高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.1.2 弧度制學案 新人教A版必修4

1、11.2弧 度 制預習課本P69，思考并完成以下問題 (1)1弧度的角是如何定義的？ (2)如何求角的弧度數(shù)？ (3)如何進行弧度與角度的換算？ (4)以弧度為單位的扇形弧長、面積公式是什么？ 1角的單位制(1)角度制：規(guī)定周角的為1度的角，用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制(2)弧度制：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做弧度制，它的單位符號是rad，讀作弧度，通常略去不寫(3)角的弧度數(shù)的求法：正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.如果半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，那么角的弧度數(shù)的絕對值|.點睛用弧度為單位

2、表示角的大小時，“弧度”兩個字可以省略不寫，如2 rad的單位“rad”可省略不寫，只寫2.2角度與弧度的換算角度化弧度弧度化角度3602_rad 2 rad360180_rad rad1801 rad0.017 45 rad1 rad57.30度數(shù)弧度數(shù)弧度數(shù)度數(shù)3弧度制下的弧長與扇形面積公式公式度量制弧長公式扇形面積公式角度制lS弧度制lr(02)Slrr2(02)點睛由扇形的弧長及面積公式可知：對于，r，l，S“知二求二”，它實質(zhì)上是方程思想的運用1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)1弧度1.()(2)每個弧度制的角，都有唯一的角度制的角與之對應()(3)用弧度制度

3、量角，與圓的半徑長短有關(guān)()答案：(1)(2)(3)2若k，kZ，則所在的象限是()A第一、二象限B第二、三象限C第一、三象限 D第一、四象限答案：C3半徑為1，圓心角為的扇形的面積是()A BCD答案：D4(1)_；(2)210_.答案：(1)120(2)角度與弧度的換算典例把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72；(2)300；(3)2；(4).解(1)7272.(2)300300.(3)22.(4)40.角度與弧度互化技巧在進行角度與弧度的換算時，抓住關(guān)系式 rad180是關(guān)鍵，由它可以得到：度數(shù)弧度數(shù)，弧度數(shù)度數(shù)活學活用將下列角度與弧度進行互化：(1)；(2)；(3)10；(4)8

4、55.解：(1)18015 330.(2)180105.(3)1010.(4)855855.用弧度制表示角的集合典例已知角2 005.(1)將改寫成2k(kZ,02)的形式，并指出是第幾象限的角；(2)在5，0)內(nèi)找出與終邊相同的角解(1)2 0052 005 rad radrad，又，角與終邊相同，是第三象限的角(2)與終邊相同的角為2k(kZ)，由52k0，kZ知k1，2，3.在5，0)內(nèi)與終邊相同的角是，.用弧度制表示終邊相同的角2k(kZ)時，其中2k是的偶數(shù)倍，而不是整數(shù)倍，還要注意角度制與弧度制不能混用活學活用1將1 125表示成2k，02，kZ的形式為_解析：因為1 125436

5、0315，315315，所以1 1258.答案：82用弧度表示終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合解：如圖，330角的終邊與30角的終邊相同，將30化為弧度，即，而7575，終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合為.扇形的弧長公式及面積公式題點一：利用公式求弧長和面積1已知扇形的半徑為10 cm，圓心角為60，求扇形的弧長和面積解：已知扇形的圓心角60，半徑r10 cm，則弧長lr10(cm)，于是面積Slr10(cm2)題點二：利用公式求半徑和弧度數(shù)2扇形OAB的面積是4 cm2，它的周長是8 cm，求扇形的半徑和圓心角解：設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為(02)，弧長為l cm，半徑為r

6、cm，依題意有由，得r2，l82r4，2.故所求扇形的半徑為2、圓心角為2 rad.題點三：利用公式求扇形面積的最值3已知扇形的周長是30 cm，當它的半徑和圓心角各取什么值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解：設(shè)扇形的圓心角為(02)，半徑為r，面積為S，弧長為l，則l2r30，故l302r，從而Slr(302r)rr215r2，所以，當r cm時，2，扇形面積最大，最大面積為 cm2.弧度制下涉及扇形問題的攻略(1)明確弧度制下扇形的面積公式是Slr|r2(其中l(wèi)是扇形的弧長，r是扇形的半徑，是扇形的圓心角)(2)涉及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等的計算，關(guān)鍵是先分析題目已知哪些

7、量求哪些量，然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解提醒運用弧度制下的弧長公式及扇形面積公式的前提是為弧度層級一學業(yè)水平達標1把50化為弧度為()A50BC D解析：選B5050.2扇形的周長是16，圓心角是2弧度，則扇形的面積是()A16 B32C16 D32解析：選C弧長l2r,4r16，r4，得l8，即Slr16.3角的終邊落在區(qū)間內(nèi)，則角所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選C3的終邊在x軸的非正半軸上，的終邊在y軸的非正半軸上，故角為第三象限角4時鐘的分針在1點到3點20分這段時間里轉(zhuǎn)過的弧度為()A BC D解析：選B顯然分針在1點

8、到3點20分這段時間里，順時針轉(zhuǎn)過了周，轉(zhuǎn)過的弧度為2.5下列表示中不正確的是()A終邊在x軸上的角的集合是|k，kZB終邊在y軸上的角的集合是C終邊在坐標軸上的角的集合是D終邊在直線yx上的角的集合是解析：選D終邊在直線yx上的角的集合應是.6135化為弧度為_，化為角度為_解析：135135，180660.答案：6607扇形的半徑是，圓心角是60，則該扇形的面積為_解析：60，扇形的面積公式為S扇形r2()2.答案：8設(shè)集合M，N|，則MN_.解析：由，得k.kZ，k1,0,1,2，MN.答案：9一個扇形的面積為1，周長為4，求圓心角的弧度數(shù)解：設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，則2Rl4.根據(jù)

9、扇形面積公式SlR，得1lR.聯(lián)立解得R1，l2，2.10將下列各角化成弧度制下的角，并指出是第幾象限角(1)1 725；(2)60360k(kZ)解：(1)1 7257553605210，是第一象限角(2)60360k602k2k(kZ)，是第四象限角層級二應試能力達標1下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯誤的是()A60化成弧度是B化成度是600C150化成弧度是D化成度是15解析：選C對于A,6060；對于B，180600；對于C，150150；對于D，18015.故C錯誤2集合中角的終邊所在的范圍(陰影部分)是()解析：選C當k2m，mZ時，2m2m，mZ；當k2m1，mZ時，2m2m，mZ，所以選C.3若

10、角與角x有相同的終邊，角與角x有相同的終邊，那么與間的關(guān)系為()A0 B0C2k(kZ) D2k(kZ)解析：選Dx2k1(k1Z)，x2k2(k2Z)，2(k1k2)(k1Z，k2Z)k1Z，k2Z，k1k2Z.2k(kZ)4圓弧長度等于其所在圓內(nèi)接正三角形的邊長，則該圓弧所對圓心角的弧度數(shù)為()A BC D2解析：選C如圖，設(shè)圓的半徑為R，則圓的內(nèi)接正三角形的邊長為R，所以圓弧長度為R的圓心角的弧度數(shù).5若角的終邊與角的終邊相同，則在0,2上，終邊與角的終邊相同的角是_解析：由題意，得2k，(kZ)令k0,1,2,3，得，.答案：，6已知一扇形的圓心角為rad，半徑為R，則該扇形的內(nèi)切圓面積與扇形面積之比為_解析：設(shè)扇形內(nèi)切圓的半徑為r，扇形的圓心角為，半徑為R，S扇形R2R2.扇形內(nèi)切圓的圓心在圓心角的角平分線上，Rr2r3r，r.S內(nèi)切圓r2R2，S內(nèi)切圓S扇形R2R223.答案：237已知1 690，(1)把寫成2k(kZ，0,2)的形式；(2)求，使與終邊相同，且(4，4)解：(1)1 690436025042.(2)與終邊相同，2k(kZ)又(4，4)，42k4.解得k(kZ)，k2，