第1章_倒易點(diǎn)陣及電子衍射基礎(chǔ).ppt

1、,材料電子顯微分析,福州大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院 李 強(qiáng),第1章 倒易點(diǎn)陣及電子衍射基礎(chǔ),1.1 晶體結(jié)構(gòu)知識(shí)的簡(jiǎn)單回顧,1.1.1 點(diǎn) 陣 1.1.2 晶體學(xué)點(diǎn)群,1.2 倒易點(diǎn)陣,1.3. 正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣的指數(shù)互換,1.4. 晶面間距與晶面夾角公式,1.5 Bragg定理及其幾何圖解,1.6 晶帶定律與零層倒易截面,1.7 結(jié)構(gòu)因子與倒易點(diǎn)陣的結(jié)構(gòu)消光及倒易點(diǎn)陣類型,1.8 倒易點(diǎn)陣與電子衍射圖的關(guān)系,第1章 倒易點(diǎn)陣及電子衍射基礎(chǔ),晶體內(nèi)原子、離子、分子或集團(tuán)在三維空間內(nèi)呈周期性規(guī)則排列。這些質(zhì)點(diǎn)可以抽象為幾何點(diǎn)，構(gòu)成的點(diǎn)列稱為空間點(diǎn)陣，組成它的幾何點(diǎn)稱為陣點(diǎn)正點(diǎn)陣。 用空間三維直線連

2、接陣點(diǎn)得到空間格子晶格。 單位晶格組成的平行六面體稱為晶胞。,晶胞的選取多種多樣，晶體學(xué)中應(yīng)用最廣的是盡量照顧對(duì)稱性選取的晶胞稱為Bravais Cell。,1.1 晶體結(jié)構(gòu)知識(shí)的簡(jiǎn)單回顧,1.1.1 點(diǎn) 陣,代表空間點(diǎn)陣的對(duì)稱性 相等的棱、角數(shù)目應(yīng)最多 棱間的直角最多 選取最小體積的平行六面體,Bravais Cell的選取原則：,數(shù)學(xué)證明，按上述規(guī)則選取的Bravais Cell有14種代表空間的點(diǎn)陣類型，用a，b，c，間的關(guān)系來(lái)表達(dá)，歸為七大晶系，有5個(gè)類別：P（初基或簡(jiǎn)單）、I（體心）、F（面心）、R（三角或菱形）、C（A，B）（底心）。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性有宏觀和微觀之分。,宏觀對(duì)稱是

3、指有限體積的規(guī)則晶體外形的對(duì)稱性，不包括平移對(duì)稱性，僅在轉(zhuǎn)動(dòng)、反演或反映下表現(xiàn)出的對(duì)稱性，共32種，構(gòu)成32種點(diǎn)群?；蛘哒f(shuō)是，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)對(duì)稱素組合的類別稱為點(diǎn)群。 微觀對(duì)稱是指從晶格的角度出發(fā)，在認(rèn)為整個(gè)晶格近似為三維無(wú)限廣延的情況下的空間平移、轉(zhuǎn)動(dòng)、反演操作下的對(duì)稱性?？赡艿目臻g對(duì)稱有230種，構(gòu)成230個(gè)空間群。或者說(shuō)是，考慮晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)-原子、離子、分子類別和排列的對(duì)稱性類別。,1，2，3，4，6，i，m，,晶體的獨(dú)立宏觀對(duì)稱要素共有8種，即,1.1.2 晶體學(xué)點(diǎn)群,晶體的宏觀對(duì)稱性是按宏觀點(diǎn)對(duì)稱操作所構(gòu)成的點(diǎn)群來(lái)進(jìn)行分類的。 群，是代數(shù)理論中的抽象概念，滿足一定條件的一些元素的集合。,對(duì)

4、稱要素,對(duì)稱中心的國(guó)際符號(hào) 形象法表示 等效位置，+、號(hào)表示正反面， ，左右手的變化 對(duì)稱的極圖表示,圖1-13-1 二次轉(zhuǎn)軸的表示,圖1-13-2 三次轉(zhuǎn)軸的表示,圖1-13-3 四次轉(zhuǎn)軸的表示,圖1-13-4 六次轉(zhuǎn)軸的表示,二維空間的彭羅斯(Penrose)拼圖由內(nèi)角為36度、144度和72度、108度的兩種菱形組成，能夠無(wú)縫隙無(wú)交疊地排滿二維平面。這種拼圖沒(méi)有平移對(duì)稱性，但是具有長(zhǎng)程的有序結(jié)構(gòu)，并且具有晶體所不允許的五次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。一種典型的準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)是三維空間的彭羅斯拼圖。 1984年，D.Shechtmen在快速冷卻的 Al4Mn 合金中發(fā)現(xiàn)了一種新的相，其電子衍射斑具有明顯的五次

5、對(duì)稱性。推測(cè)這種結(jié)構(gòu)具有三維空間的彭羅斯拼圖結(jié)構(gòu)。這一發(fā)現(xiàn)在當(dāng)時(shí)曾經(jīng)震動(dòng)了凝聚態(tài)物理學(xué)界。后來(lái)在許多復(fù)雜的合金中也發(fā)現(xiàn)了這一現(xiàn)象。,一個(gè)具體的宏觀對(duì)稱要素是8種對(duì)稱要素的一種或幾種的組合。每種組合對(duì)應(yīng)一種對(duì)稱類型，即一個(gè)點(diǎn)群。,點(diǎn)群的表示符號(hào)有2種 Schonflies符號(hào) 國(guó)際符號(hào)（或H-M符號(hào)）,點(diǎn) 群,Schonflies符號(hào)：,Cn 表示n次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，取自循環(huán)群（Cyclic group）第1字母 D 表示二面體群（dihedral group），即n次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，+ 與n次軸垂直的二次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱 T 表示四面體群（tetrahedral group）,高次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸的組合 O 表示八面

6、體群（octahedral group），高次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸的組合,點(diǎn)群的國(guó)際符號(hào),用特定方向的對(duì)稱要素直接表示。,三斜晶系：100 單斜晶系：010 正交晶系：100 010 001 四方晶系：001 100 110 三角晶系：001 100 210 六角晶系：001 100 210 立方晶系：100 111 110,2/m（2在m上），表示具有垂直于鏡面的2次旋轉(zhuǎn)軸。010方向,三斜晶系：100,單斜晶系：010,正交晶系：100 010 001,四方晶系：001 100 110,三角晶系：001 100 210,六角晶系：001 100 210,立方晶系：100 111 110,1.1.2

7、空間群,晶格的周期性，也稱平移對(duì)稱性，是最基本的微觀對(duì)稱性。,晶體的點(diǎn)對(duì)稱元素和平移相結(jié)合能產(chǎn)生新的對(duì)稱元素，即：,旋轉(zhuǎn)軸 + 平移 螺旋軸 鏡面 + 平移 滑移面，操作順序并不重要,1. 晶體的微觀對(duì)稱性,（1）螺旋軸,國(guó)際符號(hào)用nm來(lái)表示。 定義方向的 nm次螺旋軸對(duì)稱操作由2/n旋轉(zhuǎn)和m/n 平移組成。,（2）滑移面,滑移面是對(duì)鏡面反映后再沿某一方向平移，平移量為點(diǎn)陣周期的一個(gè)分?jǐn)?shù)距離。,有三種類型的滑移面：,軸向滑移沿a，b，c軸作滑移，軸向滑移的平移平行于鏡面，平移量為該方向平移周期的一半； n滑移沿面對(duì)角線滑移到一半處； d滑移亦稱“金剛石”滑移，沿體對(duì)角線滑移到1/4處。,2.

8、空間群及其國(guó)際符號(hào),空間群是指一個(gè)晶體結(jié)構(gòu)中所有對(duì)稱要素的集合。提供晶體的全部對(duì)稱信息，涉及到一個(gè)給定的點(diǎn)群、Bravais點(diǎn)陣以及這個(gè)點(diǎn)群作用在這個(gè)點(diǎn)陣上的結(jié)果。 晶體結(jié)構(gòu)中所能出現(xiàn)的空間群總共230種。,空間群有兩種常用的表示符號(hào)， Schonflies和國(guó)際符號(hào)。,材料學(xué)界常用國(guó)際符號(hào)。,國(guó)際符號(hào)的第一位符列出Bravais點(diǎn)陣類型P，A、B或C，I，F(xiàn)，R 根據(jù)對(duì)稱元素對(duì)于晶體學(xué)軸的位置列出他們的符號(hào)，符號(hào)的位置所代表的軸向?qū)Σ煌挡⒉煌?，空間群國(guó)際符號(hào)的順序見(jiàn)下表。,國(guó)際符號(hào)的表示：,P（初基或簡(jiǎn)單）、I（體心）、F（面心）、R（三角或菱形）、C（A，B）（底心）,三斜晶系：100

9、 單斜晶系：010 正交晶系：100 010 001 四方晶系：001 100 110 三角晶系：001 100 210 六角晶系：001 100 210 立方晶系：100 111 110,國(guó)際符號(hào)標(biāo)注對(duì)稱素參照方向的順序,舉例： P2/m（2在m上），表示單斜初基點(diǎn)陣，具有垂直于鏡面的2次旋轉(zhuǎn)軸。010方向,參考文獻(xiàn),劉文西，黃孝瑛材料結(jié)構(gòu)電子顯微分析，天津大學(xué)出版社，1989 張福學(xué).現(xiàn)代壓電學(xué)（上冊(cè)），科學(xué)出版社，2001 馮端，師昌緒，劉治國(guó). 材料科學(xué)導(dǎo)論，化學(xué)工業(yè)出版社，2002,1.2.1 倒易點(diǎn)陣概念的引入,衍射是波動(dòng)性的體現(xiàn)，是波的彈性相干散射。如光的狹縫衍射、X光對(duì)晶體的衍

10、射。,衍射條件：,衍射花樣,1.2 倒易點(diǎn)陣,Plane waves Single source interference,Suppose that a plane wave is incident on a panel with a slot of width d (small distance),To predict the form of the wave on the right-hand side of the pane the Huygens principle is used.,Huygens principle The manner in which a wavefront o

11、f arbitrary shape will advance can be determined by considering every point on a given wavefront of any instant to be the source of a circular wave.（媒質(zhì)中波動(dòng)傳到的各點(diǎn)，都可以看成是發(fā)射子波的波源，在其后的任一時(shí)刻，這些子波的包跡就決定新的波陣面）,Any wave motion in which the amplitude of two or more waves combine will exhibit interference. One-d

12、imensional wave motion.,Two kinds of interference exist Destructive interference: Wave pulses are cancelled when they pass each other if they are of opposite sign. Constructive interference Wave pulses are added when they pass each other if they are of equal sign.,As interference effects occur in wa

13、ve motions of all sorts, interference or diffraction patterns can also be formed with light.,X光對(duì)晶體的衍射花樣,電子衍射：,電子衍射是晶體物質(zhì)對(duì)單色電子波產(chǎn)生的衍射現(xiàn)象。 下圖分別是單晶體、多晶體和非晶體的電子衍射花樣。,單晶C-ZrO2,準(zhǔn)晶（quasicrystals）,非晶,多晶Au,FIGURE 2.13. Several kinds of DPs obtained from a range of materials in a conventional 100-kV TEM: (A) amo

14、rphous carbon, (B) an Al single crystal, (C) polycrystalline Au, (D) Si illuminated with a convergent beam of electrons. In all cases the direct beam of electrons is responsible for the bright intensity at the center of the pattern and the scattered beams account for the spots or rings that appear a

15、round the direct beam.,電子衍射原理與X射線衍射相似，是以滿足或基本滿足布拉格方程為產(chǎn)生衍射的必要條件。但因其電子波有其本身的特殊性，與X射線衍射相比具有下列特點(diǎn)：,電子波的波長(zhǎng)比X射線短得多，因此，在同樣滿足布拉格條件時(shí)，它的衍射角度很小，10-2 rad，而X射線最大衍射角可達(dá)/2。,如 X射線的波長(zhǎng)范圍： 10-3-10nm 0.05-0.25nm范圍適于 結(jié)構(gòu)分析 0.005-0.1nm范圍適于 探傷分析 200KV加速下電子波 =0.00251nm,電子衍射產(chǎn)生斑點(diǎn)大致分布在一個(gè)二維倒易截面內(nèi)，晶體產(chǎn)生的衍射花樣能比較直觀地反映晶體內(nèi)各晶面的位向。因?yàn)殡娮硬ㄩL(zhǎng)短

16、，用Ewald圖解時(shí)，反射球半徑很大，在衍射角很小時(shí)的范圍內(nèi)，反射球的球面可近似為平面。 電子衍射用薄晶體樣品，其倒易點(diǎn)沿樣品厚度方向擴(kuò)展為倒易桿，增加了倒易點(diǎn)和Ewald球相交截面機(jī)會(huì)，結(jié)果使略偏離布拉格條件的電子束也能發(fā)生衍射。 電子衍射束的強(qiáng)度較大，拍攝衍射花樣時(shí)間短。因?yàn)樵訉?duì)電子的散射能力遠(yuǎn)大于對(duì)X射線的散射能力。,問(wèn)題：,這些規(guī)則排列的斑點(diǎn)是某晶面上的原子排列的直觀影象？ 這些斑點(diǎn)代表什么？ 這些斑點(diǎn)與晶體的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)有什么樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？ 這些斑點(diǎn)如何解釋？,正空間,倒空間,晶帶正空間與倒空間對(duì)應(yīng)關(guān)系圖,B,衍射花樣,衍射花樣,分析思路,實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，晶體點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)與其電子衍射斑點(diǎn)之間可

17、以通過(guò)另外一個(gè)假想的點(diǎn)陣很好地聯(lián)系起來(lái)，這就是倒易點(diǎn)陣。,物理學(xué)家Bragg最早解釋了衍射現(xiàn)象，提出了著名的Bragg公式：,顯然，上述的討論和表述都采用正空間習(xí)用的語(yǔ)言和處理方法，并沒(méi)有直觀地建立起衍射花樣與晶體結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系。于是，是否有可能在數(shù)學(xué)上另辟蹊徑，從幾何上對(duì)Bragg公式加以詮釋呢？,實(shí)際上，對(duì)于X射線的衍射問(wèn)題，Bragg通過(guò)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，理解為是晶面的“選擇性”反射，也就是說(shuō)，衍射花樣中的一個(gè)斑點(diǎn)與某個(gè)晶面相對(duì)應(yīng)，這樣，問(wèn)題就變成了如何把正空間的晶面表達(dá)為另一空間（倒空間）的一個(gè)點(diǎn)。,1.2.2 Bragg方程及其幾何圖解方法-厄瓦爾德球方法,1921年厄瓦爾德（Ewald）數(shù)

18、學(xué)上另辟蹊徑，從幾何上對(duì)Bragg公式加以詮釋，做了很好的嘗試，并獲得成功。 第一，建立了Bragg公式的幾何圖解方法，后稱為厄瓦爾德球方法； 第二，提出了與正空間、正點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的倒易空間、倒易點(diǎn)陣全新概念，而且指出了在一定條件下，倒空間、倒易點(diǎn)陣也是可見(jiàn)的，如在衍射實(shí)驗(yàn)時(shí)，在物鏡后焦面處記錄到的衍射譜，就是倒空間倒易點(diǎn)陣的一個(gè)截面。下面將簡(jiǎn)要說(shuō)明其基本思路。,瓦爾德（Ewald）建立Bragg公式的幾何解的思路,Bragg公式（1-1）可以改寫(xiě)為：,三角函數(shù)的表達(dá)式右邊分子與分母參數(shù)的量綱均變成長(zhǎng)度的（-1）次量綱。對(duì)上式進(jìn)行圖解表達(dá)，如圖1-18所示。,OC是入射束的方向， OB是設(shè)想的取

19、向能使入射束入射角滿足Bragg公式從而產(chǎn)生衍射的晶面(hkl)的反射束方向， OA就是(hkl)面延長(zhǎng)后交于反射球面的交點(diǎn)。,以晶體所在處O為圓心，以為半徑作一圓球，稱為厄瓦爾德球或反射球。,顯然滿足衍射條件時(shí)，CB必須與反射平面(hkl)垂直，而且長(zhǎng)度應(yīng)為，,即廣義晶面間距的倒數(shù)。,圖 Bragg公式的厄瓦爾德圖解,定義,矢量的方向就和正空間晶體點(diǎn)陣滿足布拉菲條件的hkl晶面的法線方向聯(lián)系起來(lái)了，其大小（或長(zhǎng)度）,與反射晶面面間距聯(lián)系起來(lái)了,則,矢量的大小,就能夠代表反射平面族hkl,矢量便稱為倒易矢量,在圖1-18的作圖空間里，所有的量都是正空間相應(yīng)量的（-1）次量綱：,圖 Bragg公

20、式的厄瓦爾德圖解,從前面的分析可知，倒易點(diǎn)陣是晶體點(diǎn)陣的倒易，它并不是一個(gè)客觀實(shí)在，也沒(méi)有特定的物理概念與意義，純粹是一種數(shù)學(xué)模型。然而倒易點(diǎn)陣對(duì)描述和闡述晶體對(duì)射線衍射的原理卻是一種非常有力的工具。射線在晶體的衍射與干涉和衍射十分類似。衍射過(guò)程中作為主體的光柵和作為客體的衍射像之間存在著一個(gè)傅立葉變換的關(guān)系。,1.5.2 倒易空間的建立及其基本性質(zhì),通常我們把晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)稱為正空間，而晶體對(duì)射線的衍射被稱為倒易空間。顯而易見(jiàn)，倒易空間并不是一個(gè)客觀實(shí)在的物理空間，而只是對(duì)一個(gè)物理空間的一種數(shù)學(xué)變換表達(dá)。同樣，倒易點(diǎn)陣也僅是對(duì)晶體點(diǎn)陣的一種數(shù)學(xué)變換表達(dá)。隨著物理學(xué)和固體物理的發(fā)展，倒易空間的概

21、念，還被十分廣泛地用來(lái)描述涉及能量分布空間的問(wèn)題。,倒易點(diǎn)陣是一種晶體學(xué)表示方法，是厄互爾德于1912年創(chuàng)立的，它是在量綱為L(zhǎng)-1的倒空間內(nèi)的另外一個(gè)點(diǎn)陣，與正空間內(nèi)的某特定的點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)。,1倒易點(diǎn)陣的數(shù)學(xué)表達(dá)及其基本性質(zhì),（1）倒易點(diǎn)陣基矢的定義,g矢量如何用正空間的點(diǎn)陣基矢a1、a2、a3以及反射晶面指數(shù)hkl去表達(dá)呢？,就能夠代表反射平面族hkl,矢量便稱為倒易矢量,、,圖1-19 倒易矢量的引入,設(shè)平面ABC為反射晶面（hkl）， 其法向矢量為Nhkl， 根據(jù)晶體學(xué)的定義，（hkl）晶面在三晶軸上的截距分別為,因?yàn)镹hkl P，Nhkl Q，Nhkl R，即有P Q Nhkl，同時(shí)，法

22、向矢量Nhkl的大小尚未限制，不妨定義一個(gè)g矢量來(lái)定義晶面法向，令,若取歸一化因子為,（V為晶胞體積）,（1-12）,（j=1, 2, 3）為新的三個(gè)基矢，定義了一個(gè)新的空間。于是，晶面的法向不僅能夠用正點(diǎn)正的基矢和晶面指數(shù)表達(dá)，,該矢量指向的端點(diǎn)的坐標(biāo)指數(shù)在,（j=1, 2, 3）定義的空間內(nèi)為（hkl）,2 倒易點(diǎn)陣（reciprocal lattice）,1)倒易點(diǎn)陣的定義及其基本性質(zhì) （1）倒易點(diǎn)陣基矢的定義 （2）倒易點(diǎn)陣的性質(zhì) 2). 正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣的指數(shù)互換 （1）正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣基矢間的關(guān)系 （2）正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣指數(shù)間的互換 3). 晶面間距與晶面夾角公式 （1）晶面間距

23、（2）晶面夾角公式,倒易點(diǎn)陣是一種晶體學(xué)表示方法，是厄互爾德于1912年創(chuàng)立的，它是在量綱為L(zhǎng)-1的倒空間內(nèi)的另外一個(gè)點(diǎn)陣，與正空間內(nèi)的某特定的點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)。,通過(guò)倒易點(diǎn)陣可以把晶體的電子衍射斑點(diǎn)直接解釋成晶體相應(yīng)晶面的衍射結(jié)果。,1)倒易點(diǎn)陣及其基本性質(zhì),（1）倒易點(diǎn)陣基矢的定義,如果用點(diǎn)陣基矢 （i = 1, 2, 3）定義一正點(diǎn)陣，若由另一個(gè)點(diǎn)陣基矢 （j = 1，2，3）定義的點(diǎn)陣滿足,式（1）中，V 陣胞體積,（1）,則由 定義的點(diǎn)陣為 定義的點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣。,由此可知， 與 分別定義的正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣互為倒易。,（2）,決定大小 決定方向,（2）倒易點(diǎn)陣的性質(zhì),據(jù)式（1）有,倒易矢量

24、及其基本性質(zhì),在倒易點(diǎn)陣中，以任一倒易點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O*(000)，由倒易原點(diǎn)O*(000)指向任一坐標(biāo)（HKL）的矢量稱為倒易矢量，表達(dá)為,（5）,其基本性質(zhì)：,上式表明： 倒易矢量垂直于正點(diǎn)陣中相應(yīng)的(hkl)晶面，或平行于它的法向； 倒易陣點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)代表的是正點(diǎn)陣中的一組晶面。,證 明：,（1）設(shè)平面ABC為（HKL），根據(jù)晶體學(xué)的定義，（HKL）在三晶軸上的截距為：,顯然，,因?yàn)椋?所以,同理可證：,則,n0,（2）設(shè) n0 為（HKL）法線方向的單位矢量 ，顯然，,且,晶面間距dHKL應(yīng)為該平面的任一截距在法線方向上的投影長(zhǎng)度,所以,同理可以證明：,對(duì)正交點(diǎn)陣，有,對(duì)立方系來(lái)講，晶面法

25、向和同指數(shù)的晶向是重合的，即倒易矢量是與相應(yīng)指數(shù)的晶向平行。,a1* / a1; . a1* = 1/a; .,1.3. 正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣的指數(shù)互換,（1）正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣基矢間的關(guān)系,假設(shè)正點(diǎn)陣基矢與倒易點(diǎn)陣基矢間可以通過(guò)變換矩陣G作如下變換,（6）,將（6）式兩端右乘行矩陣,（7）,由,可得,式中,（i, j = 1, 2, 3）,（8）,利用（6）式可以將倒易基矢變換為正基矢。,將（6）式兩端左乘G-1得,（9）,再將式（9）兩端同時(shí)右乘,(10),其中,（i, j =1, 2, 3）,舉例： 對(duì)立方晶系 a1 = a2 = a3 = a =900,（2）正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣指數(shù)間的互換,對(duì)

26、立方系，晶面（HKL）與其同名的晶向HKL垂直， 即,但對(duì)非立方晶系，這種關(guān)系在多數(shù)情況下不成立，因此，需要解決以下兩個(gè)問(wèn)題：,已知（HKL）晶面，求其法線方向uvw 已知某一晶向uvw，求與其垂直的晶面,設(shè)uvw是（HKL）晶面的法線，uvw(HKL)，有,顯然， 和 是同一方向的矢量在正倒空間的不同表達(dá)方式，可用數(shù)學(xué)式表達(dá)為,（11）,寫(xiě)成等式為：,（12）,（13）,式中,乘以一個(gè)K因子是為了將 和 均變?yōu)闊o(wú)量綱的單位矢量，實(shí)際上與uvw垂直的晶面是一系列平行的晶面組，如在立方系中，與110垂直的晶面有（110），（220），（330）。,同樣，（111）晶面的法線方向也可以是111，2

27、22等。,因此， 可以將（13）式中的K取消，寫(xiě)成等式,（14）,將（14）式兩端分別乘以， 、 、 ，得,（15）,寫(xiě)成矩陣形式為,（16）,舉例：,uvw與其同名的晶面組（uvw）垂直。,（1）立方晶系,(2) 六方晶系,如六方晶系的MoC， a = 2.90 , c = 2.77 , 求與晶向uvw = 111 垂直的晶面。,代入數(shù)據(jù)計(jì)算得 （HKL）=（4.205，4.205，7.673）=(1,1, 1.85)(559),同理，將（14）式兩端分別乘以 , 有,（17）,或?qū)ⅲ?6）式兩端乘G-1得到同樣結(jié)果。,1.4. 晶面間距與晶面夾角公式,（1）晶面間距,由倒易矢量的性質(zhì),進(jìn)一

28、步可寫(xiě)成,即,（18）,此式為適用于任何晶系的通用公式。,對(duì)立方晶系,cos* = cos* = cos* = 0,則有,（19）,（2）晶面夾角公式,兩晶面間的夾角可用兩晶面法線夾角表達(dá)，也即可用兩晶面對(duì)應(yīng)的倒易矢量夾角表示，故有,(20),上式 適用于任何晶系。,對(duì)立方晶系，夾角公式為,（21）,1.布拉格實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)裝置如圖所示。,C為樣品； 入射線以掠射角或布拉格角照射樣品； 滿足反射定律的方向設(shè)置反射線接收裝置； X射線照射樣品過(guò)程中，記錄裝置與樣品臺(tái)以2：1的角速度同步轉(zhuǎn)動(dòng)，以保證記錄裝置始終處于反射線位置上。,試驗(yàn)結(jié)果表明，即僅在特定的角度才有反射線，X射線的反射具有選擇性，即“選

29、擇反射”。,1.5.1 布拉格定律,1.5 Bragg定理及其幾何圖解,2. 布拉格方程的推導(dǎo),考慮：,晶體結(jié)構(gòu)的周期性 X射線具有穿透性 入射線與反射線均可視為平行光（光源與記錄裝置至樣品的距離較d大得多）,認(rèn)為，“選擇性反射”是各原子面各自產(chǎn)生的相互平行的反射線間的干涉作用的結(jié)果。,據(jù)此，可以構(gòu)造如圖所示的衍射幾何，X射線照射到（hkl）原子面上并產(chǎn)生反射，面間距為d0，相鄰兩晶面（如A1，A2）的反射線光程差:, = PM2 + M2Q = 2dsin,干涉相互加強(qiáng)的條件為 = n， 即,2dsin = n (2-1a),n 任意整數(shù)，反射級(jí)數(shù) d （hkl）晶面面間距 Bragg角 X

30、射線波長(zhǎng),式（2-1）稱為布拉格方程。,式中，,X-ray Diffraction (Bragg condition),2dsinq = l,l/2,dsinq,布拉格方程中的反射級(jí)數(shù)的物理意義：,設(shè)衍射晶面為（hkl）面間距為d，入射方向與衍射晶面成角，由X射線的衍射原理，則衍射必要條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式,由實(shí)驗(yàn)證明，衍射可解釋為晶面對(duì)入射波的反射，如圖所示。下面求幾何解,（2-1）,3 布拉格方程 （Bragg formula）的矢量表達(dá),設(shè)入射束和反射束的單位矢量分別為 S0 和 S,那么，,又可寫(xiě)為,令,有,（2-2）,K/，K分別為衍射線與入射線的波數(shù)矢量。,（2-1）（2-2）分別為布拉

31、格定律的標(biāo)量與矢量表達(dá)式。,由（2-1）變換可得,一般情況下，金屬和合金的面間距大都在0.2-0.4nm范圍，而電子波長(zhǎng)0.05nm(60KV)。因此，金屬和合金極易滿足條件產(chǎn)生衍射。且sin值很小，從而有特別小的衍射角。通常 10,那么，布拉格方程如何在幾何上表達(dá)呢？這就是下面要講的厄瓦爾德球作圖法。,1.5.2 厄瓦爾德球作圖法,在電子衍射的分析過(guò)程中，常常要用到厄瓦爾德球作圖法，利用這種方法可以比較直觀地觀察衍射晶面、入射束和衍射束之間的幾何關(guān)系。它實(shí)際上是布拉格方程的幾何表示。,厄瓦爾德球是位于倒易空間中的一個(gè)球面，球之半徑等于入射電子波波長(zhǎng)的倒數(shù)1/。,厄瓦爾德球作圖法：,具體作法如

32、下：,在倒易空間中，畫(huà)出衍射晶體的倒易點(diǎn)陣； 以倒易原點(diǎn)0*為端點(diǎn)，作入射波的波矢量K(OO*)，該矢量平行于入射束方向，長(zhǎng)度等于波長(zhǎng)的倒數(shù)，即 K=1/；,以O(shè)為中心，1/為半徑作一個(gè)球，這就是厄互爾德球。,若有倒易陣點(diǎn)G（hkl）正好落在厄瓦爾德球的球面上，則相應(yīng)的晶面組（hkl）與入射束的位向必滿足布拉格條件，而衍射束的方向就是OG或者衍射波矢量K/，其長(zhǎng)度等于反射球的半徑。,根據(jù)倒易矢量的定義,進(jìn)行矢量運(yùn)算有：,（23）,現(xiàn)在來(lái)證明（2-3）與（2-1）（2-2）是等價(jià)的。,證 明：,顯然，由圖可知，K與K之間的夾角等于2。這與布拉格定律的結(jié)果一致。,由O向0*G作垂線0D，垂足為D,

33、（hkl面的法線）, 0D就是正空間（hkl）面的方位,設(shè)它與入射束的夾角為，則有,綜上所述，愛(ài)瓦爾德球內(nèi)的三個(gè)矢量K、K和ghkl清楚地描述了入射束、衍射束和衍射晶面之間的相對(duì)關(guān)系。這個(gè)方法成為分析衍射的有效工具。,前面的做圖分析過(guò)程中，取愛(ài)瓦爾德球半徑為1/，且ghkl=1/dhkl,因此，愛(ài)瓦爾德球本身就置于倒空間。 而且倒空間的任一ghkl矢量就是正空間(hkl)晶面的代表，如果知道了ghkl矢量的排列方式，就可推得正空間對(duì)應(yīng)的衍射晶面的方位了，這就是電子衍射分析要解決的主要問(wèn)題。,The following figures show the annotation of crystal

34、 surfaces,1.6 晶帶定律與零層倒易截面,晶體中，與某一晶向uvw平行的所有晶面（HKL）屬于同一晶帶，稱為uvw晶帶，該晶向uvw稱為此晶帶的晶帶軸，表示為,此晶帶內(nèi)的各晶面用相應(yīng)的倒易矢量來(lái)表示為,（22）,即,(23),式（22）為晶帶定律的矢量表達(dá)式,式（23）為晶帶定律的標(biāo)量表達(dá)式,如圖所示，取某點(diǎn)O*為倒易原點(diǎn)，則該晶帶所有晶面對(duì)應(yīng)的倒易矢（倒易點(diǎn)）將處于同一倒易平面中，這個(gè)倒易平面與Z垂直。,由正、倒空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，與Z垂直的倒易面為（uvw）*,即 uvw(uvw)*,因此，由同晶帶的晶面構(gòu)成的倒易面就可以用（uvw）*表示，且因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)O*，則稱為0層倒易截面（uv

35、w）*。,正空間,倒空間,圖2-3 晶帶正空間與倒空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖,反過(guò)來(lái)，若已知uvw晶帶中任意兩晶面（H1K1L1）和（H2K2L2），則可按晶帶定理求晶帶軸指數(shù)，有,解此方程組得,（24）,手算時(shí)寫(xiě)成更容易記憶的形式,u v w,舉列：,一立方晶胞以001作晶帶軸時(shí)，（100）、（010）、（110）和（210）等晶面均和001平行，相應(yīng)的零層倒易截面如圖所示。,體心立方晶體001和011晶帶的標(biāo)準(zhǔn)零層倒易截面圖。,1.7 結(jié)構(gòu)因子與倒易點(diǎn)陣的結(jié)構(gòu)消光及倒易點(diǎn)陣類型,1.7.1 結(jié)構(gòu)消光,或,上述條件給出的是某晶面組（hkl）產(chǎn)生衍射的必要條件，滿足了上述的要求，也未必一定產(chǎn)生衍射。這樣

36、，把滿足布拉格條件而不產(chǎn)生衍射的現(xiàn)象稱為結(jié)構(gòu)消光。,滿足Bragg方程,或者倒易陣點(diǎn)正好落在愛(ài)瓦爾德球球面上的(hkl)晶面組是否會(huì)產(chǎn)生衍射束？。,答案是：,下面將從衍射強(qiáng)度的角度進(jìn)行分析。,X射線的衍射強(qiáng)度,結(jié)構(gòu)因子的定義：,F稱為結(jié)構(gòu)因子 它是以一個(gè)電子散射波振幅為單位所表征的晶胞散射波振幅。因此也稱為結(jié)構(gòu)振幅。,某個(gè)晶面的結(jié)構(gòu)因子：,在(h k l)晶面的衍射方向上，晶胞中某個(gè)原子A(坐標(biāo)為xjyjzj)與其陣胞原點(diǎn)O上原子的散射波的位相差為,于是(hkl)晶面的結(jié)構(gòu)因子為：,或,由X射線的衍射知道，衍射束的強(qiáng)度,（26）,Fhkl（hkl）晶面組的結(jié)構(gòu)因子（結(jié)構(gòu)振幅），表征晶體的正點(diǎn)陣

37、晶胞內(nèi)所有原子的散射波在衍射方向的合成振幅。,fj晶胞中位于（xj, yj, zj）的第j個(gè)原子的散射因子 n晶胞原子數(shù),（第j個(gè)原子的座標(biāo)矢量）,（hkl）晶面組的結(jié)構(gòu)因子（結(jié)構(gòu)振幅）Fhkl它表征單胞的衍射強(qiáng)度，反映了晶體的正點(diǎn)陣晶胞內(nèi)原子種類（ fj ）、原子個(gè)數(shù)（n）以及原子位置（xj, yj, zj）對(duì)衍射強(qiáng)度的影響。,Fhkl2具有強(qiáng)度的意義，即F2越大，Ihkl越大。,當(dāng)Fhkl=0時(shí)，Ihkl=0，即使?jié)M足Bragg定律，也沒(méi)有衍射束產(chǎn)生，因?yàn)槊總€(gè)晶胞內(nèi)原子散射波的合成振幅為零，這叫結(jié)構(gòu)消光。,在X射線衍射中已經(jīng)計(jì)算過(guò)典型晶體結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子。,可以看出:,1.7.2 產(chǎn)生衍射的

38、充分必要條件,產(chǎn)生衍射的必要條件 充分條件 Fhkl0,綜上所述：,常見(jiàn)晶體的結(jié)構(gòu)消光規(guī)律,1.7.3 倒易點(diǎn)陣的類型,由上所述，滿足Bragg定律只是產(chǎn)生衍射的必要而非充分條件，只有同時(shí)又滿足F0的（HKL）晶面組才能得到衍射束。,考慮到這一點(diǎn)，可以把Fhkl2作為“權(quán)重”加到相應(yīng)的倒易陣點(diǎn)上去，此時(shí)，倒易點(diǎn)陣中各個(gè)陣點(diǎn)將不再是彼此等同的，“權(quán)重”的大小表明各陣點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的晶面組發(fā)生衍射時(shí)的衍射束強(qiáng)度。,凡“權(quán)重”為0，即 F=0的那些陣點(diǎn)，都應(yīng)當(dāng)從倒易點(diǎn)陣中抹去，僅留下可能會(huì)產(chǎn)生衍射的那些陣點(diǎn)。只要這些F0的陣點(diǎn)落在反射球面上，必有衍射束產(chǎn)生。,這樣，在f.c.c晶體點(diǎn)陣中，要把h、k、l奇

39、、偶數(shù)混合的那些陣點(diǎn)抹去，就成了體心立方結(jié)構(gòu)的點(diǎn)陣，如圖所示 同理，b.c.c點(diǎn)陣對(duì)應(yīng)的倒易點(diǎn)陣為面心結(jié)構(gòu)。,基本規(guī)律概括為：,倒易點(diǎn)陣與所對(duì)應(yīng)的晶體點(diǎn)陣同屬于相同的晶系 倒易點(diǎn)陣與相應(yīng)的晶體點(diǎn)陣布拉菲結(jié)構(gòu)特征除面心和體心倒易互換外，其余都是相同的。,1.7.4 倒易陣點(diǎn)的擴(kuò)展（形狀）與偏移參量,從幾何意義上來(lái)看，電子束方向與某晶帶軸重合時(shí)，零層倒易面除原點(diǎn)O*外，都不可能與愛(ài)瓦爾德球相交，因而，不可能產(chǎn)生衍射，如圖（a）所示。,若要使晶帶中的某一個(gè)或幾個(gè)晶面產(chǎn)生衍射，必須將晶體傾斜，如圖（b）所示。,在實(shí)際電子衍射操作中，即使B/uvw，使零層倒易截面的倒易點(diǎn)不與愛(ài)瓦爾德球面嚴(yán)格相交仍能發(fā)生

40、衍射，即入射束和晶面間的夾角和精確Bragg角B存在某一偏差時(shí)仍能發(fā)生衍射。,這是因?yàn)閷?shí)際的樣品晶體都有確定的形狀和有限的尺寸，因而，它的倒易點(diǎn)不是一個(gè)幾何意義上的點(diǎn)，而是沿著晶體尺寸較小的方向發(fā)生擴(kuò)展，擴(kuò)展量為該方向?qū)嶋H尺寸的倒數(shù)的2倍。,衍射晶面位向與精確Bragg條件的允許偏差和樣品晶體的形狀和尺寸有關(guān)，這可以用倒易陣點(diǎn)的擴(kuò)展來(lái)表示。,電子顯微分析中常見(jiàn)的樣品及其對(duì)應(yīng)的擴(kuò)展倒易點(diǎn)的形狀,（1）薄片,（2）棒狀或針狀,（3）顆粒狀或球狀,倒易陣點(diǎn)的形狀效應(yīng),假定倒易點(diǎn)擴(kuò)展為桿，桿子總長(zhǎng)2/t。如圖可見(jiàn)，在偏離Bragg角 max范圍內(nèi)，倒易桿都能和球面相接觸而產(chǎn)生衍射。,如圖所示，偏離時(shí)，

41、倒易桿中心至愛(ài)瓦爾德球面交截點(diǎn)的距離可用矢量S表示，S就是偏離矢量， 為正，S為正，反之為負(fù)。即S以入射束K作為它的正方向，S越大，衍射強(qiáng)度越小。,偏離矢量的定義,下圖給出了不同偏離矢量（s = 0， s 0）三種典型情況下的愛(ài)瓦爾德球作圖。,倒易陣點(diǎn)擴(kuò)展后的愛(ài)瓦爾德球圖解,在偏離Bragg條件下，產(chǎn)生衍射的條件可表示為,顯然，當(dāng)= max時(shí)，S = Smax = 1/t 當(dāng) max時(shí),不發(fā)生衍射,倒易陣點(diǎn)的形狀可以反映衍射斑點(diǎn)的強(qiáng)度分布和精細(xì)結(jié)構(gòu),1.8 倒易點(diǎn)陣與電子衍射圖的關(guān)系,1.8.1 電子衍射裝置與電子衍射基本公式推導(dǎo),右圖是導(dǎo)出電子衍射基本公式的普通電子衍射裝置示意圖。,電子束波

42、長(zhǎng)為 樣品晶體置于O處 離樣品距離為L(zhǎng)處放置底版 假定面間距為d的（hkl）面滿足Bragg條件，則發(fā)生衍射，透射束和衍射束將和底片分別交于O和P。 O為衍射花樣的中心斑，P為（hkl）面的衍射斑。,此時(shí)，作Ewald球與晶體對(duì)應(yīng)的倒易點(diǎn)陣，如圖示。那么，必有（hkl）對(duì)應(yīng)的倒易點(diǎn)G(hkl)落在Ewald球面上。, 2很小，一般為1-20,由,代入上式,即,（24）,（2-4）為電子衍射的基本公式 L為相機(jī)長(zhǎng)度,令,定義為電子衍射相機(jī)常數(shù),把電子衍射基本公式寫(xiě)成矢量表達(dá)式,（25）,這說(shuō)明是相應(yīng)的按比例放大，K稱為電子衍射放大率。,單晶花樣中的斑點(diǎn)可以直接被看成是相應(yīng)衍射晶面的倒易陣點(diǎn)，各個(gè)斑點(diǎn)的R矢量也就是相應(yīng)的倒易矢量g。衍射花樣的幾何性質(zhì)與滿足衍射條件的倒易陣點(diǎn)圖形完全是一致的。,1.8.2 倒易點(diǎn)陣與電子衍射圖的關(guān)系,從上面的分析看到，產(chǎn)生電子衍射的晶面，其對(duì)應(yīng)的倒易點(diǎn)必落在厄互爾德球面上。