第5講 MATLAB多項式及插值.ppt

1、第5講 MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項式計算,5.1 數(shù)據(jù)統(tǒng)計處理 5.2 多項式計算 5.3 插值運算 5.4 多項式擬合,5.1 數(shù)據(jù)統(tǒng)計處理 5.1.1 最大值和最小值,MATLAB提供的求數(shù)據(jù)序列的最大值和最小值的函數(shù)分別為max和min，兩個函數(shù)的調(diào)用格式和操作過程類似。,1求向量的最大值和最小值 求一個向量X的最大值的函數(shù)有兩種調(diào)用格式，分別是： (1) y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含復數(shù)元素，則按模取最大值。,(2) y,I=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序號存入I，如果X中包含復數(shù)元素，則按模取最大值。 求向量X的最小值的函數(shù)是min(X

2、)，用法和max(X)完全相同。,例5-1 求向量x的最大值。 命令如下： x=-43,72,9,16,23,47; y=max(x) %求向量x中的最大值 y,l=max(x) %求向量x中的最大值及其該元素的位置,2求矩陣的最大值和最小值,求矩陣A的最大值的函數(shù)有3種調(diào)用格式，分別是：,(1) max(A)：返回一個行向量，向量的第i個元素是矩陣A的第i列上的最大值。 (2) Y,U=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量記錄A的每列的最大值，U向量記錄每列最大值的行號。 (3) max(A,dim)：dim取1或2。dim取1時，該函數(shù)和max(A)完全相同；dim取2時，該函數(shù)返回一個

3、列向量，其第i個元素是A矩陣的第i行上的最大值。,求最小值的函數(shù)是min，其用法和max完全相同。,例5-2 分別求34矩陣x中各列和各行元素中的最大值，并求整個矩陣的最大值和最小值。,3兩個向量或矩陣對應元素的比較,函數(shù)max和min還能對兩個同型的向量或矩陣進行比較，調(diào)用格式為：,(1) U=max(A,B)：A,B是兩個同型的向量或矩陣，結(jié)果U是與A,B同型的向量或矩陣，U的每個元素等于A,B對應元素的較大者。 (2) U=max(A,n)：n是一個標量，結(jié)果U是與A同型的向量或矩陣，U的每個元素等于A對應元素和n中的較大者。 min函數(shù)的用法和max完全相同。,例5-3 求兩個23矩陣

4、x, y所有同一位置上的較大元素構(gòu)成的新矩陣p。,5.1.2 求和與求積,數(shù)據(jù)序列求和與求積的函數(shù)是sum和prod，其使用方法類似。設(shè)X是一個向量，A是一個矩陣，函數(shù)的調(diào)用格式為：,sum(X)：返回向量X各元素的和。 prod(X)：返回向量X各元素的乘積。 sum(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的元素和。 prod(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的元素乘積。 sum(A,dim)：當dim為1時，該函數(shù)等同于sum(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的各元素之和。 prod(A,dim)：當dim為1時，該函數(shù)等同于prod(A

5、)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的各元素乘積。,例5-4 求矩陣A的每行元素，每列元素的乘積和全部元素的乘積。,5.1.3 平均值和中值,求數(shù)據(jù)序列平均值的函數(shù)是mean，求數(shù)據(jù)序列中值的函數(shù)是median。兩個函數(shù)的調(diào)用格式為：,mean(X)：返回向量X的算術(shù)平均值。 median(X)：返回向量X的中值。 mean(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的算術(shù)平均值。 median(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的中值。 mean(A,dim)：當dim為1時，該函數(shù)等同于mean(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A

6、的第i行的算術(shù)平均值。 median(A,dim)：當dim為1時，該函數(shù)等同于median(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的中值。,例5-5 別求4元素向量x的平均值和中值。,5.1.4 排序,MATLAB中對向量X是排序函數(shù)是sort(X)，函數(shù)返回一個對X中的元素按升序排列的新向量。,sort函數(shù)也可以對矩陣A的各列或各行重新排序，其調(diào)用格式為： Y,I=sort(A,dim) 其中dim指明對A的列還是行進行排序。若dim=1，則按列排；若dim=2，則按行排。Y是排序后的矩陣，而I記錄Y中的元素在A中位置。,一個多項式的冪級數(shù)形式可表示為： 同時也可表

7、為嵌套形式 或因子形式 N階多項式n個根，其中包含重根和復根。若多項式所有系數(shù)均為實數(shù)，則全部復根都將以共軛對的形式出現(xiàn),5.2 多項式運算,1、多項式表示,2、相關(guān)函數(shù),冪系數(shù):在MATLAB里，多項式用行向量表示，其元素為多項式的系數(shù)，并從左至右按降冪排列。 例： 被表示為 p=2 1 4 5 poly2sym(p) ans = 2*x3+x2+4*x+5 Roots: 多項式的零點可用命令roots求的。 例： r=roots(p) 得到 r = 0.2500 + 1.5612i 0.2500 - 1.5612i -1.0000 所有零點由一個列向量給出。,Poly: 由零點可得原始多項

8、式的各系數(shù)，但可能相差一個常數(shù)倍。 例：根據(jù)上例： poly(r) ans = 1.0000 0.5000 2.0000 2.5000 注意：若存在重根，這種轉(zhuǎn)換可能會降低精度。 例： 舍入誤差的影響，與計算精度有關(guān)。,polyval: 可用命令polyval計算多項式的值。 例： 計算y(2.5) c=3,-7,2,1,1； xi=2.5; yi=polyval(c,xi) yi = 23.8125,如果xi是含有多個橫坐標值的數(shù)組，則yi也為與xi長度相同的向量。 c=3,-7,2,1,1; xi=2.5,3; yi=polyval(c,xi) yi = 23.8125 76.0000,5

9、.3插值運算,1、Lagrange插值,方法介紹 對給定的n個插值點 及對應的函數(shù)值 ，利用n次Lagrange插值多項式，則對插值區(qū)間內(nèi)任意x的函數(shù)值y可通過下式求的： MATLAB中沒有直接實現(xiàn)拉格朗日算法的函數(shù)，我們已經(jīng)介紹過該函數(shù)的書寫：,function y=lagrange (a,b,x) y=0; for i=1:length(a) l=1; for j=1:length(b) if j=i l=l; else l=l.*(x-a(j)/(a(i)-a(j); end end y=y+l*b(i); end,算例：給出f(x)=ln(x)的數(shù)值表，用Lagrange計算ln(0.

10、54) 的近似值。 x=0.4:0.1:0.8； y=-0.916291,-0.693147,-0.510826,-0.356675,-0.223144; lagrange(x,y,0.54) ans = -0.6161 （精確解-0.616143),2、Runge現(xiàn)象和分段插值,問題的提出：根據(jù)區(qū)間a,b上給出的節(jié)點做插值多項式p(x)的近似值，一般總認為p(x)的次數(shù)越高則逼近f(x)的精度就越好，但事實并非如此。 反例： 在區(qū)間-5,5上的各階導數(shù)存在，但在此區(qū)間上取n個節(jié)點所構(gòu)成的Lagrange插值多項式在全區(qū)間內(nèi)并非都收斂。 取n=10,用Lagrange插值法進行插值計算。, x

11、=-5:1:5; y=1./(1+x.2); x0=-5:0.1:5; y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+x0.2); 繪制圖形 plot(x0,y0,-r) 插值曲線 hold on plot(x0,y1,-b) 原曲線 為解決Rung問題，引入分段插值。,算法分析：所謂分段插值就是通過插值點用折線或低次曲線連接起來逼近原曲線。 MATLAB實現(xiàn) 可調(diào)用內(nèi)部函數(shù)。 命令 interp1,功能 ： 一維數(shù)據(jù)插值（表格查找）。該命令對數(shù)據(jù)點之間計算內(nèi)插值。它找出一元函數(shù)f(x)在中間點的數(shù)值。其中函數(shù)f(x)由所給數(shù)據(jù)決定。,格式：yi = interp1(x,Y,xi

12、,method) %用指定的算法計算插值： nearest：最近鄰點插值，直接完成計算； linear：線性插值（缺省方式），直接完成計算； spline：三次樣條函數(shù)插值。 cubic： 分段三次Hermite插值。,t = 1900:10:1990; p = 75.995 91.972 105.711 123.203 131.669. 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633; 對應于美國從1900年到1990年的每10年的人口數(shù)，求1975年的人口。由此推斷美國1900年到2000年每一年的人口數(shù)，并畫出圖形。,與1階拉格朗日算法比較：,lagran

13、d(1970 1980,203.212 226.505,1975) ans = 214.8585,推廣到多個點計算：, t = 1900:10:1990; p = 75.995 91.972 105.711 123.203 131.669. 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633; x=1965 1975 x = 1965 1975 y=interp1(t,p,x) y = 191.2675 214.8585,lagrand(1960 1970,179.323 203.212,1965) ans = 191.2675 lagrand(1970 1980,

14、203.212 226.505,1975) ans = 214.8585,例, x0=-1+2*0:10/10; y0=1./(1+25*x0.2); x=-1:.01:1; y=lagrange(x0,y0,x); % Lagrange 插值 ya=1./(1+25*x.2); plot(x,ya,x,y,:), y1=interp1(x0,y0,x); plot(x,ya,x,y1);,用插值的方法對一函數(shù)進行近似,要求所得到的插值多項式經(jīng)過已知插值節(jié)點;在n比較大的情況下,插值多項式往往是高次多項式,這也就容易出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象（龍格現(xiàn)象），即雖然在插值節(jié)點上沒有誤差,但在插值節(jié)點之外插值誤差

15、變得很大,從“整體”上看,插值逼近效果將變得“很差”。,所謂數(shù)據(jù)擬合是求一個簡單的函數(shù),例如是一個低次多項式,不要求通過已知的這些點,而是要求在整體上“盡量好”的逼近原函數(shù)。這時,在每個已知點上就會有誤差,數(shù)據(jù)擬合就是從整體上使誤差,盡量的小一些。,5.4 數(shù)據(jù)最小二乘擬合,多項式最小二乘擬合,n次多項式：,下面我們練習一個具體例題,某種鋁合金的含鋁量為x%，其溶解溫度為y攝氏度，由試驗測得的x與y的數(shù)據(jù)表如下，試用最小二乘算法建立x,y的經(jīng)驗公式。,（1）根據(jù)所給出數(shù)據(jù)，畫出圖形，觀察數(shù)據(jù)關(guān)系,（2）通過圖形，我們可以確定該曲線可以通過一次方程y=ax+b的形式來進行擬合。可以確定，n=1，

16、L=6。,（3）建立法方程組。,帶入具體數(shù)據(jù), A=6 396.9; 396.9 28365.28; B=1458;101176.3; X=inv(A)*B X = 94.7479 2.2412,則 a=94.7479，b=2.2414 擬合方程為 y=94.7479 + 2.2414x,畫出比較圖形：,x=36.9 46.7 63.7 77.8 84 87.5; y=181 197 235 270 283 292; plot(x,y,x,y,o) hold on x1=35:5:90; y1=2.2412*x1+ 94.7479; plot(x1,y1,r),而該擬合公式在matlab中有內(nèi)

17、部函數(shù)：多項式擬合MATLAB命令：polyfit格式：p=polyfit(x,y,n),其中，xy為原始樣本點構(gòu)成的向量 n為選定的多項式階數(shù) P為多項式系數(shù)（降冪排列）,則上例采用命令求解：, x=36.9 46.7 63.7 77.8 84 87.5; y=181 197 235 270 283 292; a=polyfit(x,y,1) a = 2.2337 95.3524, x0=0:.1:1; y0=(x0.2-3*x0+5).*exp(-5*x0).*sin(x0); p3=polyfit(x0,y0,3); %先進行三次擬合 p3 = 2.8400 -4.7898 1.9432 0.0598 多項式如下： 2.8400*x3-4.7898*x2+1.9432*x+0.0598,已知數(shù)據(jù)點來自 用多項式擬合方法在不同階次下進行擬合。,擬合該數(shù)據(jù)的程序,繪制擬合