分布的上分位點(diǎn)可通過(guò)附表查得，在n45時(shí)，就用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)近似：t（n）u,F分布,定義8 設(shè)X2（n1），Y2（n2），且和Y相互獨(dú)立，稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量 服從自由度為（n1，n2）的F分布，記作（n1，n2）. 可以證明，（n1，n2）分布的概率密度為,如圖,由F分布的定義

9、可以看出，若（n1，n2），則 1/FF（n2，n1）。,定義9,設(shè)（n1，n2），對(duì)任意給定的正數(shù)（0F（n1，n2）= 的點(diǎn)F（n1，n2）為F（n1，n2）分布的上分位點(diǎn)。 如圖,F分布的上分位點(diǎn)具有如下性質(zhì)：,正態(tài)總體的均值與樣本方差的分布,定理1 設(shè)，是總體N（，2）的樣本， 為樣本均值，則 由此定理與概率論的知識(shí)可得下面的推論。 推論 設(shè)總體XN（，2），為來(lái)自總體X的樣本，則有,定理2 設(shè)，是總體N（，2）的樣本， ，S2分別是樣本均值和樣本方差，則有 （1） （2） 和S2相互獨(dú)立。,定理3 設(shè)，是總體N（，2）的樣本， ，S2分別是樣本均值和樣本方差，則有,定理4 設(shè)總體X N（1，12），總體（，），分別獨(dú)立地從總體和總體中抽取容量分別為和的樣本，樣本均值分別為和，則 推論在定理的條