向量的數(shù)量積與向量積.ppt

1、一、兩向量的數(shù)量積,二、兩向量的向量積,第三節(jié) 向量的數(shù)量積與向量積,第八章 向量代數(shù) 空間解析幾何,若有一質(zhì)點(diǎn)在常力 (大小與方向均不變) F 的作用下，,則位移 ，,1.數(shù)量積的定義及其性質(zhì),規(guī)定兩向量 a , b 的正方向之間不超過(guò) 180 的夾角為向量 a 與 b 的夾角，,由點(diǎn) A 沿直線移動(dòng)到點(diǎn) B，,由物理學(xué)可知，,力 F 所做的功為,F,A,s,B,一、兩向量的數(shù)量積,定義 1,兩向量 a 、b 的模及其夾角余弦的連乘積，,稱(chēng)為向量 a 、b 的數(shù)乘積或點(diǎn)積，,記為 a b ， 即,由數(shù)量積的定義，,上述作功問(wèn)題可以表示為,W = F s.,定義 2,即,類(lèi)似地,所以，兩向量的

2、數(shù)量積也可以用投影表示為,交換律,結(jié)合律,分配律,由數(shù)量積的定義可知,所以,當(dāng) a、b 均為非零向量，,當(dāng) a 、b 中至少有一個(gè)是零向量時(shí)，,我們規(guī)定零向量與任何向量都垂直.,即 a 與 b 垂直.,(2) 若兩個(gè)非零向量 a、b 互相垂直，,即a b.,即有a b = 0；,反之，,且 a b = 0 時(shí)，,這樣， 兩個(gè)向量互相垂直的充要條件是,由這個(gè)結(jié)論可得,a b = 0.,即,因此，,兩向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積之和.,利用數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律有：,2.數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算式,均為非零向量，,3.兩非零向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式,由兩向量的數(shù)量積定義可知:,例 1,已知 a = i +

3、j，,b = i + k，,求a b,及 ab .,解,由公式可得,且與 a 垂直，,因?yàn)樗?x y 坐標(biāo)面上，,向量 a = 4i + 3j + 7k垂直,例 3,求在 x y 坐標(biāo)面上與,的單位向量.,解,設(shè)所求的向量為 b = x , y , z .,所以 z = 0 .,又因?yàn)?b 是單位向量,所以,即有,解之得,故所求向量,正是 a 向量分別在 i， j，k 上的投影，,例 4,求 ai , aj 及 ak .,解,因?yàn)?i = 1 , 0 , 0 ,j = 0 , 1 , 0 ，,k = 0 , 0 , 1，,所以,這就是說(shuō)，向量 a 的坐標(biāo) ai，aj ，ak,為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，今后

4、我們常稱(chēng)它們依次是 a 在 x，y，z 軸上的投影.,它的正方向由右手法則確定，,定義 3,設(shè)有兩向量 a，b ，若向量 c 滿足:,(2) c 垂直于 a，b 所確定的平面，,則稱(chēng)向量 c 為 a 與 b 的向量積，,記為 a b，即,c = a b .,因此向量積也稱(chēng)為叉積.,二、兩向量的向量積,由向量積的定義可知，,a b 的模等于以 a、b 為鄰邊的平行四邊形面積.,向量積具有下列運(yùn)算規(guī)律：,由向量積的定義可知:,(1) i j = k ，,j k = i ，,ki = j ;,(2) 兩個(gè)非零向量 a ，b 互相平行的充分必要條件是 ab = 0.,c = ab,a,b,當(dāng) a ，b

5、 中至少有一個(gè)為零向量時(shí)，,事實(shí)上，,若a / b ，,或 ，,即有,因此 a b = 0.,當(dāng) a、b 為非零向量，,反之，,且 a b = 0 時(shí)，則,即 a / b .,我們規(guī)定零向量與任何向量平行.,這樣，兩個(gè)向量平行的充要條件是這兩個(gè)向量的向量積為 0 .,由此可知:,利用向量積的運(yùn)算規(guī)律有：,2 .向量積的坐標(biāo)計(jì)算式,為了便于記憶， 我們借用行列式記號(hào)，,將上式表示為：,由于兩個(gè)向量 a，b 平行的充要條件是 a b = 0，,因此，可將 a，b 平行的充要條件表示為:,當(dāng) bx，by，bz 全不為零時(shí)，有,我們約定相應(yīng)的分子為零，例如:,當(dāng) bx，by，bz 中出現(xiàn)零時(shí)，,應(yīng)理解為:,由公式得,解,例 5,求以 A(2, 2 , 0)，B(1, 0, 1 )，C (1, 1, 2 )為頂點(diǎn)的 ABC 的面積.,例 6,解,由向量積的定義可知 ABC 的面積,故 ABC 的面積,若 a b = c，則 c 同時(shí)垂直于a 和 b ，,例 7,求同時(shí)垂直于向量 和,解,由向量積的定義可知，,因此，與 ca b 平行的單位向量應(yīng)