角平分線2.ppt

1、1、4角平分線,九年級數(shù)學(xué)（上冊）第一章 證明(二),（第2課時(shí)） 三角形的內(nèi)心,已知:AOB,如圖. 求作:射線OC,使AOC=BOC.,用尺規(guī)作角的平分線,1.在OA和OB上分別截取OD,OE,使OD=OE.,2.分別以點(diǎn)D和E為圓心,以大于DE/2長 為半徑作弧,兩弧在AOB內(nèi)交于點(diǎn)C.,3.作射線OC.,提示: 作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,這種方法要確實(shí)掌握.,則射線OC就是AOB的平分線.,尺規(guī)作圖,作法:,角平分線的性質(zhì),定理 角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.,提示: 這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.,如圖, OC是AOB的平分線, P是OC上任意一點(diǎn),PDO

2、A,PEOB,垂足分別是D,E(已知) PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè) 角的兩邊距離相等).,逆定理 在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的 點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.,如圖, PD=PE, PDOA,PEOB,垂足分別 是D,E(已知), 點(diǎn)P在AOB的平分線上. (在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離 相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上).,提示:這個(gè)結(jié)論又是經(jīng)常用來證明點(diǎn)在直線上 (或直線經(jīng)過某一點(diǎn))的根據(jù)之一.,角平分線的判定,親歷知識的發(fā)生和發(fā)展,利用尺規(guī)作出三角形三個(gè)角的平分線.,結(jié)論: 三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn).,你能寫出規(guī)范的證明過程.,你想證明這個(gè)命題嗎?,觀察這三條角平分線,你

3、又發(fā)現(xiàn)了什么?與同伴交流.,你能證明這個(gè)命題嗎?,命題:三角形三個(gè)角的平分線相交于一點(diǎn).,基本想法是這樣的: 我們知道,兩條直線 相交只有一個(gè)交點(diǎn).要想 證明三條直線相交于一點(diǎn), 只要能證明兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上即可.這時(shí)可以考慮前面剛剛學(xué)到的逆定理.,咋證三條直線交于一點(diǎn),如圖,設(shè)ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,BM是ABC的角平分線, 點(diǎn)P在BM上,ABC的三條角平分線相交于一點(diǎn)P.,PD=PE (角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).,同理,PE=PF.,PD=PF.,點(diǎn)P在BAC的平分線上(在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上).,命題的證明,過點(diǎn)

4、P分別作BC,AC,AB的垂線,垂足分別是E,F,D.,定理:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并 且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.,如圖,在ABC中, BM,CN,AH分別是ABC的三條角平分線,這又是一個(gè)證明三條直線交于一點(diǎn)的根據(jù)之一, 這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.,幾何的三種語言,議一議,且PDAB,PEBC,PFAC(已知), BM,CN,AH相交于一點(diǎn)P, 且PD=PE=PF (三角形的三條角平分線 相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等).,如圖,在ABC中,AC=BC,C=900,AD是ABC的角平分線,DEAB,垂足為E.,(1)如果CD=4cm,求AC的長;,(2)求證:AB=AC+C

5、D.,練一練P35,小 試 牛 刀,如圖,已知ABC,作ABC一個(gè)內(nèi)角和與它不相鄰的兩個(gè)外角的平分線,看它們是否交于一點(diǎn)?這樣的點(diǎn)有幾個(gè)?如果以這個(gè)點(diǎn)為圓心,這一點(diǎn)到三角形一邊的距離為半徑作圓,你能作出這個(gè)圖形嗎?,提示: 三角形一個(gè)內(nèi)角和與它不相鄰的兩個(gè)外角的平分線交于一點(diǎn), 這個(gè)的點(diǎn)叫做三角形的旁心.這樣點(diǎn)有三個(gè).,試一試,挑 戰(zhàn) 自 我,回味無窮,定理 角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩 邊距離相等.,逆定理 在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩 邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.,定理:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等(這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心).,三角形一個(gè)內(nèi)角和與它不相

6、鄰的兩個(gè)外角的平分線交于一點(diǎn), 這個(gè)的點(diǎn)叫做三角形的旁心.這樣點(diǎn)有三個(gè).,1、已知:如圖,C=900, B=300,AD是 RtABC的角平分線. 求證:BD=2CD.,作業(yè)分析,2.已知:如圖,ABC的外角CBD和BCE的角平分 線相交于點(diǎn)F. 求證:點(diǎn)F在DAE的平分線上.,作業(yè)分析,3、已知:如圖,P是AOB平分線上的一點(diǎn), PCOA,PDOB,垂足分別C,D. 求證:(1)OC=OD; (2)OP是CD的垂直平分線.,作業(yè)分析,再見,A,定理1 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。,定理2 到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。,角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合,定 理 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩