建立數(shù)學(xué)模型.ppt

1、建立數(shù)學(xué)模型,1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型 1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義 1.3 數(shù)學(xué)建模示例 1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 1.5 數(shù)學(xué)模型的特點和分類 1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模,玩具、照片、飛機、火箭模型 , 實物模型,水箱中的艦艇、風洞中的飛機 , 物理模型,地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 , 符號模型,模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分 進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物,模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征,1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型,我們常見的模型,數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和 數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling),對于一個現(xiàn)實對

2、象，為了一個特定目的， 根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)， 運用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。,建立數(shù)學(xué)模型的全過程 （包括表述、求解、解釋、檢驗等）,數(shù)學(xué)模型,數(shù)學(xué)建模,你碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行問題”,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速每小時20千米/小時.,甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時， 從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?,x =20 y =5,航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟,作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；,用符號表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）；,用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以 時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程

3、）；,求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）；,回答原問題（船速每小時20千米/小時）。,1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義,電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；,數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。,數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步， 越來越受到人們的重視。,在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；,在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；,數(shù)學(xué)進入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。,數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用,分析與設(shè)計,預(yù)報與決策,控制與優(yōu)化,規(guī)劃與管理,數(shù)學(xué)建模,計算機技術(shù),知識經(jīng)濟,1.3 數(shù)學(xué)建模示例,1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎,問題分析,模型假設(shè),通常 三只腳著地,

4、放穩(wěn) 四只腳著地,四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;,地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;,地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。,模型構(gòu)成,用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來,椅子位置,利用正方形(椅腳連線)的對稱性,用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置,四只腳著地,距離是的函數(shù),四個距離(四只腳),A,C 兩腳與地面距離之和 f(),B,D 兩腳與地面距離之和 g(),兩個距離,椅腳與地面距離為零,正方形ABCD 繞O點旋轉(zhuǎn),用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來,f() , g()是連續(xù)函數(shù),對任意, f(), g()至少一個為0,數(shù)

5、學(xué)問題,已知： f() , g()是連續(xù)函數(shù) ; 對任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,模型構(gòu)成,地面為連續(xù)曲面,椅子在任意位置至少三只腳著地,模型求解,給出一種簡單、粗糙的證明方法,將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()= f()g(), 則h(0)0和h(/2)0. 由 f, g的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因為f() g()=0, 所以f(0

6、) = g(0) = 0.,評注和思考,建模的關(guān)鍵 ,假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì),考察四腳呈長方形的椅子,和 f(), g()的確定,1.3.2 商人們怎樣安全過河,問題(智力游戲), 3名商人 3名隨從,隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.,但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?,問題分析,多步?jīng)Q策過程,決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員,要求在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.,模型構(gòu)成,xk第k次渡河前此岸的商人數(shù),yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù),xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, ,sk=(

7、xk , yk)過程的狀態(tài),S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S 允許狀態(tài)集合,uk第k次渡船上的商人數(shù),vk第k次渡船上的隨從數(shù),dk=(uk , vk)決策,D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合,uk, vk=0,1,2; k=1,2, ,sk+1=sk dk,+(-1)k,狀態(tài)轉(zhuǎn)移律,求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按轉(zhuǎn)移律由 s1=(3,3)到達 sn+1=(0,0).,多步?jīng)Q策問題,模型求解,窮舉法 編程上機,圖解法,狀態(tài)s=(x,y) 16個格點,允許決策 移動1或2格; k奇,左下移;

8、k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, ，d11給出安全渡河方案,評注和思考,規(guī)格化方法,易于推廣,考慮4名商人各帶一隨從的情況,允許狀態(tài),S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,背景,世界人口增長概況,中國人口增長概況,研究人口變化規(guī)律,控制人口過快增長,1.3.3 如何預(yù)報人口的增長,指數(shù)增長模型馬爾薩斯提出 (1798),常用的計算公式,x(t) 時刻t的人口,基本假設(shè) : 人口(相對)增長率 r 是常數(shù),今年人口 x0, 年增長率 r,k年后人口,隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長,指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性,與19世紀以前

9、歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合,適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代,可用于短期人口增長預(yù)測,不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律,不能預(yù)測較長期的人口增長過程,19世紀后人口數(shù)據(jù),阻滯增長模型(Logistic模型),人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：,資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大,假設(shè),r固有增長率(x很小時),xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）,x(t)S形曲線, x增加先快后慢,阻滯增長模型(Logistic模型),參數(shù)估計,用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口 預(yù)報，必須先估計模型參數(shù) r 或 r, xm,利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法

10、作擬合,例：美國人口數(shù)據(jù)（單位百萬）,專家估計,阻滯增長模型(Logistic模型),模型檢驗,用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較,實際為281.4 (百萬),模型應(yīng)用預(yù)報美國2010年的人口,加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù),Logistic 模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費品的售量),阻滯增長模型(Logistic模型),最小二乘法,設(shè)經(jīng)實際測量已得 到n組數(shù)據(jù)（xi , yi），i=1, n。將數(shù)據(jù)畫在平面直角坐標系中，見 圖。如果建模者判斷 這n個點很象是分布在某條直線附近，令 該直線方程 為y=ax+b，進而利用數(shù)據(jù)來求參 數(shù)a和b。由于該直線只是數(shù)據(jù)近似滿足的關(guān)

11、系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成立，但我們希望,最小,此式對a和b的偏導(dǎo)數(shù)均 為0，解相應(yīng)方程組，求得：,補例 崖高的估算,假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功 能的計算器，你也許會出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽回聲的方法來估計山崖的高度， 假定你能準確地測定時間，你又怎樣來推算 山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。,方法一,我學(xué)過微積分，我可以做 得更好，呵呵。,令k=K/m，解得,代入初始條件 v(0)=0，得c=g/k，故有,再積分一次，得：,若設(shè)k=0.05并仍設(shè) t=4秒，則可求 得h73.6米。,聽到回聲再按跑表，計算得到的時間中包含了 反應(yīng)時間,進一步深入考慮,不妨設(shè)

12、平均反應(yīng)時間 為0.1秒 ，假如仍 設(shè)t=4秒，扣除反應(yīng)時間后應(yīng) 為3.9秒，代入 式，求得h69.9米。,多測幾次，取平均值,再一步深入考慮,1.3.4 錄像帶還能錄多長時間,錄像機上有一個四位計數(shù)器，一盤 180分鐘 的錄像帶在開始計數(shù)時為 0000，到結(jié)束時計 數(shù)為1849，實際走時為185分20秒。我們從 0084觀察到0147共用時間3分21秒。若錄像 機目前的計數(shù)為1428，問是否還能錄下一個 60分鐘的節(jié)目？,又 因和 得,積分得到,即,從而有,此式中的三個參數(shù)W、v和r均不易精確測得，雖然我們可以從上式解出t與n的函數(shù)關(guān)系，但效果不佳，故令 則可將上式簡化為：,故,t= an2

13、+bn,上式以a、b為參數(shù)顯然是一個十分明智的做法，它為公式的最終確立即參數(shù)求解提供了方便。將已知條件代入，得方程組：,從后兩式中消 去t1，解得a=0.0000291, b=0.04646,故t=0.0000291 n2+0.04646n，令n=1428，得到t=125.69（分）由于一盒錄像帶實際可錄像時間為185.33分，故尚可錄像時間 為59.64分，已不能再錄下一個60分鐘的節(jié)目了。,數(shù)學(xué)建模的基本方法,機理分析,測試分析,根據(jù)對客觀事物特性的認識， 找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律,將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的 統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型,機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過

14、實例研究 (Case Studies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機理分析。,二者結(jié)合,用機理分析建立模型結(jié)構(gòu), 用測試分析確定模型參數(shù),1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,模 型 準 備,了解實際背景,明確建模目的,搜集有關(guān)信息,掌握對象特征,形成一個 比較清晰 的問題,模 型 假 設(shè),針對問題特點和建模目的,作出合理的、簡化的假設(shè),在合理與簡化之間作出折中,模 型 構(gòu) 成,用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題,發(fā)揮想像力,使用類比法,盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,模型 求解,各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機技術(shù),如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、 模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析,模型 分析,模型 檢驗,與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較， 檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性,模型應(yīng)用,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,數(shù)學(xué)建模的全過程,現(xiàn)實對象的信息,數(shù)學(xué)模型,現(xiàn)實對象的解答,數(shù)學(xué)模型的解答,(歸納),(演繹),表述,求解,解釋,驗證,根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題,選擇適當?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答,將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實際對象,用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答,實踐,現(xiàn)實世界,數(shù)學(xué)世界,1.5 數(shù)學(xué)模型的特點和分類,模型的逼真性和可行性,模型的漸進性,模型的強健性,模型的可轉(zhuǎn)移性,模型的非預(yù)制性,模型的條理性,模型的