理論力學(xué)第11章動(dòng)量定理.ppt

1、第十一章 動(dòng)量定理,主要內(nèi)容,11.2 力的沖量,11.3 動(dòng)量定理,11.4 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,11.1 質(zhì)點(diǎn)及質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量,動(dòng)量定理,對(duì)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題： 建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程求解。,對(duì)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題： 理論上講，n個(gè)質(zhì)點(diǎn)列出3n個(gè)微分方 程， 聯(lián)立求解它們即可。,實(shí)際上的問(wèn)題是：,2、大量的問(wèn)題中，不需要了解每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn) 動(dòng),僅需要研究質(zhì)點(diǎn)系整體的運(yùn)動(dòng)情況。,1、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問(wèn)題）非常困難。,從本章起, 將要講述解答動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的其它方法, 而首先要討論的是動(dòng)力學(xué)普遍定理(包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理及由此推導(dǎo)出來(lái)的其它一些定理)。它們和牛頓定律一樣，只適用于慣性坐標(biāo)系

2、。,動(dòng)量定理,它們都可以從動(dòng)力學(xué)基本方程 推導(dǎo)出來(lái)。具有簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)形式，明確的物理意義， 表明兩種量 一種是運(yùn)動(dòng)特征量(動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能等)，一種是力的作用量(沖量、力矩、功等) 之間的關(guān)系，從不同側(cè)面對(duì)物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)進(jìn)行深入的研究。在一定條件下，用這些定理來(lái)解答動(dòng)力學(xué)問(wèn)題非常方便簡(jiǎn)捷 。,本章研究質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理，建立了動(dòng)量的改變與力的沖量之間的關(guān)系，并研究質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的另一重要形式質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。,11.1 質(zhì)點(diǎn)及質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量,1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量,質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積，稱(chēng)為該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量,1）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量是矢量，它的方向與質(zhì)點(diǎn)速度 的方向一致,2）動(dòng)量的國(guó)際單位是,質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量形式,動(dòng)

3、量在空間直角坐標(biāo)系中的投影形式,2、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量,質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量。,令 為質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，定義質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量中心（質(zhì)心）C的矢徑為,則,質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量等于其全部質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積，動(dòng)量的方向與質(zhì)心速度的方向相同。,11.1 質(zhì)點(diǎn)及質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量,質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量在直角坐標(biāo)系oxyz下的投影表達(dá)式為：,例1,長(zhǎng)為 ，質(zhì)量為 的勻質(zhì)細(xì)桿，在平面內(nèi)繞 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為 ，求細(xì)桿動(dòng)量。,解：細(xì)桿質(zhì)心的速度,則細(xì)桿的動(dòng)量為,方向與 相同,11.1 質(zhì)點(diǎn)及質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量,例2,如圖勻質(zhì)滾輪，質(zhì)量為 ，輪心速度為 ， 則動(dòng)量為,例3,如圖繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)的勻質(zhì)輪，無(wú)論有多大的速度和質(zhì)量，由于質(zhì)心不動(dòng)

4、，其動(dòng)量總是零。,11.1 質(zhì)點(diǎn)及質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量,11.2 力的沖量,作用在物體上的作用力與其作用時(shí)間的乘積，稱(chēng)為力的沖量。,1）力是常矢量：,2）力是變矢量：,力的元沖量,力 在有限時(shí)間間隔內(nèi)的沖量為,沖量的國(guó)際單位是,1、力的沖量,設(shè)力 在直角坐標(biāo)系下的解析投影式,則沖量在x,y,z三個(gè)軸上的投影式分別為,2、合力的沖量,11.2 力的沖量,共點(diǎn)力系的合力的沖量等于力系中各分力的沖量的矢量和。,如果有 這n個(gè)力組成的共點(diǎn)力系作用在物體上，合力為 ，則共點(diǎn)力系的合力在時(shí)間間隔 內(nèi)的沖量為,11.2 力的沖量,11.3 動(dòng)量定理,1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理,微分形式：,質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的微分等于作用于質(zhì)點(diǎn)上所有

5、力的元沖量的矢量和 。,或,積分形式：,質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量在有限時(shí)間間隔內(nèi)的改變等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的所有力在這段時(shí)間間隔內(nèi)的沖量的矢量和,2、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理,設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 ，速度為 ，外界物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用力為 ，稱(chēng)為外力，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)其他質(zhì)點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的作用力為 ，稱(chēng)為內(nèi)力。,根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理有,這樣的方程共有n個(gè)，將這n個(gè)方程兩端分別相加，得,因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)相互作用的內(nèi)力總是大小相等，方向相反 ，且成對(duì)地出現(xiàn)，相互抵消，因此內(nèi)力沖量的矢量和等于零。,1）微分形式：,11.3 動(dòng)量定理,又因 ，于是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式為,即,質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的一階

6、導(dǎo)數(shù)等于作用在該質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力的矢量和。,向直角坐標(biāo)系oxyz投影可得：,質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在某坐標(biāo)軸上的投影對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用在該質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力在該軸上的投影的代數(shù)和。,11.3 動(dòng)量定理,2)積分形式:,質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式：在某一段時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變，等于在這段時(shí)間間隔內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力的沖量的矢量和。,投影到直角坐標(biāo)軸上得：,在某一段時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在某一軸上的投影的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力在同一時(shí)間間隔內(nèi)的沖量在同一坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和。,11.3 動(dòng)量定理,電動(dòng)機(jī)的外殼用螺栓固定在水平基礎(chǔ)上，定子的質(zhì)量是m1，轉(zhuǎn)子的質(zhì)量是m2，轉(zhuǎn)子的軸

7、線通過(guò)定子的質(zhì)心O1。制造和安裝的誤差，使轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2對(duì)它的軸線有一個(gè)很小的偏心距b（圖中有意夸張）。試求電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子以勻角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，電動(dòng)機(jī)所受的總水平力和鉛直力。,例 題 11-1,11.3 動(dòng)量定理,運(yùn) 動(dòng) 演 示,例 題 11-1,11.3 動(dòng)量定理,解:取整個(gè)電動(dòng)機(jī)（包括定子和轉(zhuǎn)子）作為研究對(duì)象。選坐標(biāo)系如圖所示。,質(zhì)心 C 的坐標(biāo)為,質(zhì)心 C 的運(yùn)動(dòng)微分方程為,例 題 11-1,11.3 動(dòng)量定理,從而求得質(zhì)心加速度在坐標(biāo)系上的投影,把上式代入式(1)和(2)，即可求得,Fx = m2b2cos t,Fy = (m1 + m2)g m2b2sint,例 題 11-1,11.3 動(dòng)

8、量定理,物塊A可沿光滑水平面自由滑動(dòng)，其質(zhì)量為mA；小球B的質(zhì)量為mB ，以細(xì)桿與物塊鉸接，如圖所示。設(shè)桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量不計(jì)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止，并有初始擺角0；釋放后，細(xì)桿近似以 規(guī)律擺動(dòng)（k為已知常數(shù)），求物塊A的最大速度。,例 題 11-2,11.3 動(dòng)量定理,運(yùn) 動(dòng) 演 示,例 題 11-2,11.3 動(dòng)量定理,取物塊和小球?yàn)檠芯繉?duì)象，其上的重力以及水平面的約束力均為鉛垂方向。此系統(tǒng)水平方向不受外力作用，則沿水平方向動(dòng)量守恒。,細(xì)桿角速為 ，當(dāng) 時(shí)，其絕對(duì)值最大，此時(shí)應(yīng)有 ，即 。,v,vr,解：,由此，當(dāng)細(xì)桿鉛垂時(shí)小球相對(duì)于物塊有最大的水平速度，其值為,例 題 11-2,11.3 動(dòng)量定理

9、,當(dāng)此速度vr向左時(shí)，物塊應(yīng)有向右的絕對(duì)速度，設(shè)為v，而小球向左的絕對(duì)速度值為va=vrv。根據(jù)動(dòng)量守恒條件，有,解出物塊的速度為,當(dāng) 時(shí)，也有 。此時(shí)小球相對(duì)于物塊有向右的最大速度 k0l ，可求得物塊有向左的最大速度,例 題 11-2,11.3 動(dòng)量定理,圖示單擺B的支點(diǎn)固定在一可沿光滑的水平直線軌道平移的滑塊A上，設(shè)A，B的質(zhì)量分別為mA，mB，運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)， 。試求單擺B的軌跡方程。,例 題 11-3,11.3 動(dòng)量定理,解：以系統(tǒng)為對(duì)象，其運(yùn)動(dòng)可用滑塊A的坐標(biāo)x和單擺擺動(dòng)的角度兩個(gè)廣義坐標(biāo)確定。,解出,單擺B的坐標(biāo)為,mB g,則,由于沿x方向無(wú)外力作用，且初始靜止，系統(tǒng)沿x軸的動(dòng)量守

10、恒，質(zhì)心坐標(biāo)xC應(yīng)保持常值xC0。,mA g,例 題 11-3,11.3 動(dòng)量定理,消去 ，即的到單擺B的軌跡方程：,是以 x= xC0 , y=0 為中心的橢圓方程，因此懸掛在滑塊上的單擺也稱(chēng)為橢圓擺。,例 題 11-3,11.3 動(dòng)量定理,軌 跡 演 示,例 題 11-3,11.3 動(dòng)量定理,3、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律,如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的主矢恒為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量保持不變，即,若,則,從而,如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力主矢在某一坐標(biāo)軸上的投影恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在該坐標(biāo)軸上的投影保持不變。,即若有,則,以上結(jié)論稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律,質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力可以改變質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量，但不能改變質(zhì)點(diǎn)

11、系的總動(dòng)量，只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量。,11.3 動(dòng)量定理,11.4 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,1、質(zhì)量中心,質(zhì)心位置在直角坐標(biāo)系的投影形式,曲柄滑塊機(jī)構(gòu)如圖所示。設(shè)曲柄OA受力偶作用以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊B沿x軸滑動(dòng)。若OA=AB=l，OA及AB皆為均質(zhì)桿，質(zhì)量皆為m1，滑塊B的質(zhì)量為m2 。試求支座O處的水平約束力。,例 題 11-4,11.4 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,解：選取整個(gè)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，其水平方向只承受O處約束力的作用。,此系統(tǒng)質(zhì)心坐標(biāo)為,Fx,Fy,FN,將xC對(duì)時(shí)間取二階導(dǎo)數(shù),代入上式（a），求得,（a）,列出質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理在x軸上的投影式,例 題 11-4,11.4 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,整個(gè)系統(tǒng)在鉛

12、垂方向除有重力外，O，B兩處受有y方向約束力Fy和FN。列出質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理在y軸上的投影式,質(zhì)心yC對(duì)時(shí)間取二階導(dǎo)數(shù)，代入上式，求得,以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，只能求出O，B兩處y向約束反之和，而不能分別求出各自的值。,例 題 11-4,11.4 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,曲柄滑塊機(jī)構(gòu)如圖所示。設(shè)曲柄OA受力偶作用以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊B沿x軸滑動(dòng)。若OA=AB=l，OA及AB皆為均質(zhì)桿，質(zhì)量皆為m1，滑塊B的質(zhì)量為m2 。試求此系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程、軌跡以及此系統(tǒng)的動(dòng)量。,例 題 11-5,11.4 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,設(shè) t=0 時(shí)OA 桿水平，則有 =t 。,由式,質(zhì)心C的坐標(biāo)為,解：,Fx,Fy,FN,例 題 1

13、1-5,11.4 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,上式也就是此系統(tǒng)質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)方程。由上二式消去時(shí)間t，得,即質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)軌跡為一橢圓，如圖中虛線所示。應(yīng)該指出，系統(tǒng)的質(zhì)心一般不在其中某一物體上，而是空間的某一特定點(diǎn)。,vC,C,例 題 11-5,11.4 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,為求系統(tǒng)的動(dòng)量，由動(dòng)量定理投影式，得,此例中,由質(zhì)心公式得,系統(tǒng)動(dòng)量的大小為,則得系統(tǒng)動(dòng)量沿x，y軸投影：,例 題 11-5,11.4 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,2、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,由動(dòng)量定理的微分形式,對(duì)于質(zhì)量不變的質(zhì)點(diǎn)系,或,質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量和其質(zhì)心加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力的矢量和。這就是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。,質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，只有外力

14、才能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。,11.4 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理, 動(dòng)畫(huà),11.4 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理, 動(dòng)畫(huà),11.4 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的直角坐標(biāo)投影形式：質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量和質(zhì)心加速度在某一坐標(biāo)軸上的投影的乘積等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力在同一坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和。,3、質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律,即：如果作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力的矢量和恒等于零，則質(zhì)心作慣性運(yùn)動(dòng)。,（1）若 ，則 常量,11.4 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,即：如果作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力在某一軸上投影的代數(shù)和恒等于零，則質(zhì)心速度在該軸上的投影保持不變（質(zhì)心沿該軸作慣性運(yùn)動(dòng)）,（2）若 ，則 ，,以上結(jié)論，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律 。,11.4 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,如圖所示，設(shè)電動(dòng)機(jī)沒(méi)用螺栓固定，定子的質(zhì)量是 m1，轉(zhuǎn)子的質(zhì)量是 m2，轉(zhuǎn)子的軸線通過(guò)定子的質(zhì)心 O1。制造和安裝的誤差，使轉(zhuǎn)子的質(zhì)心 O2對(duì)它的軸線有一個(gè)很小的偏心距 e。各處摩擦不計(jì)，初始時(shí)電動(dòng)機(jī)靜止，求轉(zhuǎn)子以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)電動(dòng)機(jī)外殼的運(yùn)動(dòng)。,例 題 11-6,11.4 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,電動(dòng)機(jī)受到的作用力有外殼的重力，轉(zhuǎn)子的重力和地面的法向力。,因?yàn)殡妱?dòng)機(jī)在水平方向沒(méi)有受到外力，且初始為靜止，因此系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)xC保持不