2019版高考數(shù)學一輪復習第8章平面解析幾何第4講直線與圓圓與圓的位置關(guān)系學案

1、第4講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系板塊一知識梳理自主學習必備知識考點2圓與圓的位置關(guān)系(O1、O2半徑r1、r2，d|O1O2|)必會結(jié)論1關(guān)注一個直角三角形當直線與圓相交時，由弦心距(圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成一個直角三角形2圓心在過切點且垂直于切線的直線上3兩圓相交時公共弦的方程設(shè)圓C1：x2y2D1xE1yF10，圓C2：x2y2D2xE2yF20，若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由所得，即：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.4兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線5兩圓不同的位置關(guān)系與對應公切線的條數(shù)(1)兩圓外離時，有4條公切線；(2)兩圓外切時，有3

2、條公切線；(3)兩圓相交時，有2條公切線；(4)兩圓內(nèi)切時，有1條公切線；(5)兩圓內(nèi)含時，沒有公切線 考點自測1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)“k1”是“直線xyk0與圓x2y21相交”的必要不充分條件()(2)過圓O：x2y2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程是x0xy0yr2.()(3)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切()(4)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交()(5)“m0”是“直線xym0與圓(x1)2(y1)22相切”的充分不必要條件()答案(1)(2)(3)(4)(5)2課本改編直線l：xy10與圓C：x2y24x

3、2y10的位置關(guān)系是()A相離 B相切C相交且過圓心 D相交但不過圓心答案D解析圓的方程化為(x2)2(y1)24，圓心為(2,1)，半徑為2，圓心到直線l的距離為2，所以直線l與圓相交又圓心不在直線l上，所以直線不過圓心故選D.3在平面直角坐標系xOy中，直線3x4y50與圓x2y24相交于A，B兩點，則弦AB的長為()A3 B2 C. D1答案B解析圓心(0,0)到直線3x4y50的距離d1，因為222123，所以|AB|2.4課本改編圓x2y24x0在點P(1，)處的切線方程為()Axy20 Bxy40Cxy40 Dxy20答案D解析圓的方程為(x2)2y24，圓心坐標為(2,0)，半徑

4、為2，點P在圓上，由題可知切線的斜率存在，設(shè)切線方程為yk(x1)，即kxyk0，2，解得k.切線方程為y(x1)，即xy20.52018重慶模擬圓O1：x2y22x0和圓O2：x2y24y0的位置關(guān)系是()A相離 B相交 C外切 D內(nèi)切答案B解析圓O1的圓心坐標為(1,0)，半徑長r11，圓O2的圓心坐標為(0,2)，半徑長r22，故兩圓的圓心距d，而r2r11，r1r23，則有r2r1dr1r2，故兩圓相交62018溫州十校聯(lián)考對任意的實數(shù)k，直線ykx1與圓C：x2y22x20的位置關(guān)系是()A相離 B相切C相交 D以上三個選項均有可能答案C解析直線ykx1恒經(jīng)過點A(0，1)，圓x2y

5、22x20的圓心為C(1,0)，半徑為，而|AC|0，所以直線l與圓C相交故選A.解法二：因為圓心(0,1)到直線l的距離d1，故直線l與圓相交選A.解法三：直線l：mxy1m0過定點(1,1)，因為點(1,1)在圓C：x2(y1)25的內(nèi)部，所以直線l與圓C相交故選A.觸類旁通判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法(1)代數(shù)法：(2)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：dr相離【變式訓練1】2018深圳模擬已知點M(a，b)在圓O：x2y21外，則直線axby1與圓O的位置關(guān)系是()A相切 B相交 C相離 D不確定答案B解析因為M(a，b)在圓O：x2y21外，所以a2b21

6、，而圓心O到直線axby1的距離d4，所以點M在圓C外部當過點M的直線斜率不存在時，直線方程為x3，即x30.又點C(1,2)到直線x30的距離d312r，即此時滿足題意，所以直線x3是圓的切線當切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y1k(x3)，即kxy13k0，則圓心C到切線的距離dr2，解得k.所以切線方程為y1(x3)，即3x4y50.綜上可得，過點M的圓C的切線方程為x30或3x4y50.因為|MC|，所以過點M的圓C的切線長為1.觸類旁通圓的切線有關(guān)的結(jié)論(1)過圓x2y2r2上一點P(x0，y0)的切線方程為x0xy0yr2.(2)過圓(xa)2(yb)2r2上一點P(x0，y0)的切

7、線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)過圓x2y2r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點為A，B，則過A、B兩點的直線方程為x0xy0yr2.(4)過圓x2y2DxEyF0(D2E24F0)外一點P(x0，y0)引圓的切線，切點為T，則切線長為|PT|.(5)過圓C：(xa)2(yb)2r2(r0)外一點P(x0，y0)作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(6)若圓的方程為(xa)2(yb)2r2(r0)，則過圓外一點P(x0，y0)的切線長d.【變式訓練2】2015廣東高考平行于直線2xy10且與圓

8、x2y25相切的直線的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0答案A解析設(shè)與直線2xy10平行的直線方程為2xym0(m1)，因為直線2xym0與圓x2y25相切，即點(0,0)到直線2xym0的距離為，所以，|m|5.故所求直線的方程為2xy50或2xy50.命題角度2圓的弦長問題例3過點(4,0)作直線l與圓x2y22x4y200交于A，B兩點，若|AB|8，則直線l的方程為()A5x12y200B5x12y200或x40C5x12y200D5x12y200或x40答案B解析圓的標準方程為(x1)2(y2)225，由|AB|8知，圓

9、心(1,2)到直線l的距離d3.當直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x4時，符合題意當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為yk(x4)，即kxy4k0.則有3，k.此時直線l的方程為5x12y200.命題角度3圓中的最值問題斜率型最值例4已知實數(shù)x，y滿足方程x2y24x10，則的最大值為_，最小值為_答案解析原方程可化為(x2)2y23，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓.的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)k，即ykx.當直線ykx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值(如圖)，此時，解得k.所以的最大值為，最小值為.截距型最值例52018鄭州模擬已知實數(shù)x，y滿足x2y24(y0)

10、，則mxy的取值范圍是()A(2，4) B2，4C4,4 D4,2答案B解析由于y0，所以x2y24(y0)為上半圓.xym0是直線(如圖)，且斜率為，在y軸上截距為m，又當直線過點(2,0)時，m2，所以即解得m2，4，選B.觸類旁通直線與圓綜合問題的解題策略(1)用幾何法求圓的弦長：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則2r2d2.(2)求過一點的圓的切線方程時，首先要判斷此點與圓的位置關(guān)系，若點在圓內(nèi)，無解；若點在圓上，有一解；若點在圓外，有兩解(3)對于圓的最值問題，一般是根據(jù)條件列出關(guān)于所求目標的式子函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應用不等式的性

11、質(zhì)求出最值【變式訓練3】2015江蘇高考在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mxy2m10(mR)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為_答案(x1)2y22解析解法一：設(shè)A(1,0)，由mxy2m10，得m(x2)(y1)0，則直線過定點P(2，1)，即該方程表示所有過定點P的直線系方程當直線與AP垂直時，所求圓的半徑最大此時，半徑為|AP|.故所求圓的標準方程為(x1)2y22.解法二：設(shè)圓的半徑為r，根據(jù)直線與圓相切的關(guān)系得r ，當m0時，10時，m212m(當且僅當m1時取等號)所以r，即rmax，故半徑最大的圓的方程為(x1)2y22.考向兩圓的位置關(guān)系 例6(1

12、)2016山東高考已知圓M：x2y22ay0(a0)截直線xy0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是()A內(nèi)切 B相交 C外切 D相離答案B解析由題意知圓M的圓心為(0，a)，半徑Ra，因為圓M截直線xy0所得線段的長度為2，所以圓心M到直線xy0的距離d(a0)，解得a2，又知圓N的圓心為(1,1)，半徑r1，所以|MN|，則Rr0)的公共弦的長為2，則a_.答案1解析兩圓的方程相減，得公共弦所在的直線方程為(x2y22ay6)(x2y2)04y，又a0，結(jié)合圖形，利用半徑、弦長的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形，可知 1a1.觸類旁通如何處理兩圓的位置關(guān)系判斷

13、兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2、y2項得到【變式訓練4】已知圓C1：x2y22mx4ym250與圓C2：x2y22x2mym230，若圓C1與圓C2相外切，則實數(shù)m()A5 B5或2 C6 D8答案B解析對于圓C1與圓C2的方程，配方得圓C1：(xm)2(y2)29，圓C2：(x1)2(ym)24，則圓C1的圓心C1(m，2)，半徑r13，圓C2的圓心C2(1，m)，半徑r22.如果圓C1與圓C2相外切，那么有|C1C2|r1r2，即5，則m23m100，解得m5或m2，

14、所以當m5或m2時，圓C1與圓C2相外切核心規(guī)律切線、弦長的求解方法(1)求圓的切線方程可用待定系數(shù)法，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)系式求出切線的斜率即可(2)幾何方法求弦長，利用弦心距，即圓心到直線的距離、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計算滿分策略1.過圓外一定點作圓的切線，有兩條，若在某種條件下只求出一個結(jié)果，則要想到還有斜率不存在的情況2.在兩個圓相交的情況下，兩個圓的方程相減后得到的直線方程才是公共弦所在的直線方程.板塊三啟智培優(yōu)破譯高考數(shù)學思想系列 8數(shù)形結(jié)合思想在圓中的妙用 2018江西模擬過點(，0)引直線l與曲線y相交于A，B兩點，O為坐標原點，當AOB的面積取最大值時

15、，直線l的斜率等于()A. B C D解題視點如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)中蘊含著明顯的幾何特征，就要考慮數(shù)形結(jié)合法求解，解答本題時首先要看到曲線y表示的是以原點為圓心，1為半徑的半個圓，作出圖形，結(jié)合三角形面積公式，確定面積最大時直線l的斜率解析由y得x2y21(y0)，即該曲線表示圓心在原點，半徑為1的半圓，如圖所示故SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB.所以當sinAOB1，即OAOB時，SAOB取得最大值，此時點O到直線l的距離d|OA|sin45.設(shè)此時直線l的斜率為k，則方程為yk(x)，即kxyk0，則有，解得k，由圖可知直線l的傾斜角為鈍角，故取k.答案B答題啟示“數(shù)”與“

16、形”是數(shù)學這座高樓大廈的兩塊最重要的基石，二者在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，而數(shù)形結(jié)合法正是在這一學科特點的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的.在解答選擇題的過程中，可以先根據(jù)題意，作出草圖，然后參照圖形的作法、形狀、位置、性質(zhì)，綜合圖象的特征，得出結(jié)論.跟蹤訓練2018湖北模擬若直線yxb與曲線y3有公共點，則b的取值范圍是()A12，12 B1，3C1,12 D12，3答案D解析y3，1y3，(x2)2(y3)24(1y3)，即曲線y3表示以(2,3)為圓心，2為半徑的下半圓直線yxb與曲線y3有公共點，表示兩曲線至少有一個公共點符合條件的直線應是夾在過點(0,3)和與下半圓

17、相切的兩直線之間當直線yxb過點(0,3)時，b3；當直線yxb與圓y3相切時，由點到直線的距離公式，得2，|b1|2.結(jié)合圖形知b12.12b3，故選D.板塊四模擬演練提能增分 A級基礎(chǔ)達標12018福建漳州八校聯(lián)考已知點P(a，b)(ab0)是圓x2y2r2內(nèi)的一點，直線m是以P為中點的弦所在的直線，直線l的方程為axbyr2，那么()Aml，且l與圓相交 Bml，且l與圓相切Cml，且l與圓相離 Dml，且l與圓相離答案C解析點P(a，b)(ab0)在圓內(nèi)，a2b2r，ml，l與圓相離故選C.2已知過點P(2,2)的直線與圓(x1)2y25相切，且與直線axy10垂直，則a等于()A B

18、1 C2 D.答案C解析圓心為C(1,0)，由于P(2,2)在圓(x1)2y25上，P為切點，CP與過點P的切線垂直kCP2.又過點P的切線與直線axy10垂直，akCP2，選C.32018湖北武漢調(diào)研圓x2y24與圓x2y24x4y120的公共弦所在直線和兩坐標軸所圍成圖形的面積為()A1 B2 C4 D8答案B解析圓x2y24與圓x2y24x4y120的公共弦所在直線的方程為xy20，它與兩坐標軸分別交于(2,0)，(0,2)，所以直線和兩坐標軸所圍成圖形的面積為222.故選B.4已知圓x2y22x2ya0截直線xy20所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是()A2 B4 C6 D8答案B解析由

19、圓的方程x2y22x2ya0可得，圓心為(1,1)，半徑r.圓心到直線xy20的距離為d.由r2d22，得2a24，所以a4.52018安徽模擬若過點P(，1)的直線l與圓x2y21有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍是()A. B. C. D.答案D解析設(shè)直線l的方程為y1k(x)，即kxyk10.由d1, 得0k，所以直線l的傾斜角的取值范圍是.6圓C1：x2y22x2y20與圓C2：x2y24x2y40的公切線有()A1條 B2條 C3條 D4條答案D解析圓C1：(x1)2(y1)24，圓心C1(1，1)，半徑r12；圓C2：(x2)2(y1)21，圓心C2(2,1)，半徑r21.兩圓心

20、的距離d，r1r23，dr1r2，兩圓外離，兩圓有4條公切線7由直線yx1上的一點向圓x2y26x80引切線，則切線長的最小值為()A. B2 C3 D.答案A解析如圖，在RtPAB中，要使切線PB最小，只需圓心與直線yx1上的點的距離取得相應最小值即可，易知其最小值為圓心到直線的距離，即|AP|min2，故|BP|min .82018太原質(zhì)檢過點A(4,1)的圓C與直線xy10相切于B(2,1)，則圓C的方程為_答案(x3)2y22解析設(shè)圓C的方程為(xa)2(yb)2r2，由題意知：點(a，b)既在直線y1(x2)上，又在AB的垂直平分線上，由得圓心坐標為(3,0)，r|AC|，所以圓C的

21、方程為(x3)2y22.92016全國卷設(shè)直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點，若|AB|2，則圓C的面積為_答案4解析圓C的方程可化為x2(ya)2a22，可得圓心的坐標為C(0，a)，半徑r，所以圓心到直線xy2a0的距離為，所以2()2()2，解得a22，所以圓C的半徑為2，所以圓C的面積為4.102018沈陽質(zhì)檢過點M(1,2)的直線l與圓C：(x3)2(y4)225交于A，B兩點，C為圓心，當ACB最小時，直線l的方程是_答案xy30解析依題意得知，當ACB最小時，圓心C到直線l的距離達到最大，此時直線l與直線CM垂直，又直線CM的斜率為1，因此所求的直線l的方程是

22、y2(x1)，即xy30.B級知能提升1已知圓C：(x)2(y1)21和兩點A(t,0)，B(t,0)，(t0)，若圓C上存在點P，使得APB90，則t的取值范圍是()A(0,2 B1,2 C2,3 D1,3答案D解析由題意可知，若使圓C上存在點P，使得APB90，即圓C與以原點O為圓心，半徑為t的圓有交點，即|OC|1t|OC|1，即1t3，t的取值范圍為1,3，故選D.22017河南洛陽二模已知圓C的方程為x2y21，直線l的方程為xy2，過圓C上任意一點P作與l夾角為45的直線交l于點A，則|PA|的最小值為()A. B1 C.1 D2答案D解析解法一：由題意可知，直線PA與坐標軸平行或

23、重合，不妨設(shè)直線PA與y軸平行或重合，設(shè)P(cos，sin)，則A(cos，2cos)，|PA|2cossin|，|PA|的最小值為2.故選D.解法二：由題意可知圓心(0,0)到直線xy2的距離d，圓C上一點到直線xy2的距離的最小值為1.由題意可得|PA|min(1)2.故選D.32017江蘇高考在平面直角坐標系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，點P在圓O：x2y250上若20，則點P的橫坐標的取值范圍是_答案5，1解析解法一：因為點P在圓O：x2y250上，所以設(shè)P點坐標為(x，)(5x5)因為A(12,0)，B(0,6)，所以(12x，)或(12x，)，(x，6)或(x,6)因為20，先取P(x, )進行計算，所以(12x)(x)()(6)20，即2x5 .當2x50，即x時，上式恒成立；當2x50，即x時，(2x5)250x2，解得5x1，故x1.同理可得P(x，)時，x5.又5x5，所以5x1.故點P的橫坐標的取值范圍為5，1解法二：設(shè)P(x，y)，則(12x，y)，(x，6y)20，(12x)(x)(y)(6y)20，即2xy50.如圖，作圓O：x2y250，直線2x