現代設計方法4-2+桿有限元分析.ppt

1、4.2 彈性力學平面問題的有限元法,有 限 元 求 解 基 本 原 理,彈性力學的有限元分析計算可分為三個步驟: 1 結構離散化 這是有限元法的基礎，用由有限個方位不同但幾何性質及物理性質均相似的單元組成的集合體來代替原來的連續(xù)體或結構。每個單元僅在節(jié)點處和其他單元及外部有聯系。對于不同的問題，根據自身的特點，可選用不同類型的單元。對同一問題也可以分別或同時選用多種單元。,4.2 彈性力學平面問題的有限元法,例：一個受載的懸臂梁和用三角形單元離散化的模型,真實系統(tǒng),有限元模型,離散,有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點連接，并承受一定載荷。,注意：1)節(jié)點是有限元法的重要概念，

2、有限元模型中，相鄰單元的作用通過節(jié)點傳遞，而單元邊界不傳遞力，這是離散結構與實際結構的重大差別； 2）節(jié)點力與節(jié)點載荷的差別,單元：即原始結構離散后，滿足一定幾何特性和物理特性的最小結構域 節(jié)點：單元與單元間的連接點。 節(jié)點力：單元與單元間通過節(jié)點的相互作用力。 節(jié)點載荷：作用于節(jié)點上的外載。 節(jié)點自由度(DOFs) ：用于描述一個物理場的響應特性。,分離但節(jié)點重疊的單元A和B之間沒有信息傳遞（需進行節(jié)點合并處理）,信息是通過單元之間的公共節(jié)點傳遞的。,具有公共節(jié)點的單元之間存在信息傳遞,非法結構離散,不同材料,節(jié)點不合法,典型單元類型,2.單元分析,主要內容：由節(jié)點位移求內部任意點的位移，由

3、節(jié)點位移求單元應變，應力和節(jié)點力。 3.整體分析 (1) 由節(jié)點平衡方程，建立以整體剛度矩陣K為系數的，整體節(jié)點位移d 和外載R的關系式整體平衡方程。 (2) 考慮幾何邊界條件，修改總體剛度矩陣，求解全部未知位移分量。,a)受拉階梯桿示意圖,二. 有 限 元 求 解 基 本 原 理(一維問題),引例:用有限元法求圖1所示受拉階梯桿的位移和應力。已知桿截面面積A(1)=210-4m2，A(2)=110-4m2，各段桿長l(1)=l(2)=0.1m；材料彈性模量E(1)=E(2)=2107Pa，作用于桿端的拉力F3=10N。,1.單元劃分,根據材料力學的平面假設，等截面受拉桿的同一截面可認為具有相

4、同的位移和應力，即位移只與截面的軸向坐標(x) 有關，所以可將階梯桿看作由兩個“一維單元”組成，同一個單元內截面面積及材料特性不變。最簡單的情況是，每一個單元有兩個節(jié)點，他們分別位于單元兩端。相鄰兩單元靠公共節(jié)點聯結。受拉階梯桿就簡化為由兩個一維單元和三個節(jié)點構成的有限單元模型。圖中和是單元號，1,2,3是節(jié)點號。取節(jié)點位移作為基本未知量，應力由求得的節(jié)點位移算出。,c)單元圖,b)有限元模型,圖5-6,2.確定單元插值函數(形函數),有限元法將整個求解域離散為一系列僅靠公共節(jié)點聯結的單元，而每一個單元本身卻視為光滑連續(xù)體。單元內任一點的場變量(如位移)可由本單元的節(jié)點值根據場變量在單元中的假

5、定分布規(guī)律(插值函數)插值求得。 本例中，每單元有兩個節(jié)點，采用線性插值。圖c是一典型單元圖，兩節(jié)點分別為i和j，節(jié)點場變量值分別記為ui和uj 。設單元中坐標為x處的場變量為u(x) 。,單元的位移場為u(x)， 由兩個端點的位移來進行線形插值確定，設u(x) 為：,(1.a),則,其中N(x)叫做形狀函數矩陣(shape function matrix),為,qe叫做節(jié)點位移列陣(nodal displacement vector),即,(2),形函數矩陣的分量數目應與單元自由度數目相等,3.單元方程(單元節(jié)點位移與節(jié)點力的關系),由等截面桿變形與拉力的關系(虎克定律)得到 (3) 式中，

6、 Pi和Pj分別為作用于單元e的節(jié)點i和節(jié)點j的節(jié)點力。,式(3)寫成矩陣形式為： (4) 或簡記為： ke qe = Pe (5) ke常稱為單元剛度矩陣(stiffness matrix of element)，簡稱單元剛陣: P e=Pi PjT 稱為單元節(jié)點力列陣(nodal force vector)。 式(5)稱為單元方程。,到目前為止，單元方程(4)或(5)尚不能求解，因為節(jié)點力列陣Pe尚屬未知。 Pe的分量Pi和Pj為相鄰單元作用于單元e的節(jié)點i和j的力，即屬于單元之間的作用力。只有將具有公共節(jié)點的單元“組 集”在一起才能確定上述節(jié)點力和節(jié)點外載荷之間的關系。,4.單元組集,建

7、立總體方程組為獲得總體方程組，必須先將單元方程按照局部自由度(ui和uj)和總體自由度(u1、u2和u3)的對應關系進行擴展。,(6) 式中，各項上角碼表示單元序號；下角碼表示自由 度總體序號。,具體來說，單元1的擴展方程為：,(7) 由于相鄰兩單元公共節(jié)點上的基本場變量（位移）相同，所以可將擴展后的各單元方程相加。,單元2的擴展方程為：,(8),將式(6)和式(7)相加得：,(9) 組集后的結果簡記為：Kq = P 式中，K稱為總體特性矩陣(常稱為總體剛度矩陣和總剛陣)，P稱為總體節(jié)點載荷列陣。需指出的是，對單元的一個公共節(jié)點而言，除了有相鄰單元作用于該節(jié)點的力之外，還可能有做用于該節(jié)點的外

8、載荷。若一節(jié)點上無外載荷作用(如本例中節(jié)點2)，則說明各相鄰單元作用于該節(jié)點的力是平衡的，即該節(jié)點的節(jié)點合力為零。,上述組集過程可記為：,有限元模型單元總數,若某節(jié)點上有外載荷作用(如節(jié)點3)，則各單元作用于該節(jié)點的內力和(即方程(8)中第3式左端項的負值)與該節(jié)點的外載荷(F3)相平衡，即： (10) 即，列陣F 各分量的含義是作用于相應自由度(節(jié)點位移)上的節(jié)點外載荷。將相應數據代入式(8)得： (11),上式即為本題的總體線性代數方程組，但不能獲得唯一解，因為上式中的矩陣是奇異的。這種奇異性不是因數據巧合造成的，而是有其必然性。原因在于總體方程組式(8)只考慮了力平衡條件，而只根據力平衡

9、不能唯一地確定系統(tǒng)的位移，因為系統(tǒng)在有任意剛性位移的情況下仍可處于力平衡狀態(tài)。為獲得各節(jié)點位移的唯一解，必須消除可能產生的剛體位移，即必須計入位移邊界條件。,本題的位移邊界條件為u1=0,那么，式(11)中只剩下兩個待求的自由度u2和u3。也就是說，可從式(11)中消去一個方程。譬如，舍去第一個方程并將u1= 0代入后得： (12) 解得： u2=2.510-4m ；u3=7.510-4m。 q = u1 u2 u3T = 0 2.510-4 7.510-4T m. 這與材料力學求得的結果相同。,5.計入邊界條件，解方程組,應變的表達 由幾何方程得知，1D單元中任一點的應變 (13) 其中 (14) B(x)稱為單元應變矩陣，或稱為幾何函數矩陣(strain-displacement matrix).,6.計算單元應變和應力,(15) 其中 (16) S(x)叫做應力矩陣 (stress-displacement matrix).,應力的表達,對于單元1 對于單元2,7. 求支反力,具體對單元，有 (17) 其中R1為節(jié)點1的外力，即為支反力，P2為單元的節(jié)點2所受的力，將u1和u2的值帶入式(17)，有,作業(yè),用有限元法求圖示受拉階梯桿的