Control_Ch2_MathModel

1、控制工程基礎(chǔ)第二章講師：姚，第二章數(shù)學(xué)模型，1?？刂葡到y(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。非線性數(shù)學(xué)模型的線性化。拉普拉斯變換和逆拉普拉斯變換，4。傳遞函數(shù)，5。系統(tǒng)框圖和信號(hào)流程圖，6。概述，數(shù)學(xué)模型的基本概念，2。數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型的基本概念，數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述靜態(tài)條件下變量之間關(guān)系的代數(shù)方程(變量的導(dǎo)數(shù)為零)。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述變量導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。第二章，數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型的方法，分析方法和實(shí)驗(yàn)方法，根據(jù)系統(tǒng)和部件的變量遵循的物理或化學(xué)規(guī)律，寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立模型。人為地向系統(tǒng)施加某個(gè)測試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型對其進(jìn)行近似。這種方法也稱為系統(tǒng)識(shí)別。數(shù)學(xué)模型應(yīng)該反

2、映系統(tǒng)固有的本質(zhì)特征，模型的簡潔性和準(zhǔn)確性應(yīng)該折衷。第2章數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型的形式，時(shí)域：微分方程(一階微分方程系統(tǒng))，微分方程，狀態(tài)方程，復(fù)域：傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，頻域：頻率特性，第2章數(shù)學(xué)模型，1?？刂葡到y(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟，分析系統(tǒng)工作原理和信號(hào)傳遞變換過程，確定系統(tǒng)和各部件的輸入和輸出。從輸入端開始，根據(jù)信號(hào)傳遞和變換的過程，根據(jù)各變量遵循的物理規(guī)律，依次列出各元件和部件的動(dòng)態(tài)微分方程；消除中間變量，得到描述部件或系統(tǒng)的輸入和輸出變量之間關(guān)系的微分方程；標(biāo)準(zhǔn)化：右端輸入、左端輸出、導(dǎo)數(shù)功率降低、第2章數(shù)學(xué)模型、控制系統(tǒng)微分方程式、機(jī)械系統(tǒng)、物理現(xiàn)象在機(jī)械系統(tǒng)中以各種形

3、式出現(xiàn)，可簡化為三個(gè)要素：質(zhì)量、第2章數(shù)學(xué)模型、彈簧、第2章數(shù)學(xué)模型、阻尼、第2章數(shù)學(xué)模型、機(jī)械平移系統(tǒng)、靜態(tài)(平衡)在第2章數(shù)學(xué)模型中，顯然，微分方程系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，其階數(shù)等于系統(tǒng)中獨(dú)立儲(chǔ)能元件(慣性質(zhì)量、彈簧)的數(shù)量。彈簧阻尼系統(tǒng)，該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程是一階常系數(shù)微分方程。第二章數(shù)學(xué)模型，機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，第二章數(shù)學(xué)模型，電氣系統(tǒng)，電阻和電氣系統(tǒng)的三個(gè)基本組成部分：電阻，電容和電感。第二章數(shù)學(xué)模型，電容和電感，第二章數(shù)學(xué)模型，R-L-電容無源電路網(wǎng)絡(luò)，第二章數(shù)學(xué)模型，一般R，L和C都是常數(shù)，上述公式是一個(gè)二階常系數(shù)微分方程。如果L=0，系統(tǒng)簡化為：第2章數(shù)學(xué)模型，有功網(wǎng)，即第2章數(shù)學(xué)模型

4、，總結(jié)，不同物理本質(zhì)的系統(tǒng)可以有相同的數(shù)學(xué)模型，這樣系統(tǒng)的物理性質(zhì)可以被拋棄，具有普遍意義的分析和研究可以用相同的方法(信息法)進(jìn)行。從動(dòng)態(tài)性能的角度來看，具有相同數(shù)學(xué)模型但不同物理本質(zhì)的系統(tǒng)在相同輸入形式的作用下，其輸出響應(yīng)是相似的。相似系統(tǒng)是控制理論中實(shí)驗(yàn)仿真的基礎(chǔ)。在第二章的數(shù)學(xué)模型中，通常，元件或系統(tǒng)的微分方程的階數(shù)等于獨(dú)立的儲(chǔ)能元件(慣性質(zhì)量、彈性元件、電感、電容、液體感應(yīng)、液體容量等)的數(shù)量。)包含在組件或系統(tǒng)中；因?yàn)槊看我粋€(gè)獨(dú)立的能量存儲(chǔ)元件被添加到系統(tǒng)中，在它里面就有一個(gè)額外的能量(信息)交換層。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，它只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。第二章是數(shù)學(xué)模型，線性

5、系統(tǒng)和無如果方程的系數(shù)是常數(shù)，它是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時(shí)間t的函數(shù)，則它是一個(gè)線性時(shí)變系統(tǒng)；線性系統(tǒng)，這意味著該系統(tǒng)滿足疊加原理，即可加性、同質(zhì)性，或者，第二章數(shù)學(xué)模型，以及由非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。為了便于分析，非線性系統(tǒng)通常在合理的條件下簡化為線性系統(tǒng)。實(shí)際系統(tǒng)通常是非線性的，線性僅在一定的工作范圍內(nèi)建立。在第二章，數(shù)學(xué)模型，液體系統(tǒng)，讓液體是不可壓縮的，通過節(jié)流閥的流動(dòng)是湍流。a:盒子橫截面積；在第二章數(shù)學(xué)模型中，上述公式是一個(gè)非線性微分方程，即液位控制系統(tǒng)是一個(gè)非線性系統(tǒng)。由節(jié)流閥的流通面積和流道的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的系數(shù)，當(dāng)流通面積不變時(shí)，該系數(shù)

6、不變。第二章，數(shù)學(xué)模型，線性系統(tǒng)微分方程的一般形式，其中a1，a2，an和b0，b1，bm是實(shí)常數(shù)，mn，由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定。第二章是數(shù)學(xué)模型，第二章是非線性數(shù)學(xué)模型的線性化，并提出了線性化的問題。線性化：在一定條件下，進(jìn)行某種近似或縮小系統(tǒng)的工作范圍，將非線性微分方程近似為線性微分方程進(jìn)行處理。非線性現(xiàn)象：高速阻尼器在機(jī)械系統(tǒng)中，阻尼力與速度的平方成反比；間隙的存在導(dǎo)致齒輪嚙合系統(tǒng)的非線性傳動(dòng)特性：鐵芯的電感、電流和電壓之間的非線性關(guān)系等。第二章，數(shù)學(xué)模型，提出線性化，線性系統(tǒng)有條件存在，只有在一定的工作范圍內(nèi)具有線性特性；非線性系統(tǒng)的分析和綜合非常復(fù)雜。對于實(shí)際系統(tǒng)，在一定條件下，用線性模

7、型逼近非線性模型，可以滿足實(shí)際需要。在第二章數(shù)學(xué)模型中，非線性數(shù)學(xué)模型的線性化，泰勒級(jí)數(shù)展開法，函數(shù)y=f(x)在其平衡點(diǎn)(x0，y0)附近的泰勒級(jí)數(shù)展開式是：在第二章數(shù)學(xué)模型中，如果增量x=x-x0高于一次的項(xiàng)被省略，那么：或者：y-y0=y=Kx，其中：Y0=f (x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程。在第二章數(shù)學(xué)模型中，增量方程的數(shù)學(xué)意義是將參考坐標(biāo)的原點(diǎn)移動(dòng)到系統(tǒng)或部件的平衡工作點(diǎn)。對于實(shí)際系統(tǒng)，以正常工作狀態(tài)作為研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)的所有初始條件都為零。對于多變量系統(tǒng)，如y=f (x1，x2)，泰勒級(jí)數(shù)展開也可用于獲得線性化增量方程。第二章，數(shù)學(xué)模型，增量方程，靜態(tài)方程，其中：第二章，數(shù)

8、學(xué)模型，滑動(dòng)線性化切線法，線性增量平方是：y=xtg，切線法是泰勒級(jí)數(shù)法的一個(gè)特例。第二章，數(shù)學(xué)模型，系統(tǒng)線性化微分方程的建立，確定平衡狀態(tài)下系統(tǒng)各部件工作點(diǎn)的步驟；列出工作點(diǎn)附近各部件的增量方程；消除中間變量并獲得以增量表示的線性化微分方程；第二章數(shù)學(xué)模型，例：液位系統(tǒng)線性化，解：穩(wěn)態(tài)，第二章數(shù)學(xué)模型，那么，由于：注：第二章數(shù)學(xué)模型，在實(shí)際使用中，經(jīng)常省略增量符號(hào)，寫成：所以，此時(shí)，上述公式中的H(t)和qi(t)是平衡工作點(diǎn)的增量。第二章，數(shù)學(xué)模型、線性化處理的注意事項(xiàng)、線性化方程的系數(shù)與平衡工作點(diǎn)的選擇有關(guān)；線性化是有條件的，所以必須注意線性化方程的適用工作范圍；一些典型的本質(zhì)非線性，如

9、繼電器特性、間隙、死區(qū)、摩擦等。由于不連續(xù)性，不能用泰勒展開法進(jìn)行線性化，只有當(dāng)它們對系統(tǒng)影響很小時(shí)才可以忽略，否則只能作為非線性問題處理。第二章數(shù)學(xué)模型，第二章數(shù)學(xué)模型，第三章拉普拉斯變換和拉普拉斯逆變換，拉普拉斯變換，讓函數(shù)f(t) (t0)在任何有限區(qū)間內(nèi)是分段連續(xù)的，并且有一個(gè)正的實(shí)常數(shù)，所以函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換存在并且被定義為：其中：s=j(都是實(shí)數(shù)。第二章數(shù)學(xué)模型，叫做拉普拉斯積分；F(s)稱為拉普拉斯變換或函數(shù)f(t)的鏡像函數(shù)，它是一個(gè)復(fù)函數(shù)；F(t)被稱為F(s)的原始函數(shù)；l是拉普拉斯變換的符號(hào)。逆拉普拉斯變換，而L1是逆拉普拉斯變換的符號(hào)。第二章數(shù)學(xué)模型，拉普拉斯變

10、換的幾個(gè)典型函數(shù)，單位階躍函數(shù)1(t)，第二章數(shù)學(xué)模型，指數(shù)函數(shù)，(A是常數(shù))，第二章數(shù)學(xué)模型，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，從歐拉公式來看，有：第二章數(shù)學(xué)模型，由此可知：同樣的原因：第二章數(shù)學(xué)模型，單位脈沖函數(shù)(t)。單位速度函數(shù)(斜率函數(shù))、第二章數(shù)學(xué)模型、單位加速度函數(shù)、拉普拉斯變換和函數(shù)的逆變換通?？梢灾苯訌睦绽棺儞Q表或通過一定的變換得到。第二章，數(shù)學(xué)模型，拉普拉斯變換積分下限的解釋，在某些情況下，函數(shù)f(t)在t0處有一個(gè)脈沖函數(shù)。這時(shí)，有必要弄清楚拉普拉斯變換的積分下限是0還是0，并將其記為：第二章數(shù)學(xué)模型，拉普拉斯變換的主要定理，疊加定理，齊性：Laf(t)=aLf(t)，a是常數(shù)；疊

11、加：Laf1(t) bf2(t)=aLf1(t) bLf2(t) a，b是常數(shù)；顯然，拉普拉斯變換是線性變換。在第二章，數(shù)學(xué)模型，實(shí)微分定理中，證明了：由于第二章的數(shù)學(xué)模型，也有：其中f (0)和f (0)是當(dāng)t=0時(shí)函數(shù)f(t)的每個(gè)導(dǎo)數(shù)的值。在第二章中，當(dāng)f(t)及其導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)都為零時(shí)(零初始條件)，在第二章中，當(dāng)f(t)在t=0時(shí)具有不連續(xù)性時(shí)，df(t)/dt將在t=0時(shí)包含一個(gè)脈沖函數(shù)。因此，如果f(0) f(0)，那么：第2章數(shù)學(xué)模型，復(fù)微分定理，如果Lf(t)=F(s)，除了F(s)的極點(diǎn)之外，還有：第2章數(shù)學(xué)模型，積分定理，當(dāng)初始條件為零時(shí)：如果f(0) f(0)，如果f(

12、t)=0在t0，那么對于任何0，還有：第2章數(shù)學(xué)模型，位移定理，例如：第2章數(shù)學(xué)模型，初始值定理，這證明：初始值定理建立了函數(shù)f(t)的初始值之間的關(guān)系第二章，數(shù)學(xué)模型、終值定理和數(shù)學(xué)模型，證明了當(dāng)s=0時(shí)，終值定理表明f(t)的穩(wěn)定值與sF(s)的初始值相同。在第二章數(shù)學(xué)模型中，由于卷積定理，如果f(t)g(t)在t0時(shí)為0，f(t)和g(t)的卷積可以表示為：其中f(t)g(t)表示函數(shù)f(t)和g(t)的卷積。第二章數(shù)學(xué)模型，證明：第二章數(shù)學(xué)模型，時(shí)間尺度的變化，例子：第二章數(shù)學(xué)模型，求解拉普拉斯逆變換的部分分式法，部分分式法，如果拉普拉斯變換F(s)的f(t)已經(jīng)分解成以下幾個(gè)分量：F

13、(s)=f1(s)F2(s)fn(F。然后，l-1F(s)=l-1 f1(s)l-1 F2(s)l-1fn(s)=(f1(t)F2(t)fn(t)，第二章數(shù)學(xué)模型，在控制理論中，通常：為了應(yīng)用上述方法，F(xiàn)(s)是ci=bi /a0 (i=0，1，m).這時(shí)，F(xiàn)(s)可以展開成部分分?jǐn)?shù)。在第二章中，數(shù)學(xué)模型F(s)只包含不同的實(shí)極點(diǎn)，其中ai是一個(gè)常數(shù)，它被稱為s=-pi極點(diǎn)的殘數(shù)。所以：第2章數(shù)學(xué)模型，解：第2章數(shù)學(xué)模型，即：第2章數(shù)學(xué)模型，F(xiàn)(s)包含共軛復(fù)極點(diǎn)，假設(shè)F(s)包含一對共軛復(fù)極點(diǎn)-p1和-p2，并且其他極點(diǎn)都是不同的實(shí)極點(diǎn)，那么：其中A1和A2的值由以下公式求解：上在第二章，數(shù)

14、學(xué)模型中，應(yīng)該注意的是F(s)仍然可以分解成以下形式：因?yàn)閜1和p2是共軛復(fù)數(shù)，A1和A2是共軛復(fù)數(shù)。第二章數(shù)學(xué)模型，解：第二章數(shù)學(xué)模型，根據(jù)：有：即：上面公式兩邊的實(shí)部和虛部相等，所以：第二章數(shù)學(xué)模型，查拉圖斯特拉變換表得到：所以：第二章數(shù)學(xué)模型，解：第二章數(shù)學(xué)模型在第二章數(shù)學(xué)模型中，F(xiàn)(s)包含多個(gè)極點(diǎn)。如果F(s)有r -p0的多個(gè)極點(diǎn)，并且其他極點(diǎn)是不同的，那么：其中Ar 1，和an用前面的方法求解。第二章數(shù)學(xué)模型，第二章數(shù)學(xué)模型，注：那么：第二章數(shù)學(xué)模型，解：第二章數(shù)學(xué)模型，那么：第二章數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用拉普拉斯變換求解線性微分方程，求解步驟，通過拉普拉斯變換將微分方程轉(zhuǎn)化為S的代數(shù)平方

15、；求解代數(shù)方程，得到相關(guān)變量的拉普拉斯變換表達(dá)式；利用拉普拉斯逆變換，得到微分方程的時(shí)域解。第2章數(shù)學(xué)模型，第2章數(shù)學(xué)模型，解：拉普拉斯變換左邊的微分方程，第2章數(shù)學(xué)模型，即，第2章數(shù)學(xué)模型，拉普拉斯變換右邊的方程，因而：第2章數(shù)學(xué)模型，第2章數(shù)學(xué)模型，所以：查拉變換表顯示：當(dāng)初始條件為零時(shí)，第2章數(shù)學(xué)模型，當(dāng)用拉普拉斯變換法求解微分方程時(shí)，初始條件會(huì)自動(dòng)包含在微分方程的拉普拉斯變換公式中，從而無需根據(jù)初始條件計(jì)算積分常數(shù)的值就可以得到微分方程的完全解。如果所有的初始條件都為零，微分方程的拉普拉斯變換可以簡單地通過用sn代替dn/dtn得到。從以上例子可以看出，在第二章中，系統(tǒng)響應(yīng)可以分為兩部

16、分：零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)；4、傳遞函數(shù)，傳遞函數(shù)的概念和定義，傳遞函數(shù)；第二章，數(shù)學(xué)模型，在零初始條件下，線性時(shí)不變系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換與引起輸出的輸入的拉普拉斯變換之間的比值。零的初始條件：當(dāng)t0時(shí)，輸入量及其導(dǎo)數(shù)都為0；在輸入加到系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即當(dāng)t為0時(shí)，輸出及其導(dǎo)數(shù)也為0；第二章數(shù)學(xué)模型，傳遞函數(shù)求解實(shí)例，質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，當(dāng)所有初始條件都為零時(shí)，其拉普拉斯變換為：根據(jù)定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：第二章數(shù)學(xué)模型，R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)，當(dāng)所有初始條件都為零時(shí)，其拉普拉斯變換為：第二章數(shù)學(xué)模型，一些結(jié)論，傳遞如果給定輸入，系統(tǒng)的輸出特性完全由傳遞函數(shù)數(shù)G(s)決定，即傳遞函數(shù)代表系統(tǒng)固有的動(dòng)態(tài)特性。傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系描述系統(tǒng)的固有特性。也就是說，系統(tǒng)的內(nèi)部特性由系統(tǒng)外部的輸入和輸出特性來描述。第二章討論了數(shù)學(xué)模型、傳遞函數(shù)的一般形式、線性時(shí)不變系統(tǒng)。當(dāng)初始條件都為零時(shí)，通過拉普拉斯變換可以得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式。在第二章數(shù)學(xué)模型中，設(shè)：那么，N(s)=0稱