數(shù)字信號處理線性系統(tǒng)的時域分析法

1、3-2 穩(wěn)定性分析 3-3 穩(wěn)態(tài)誤差計算 3-1 一階和二階系統(tǒng)的分析和計算,第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法,第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 在典型輸入信號作用下,任何一個控制系統(tǒng)的時間響應都由動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成. (1)動態(tài)過程:又稱過渡過程或瞬態(tài)過程, (2)穩(wěn)態(tài)過程:當時間t趨于無窮時,系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式.,r(t),c(t),動態(tài)過程 穩(wěn)態(tài)過程,動態(tài)性能： 延遲時間 td 上升時間 tr 峰值時間 tp 調(diào)節(jié)時間 ts,超調(diào)量%:,穩(wěn)態(tài)性能-穩(wěn)態(tài)誤差ess,3-2 穩(wěn)定性分析 1.穩(wěn)定的概念和定義 定義:在擾動發(fā)生后,系統(tǒng)的過渡過程是衰減的(即系統(tǒng)能 回到平衡狀態(tài))則該系統(tǒng)是穩(wěn)

2、定的.,單擺,2.穩(wěn)定的充要條件,特征方程 D(s)=0,系統(tǒng)的脈沖響應為：,特征根實部,特征根：,特征根全部位于左半S平面,穩(wěn)定判據(jù) 設: a00 (1)穩(wěn)定必要條件 ai(i=0,1,2,n)0,(2)勞思穩(wěn)定判據(jù) 1)勞思表 cij= ci+1.j-2 c1.j-2 ci+1.j-1 c1.j-1 i-列；j-行 c1.j-1,穩(wěn)定充分必要條件 C1,j 0 (j=0,1n+1),例:設系統(tǒng)特征方程為 s4+2s3+3s2+4s+5=0試用勞思判據(jù)判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 解: 該系統(tǒng)勞思表為 s4 1 3 5 s3 2 4 0 s2 (23-14)/2=1 5 0 s1 (14-25)/1

3、=-6 s0 5 由于勞思表的第一列系數(shù)有兩次變號,故該系統(tǒng)不穩(wěn)定,且有兩個正根. 2)勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況 . 勞思表中某行的第一列項為零,而其余各項不為零,或不全為零.,例: 特征方程為D(s)= s3-3s+2=0 其勞思表為 s3 1 -3 s2 0 2 s2 D(s)(s+a)=0 (a0) 若: D(s)(s+3)=0 s4+3s3-3s2-7s+6=0 列出新的勞思表如下: s4 1 -3 6 s3 3 -7 0 s2 -2/3 6 0 s1 20 0 0 s0 6 由新勞思表可知,第一列有兩次符號變化,故系統(tǒng)不穩(wěn)定,且有兩個正實根.,.勞思表中出現(xiàn)全零行. 例:已知系統(tǒng)特征方

4、程為 D(s)=s6+s5-2s4-3s3-7s2-4s-4=0 試用勞思判據(jù)判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性.,s6 1 -2 -7 -4 s5 1 -3 -4 s4 1 -3 -4 (輔助方程F(s)=0系數(shù)) s3 0 0 0 用全零行前一行系數(shù)構(gòu)造輔助方程: F(s)=s4-3s2-4=0 輔助方程對s求導,得: 4s3-6s=0 用導數(shù)方程的系數(shù)取代全零行相應的元得到:,s6 1 -2 -7 -4 s5 1 -3 -4 0 s4 1 -3 -4 s3 4 -6 0 (dF(s)/d(s)=0 系數(shù)) s2 -1.5 -4 s1 -16.7 0 s0 -4 由于勞思表第一列數(shù)值有一次符號變化,故系統(tǒng)

5、不穩(wěn)定,且有一個正實部根.其特征根是2, j,(-1j3)/2 輔助方程:F(s)=s4-3s2-4=(s2-4)(s2+1)=0,3)勞思穩(wěn)定判據(jù)的應用 例:設比例-積分(PI)控制系統(tǒng)如圖所示.其中,K1為與積分器時間常數(shù)有關的待定參數(shù). G(s)=n2 / s(s+2n) 已知參數(shù)=0.2及n=86.6,試用勞思穩(wěn)定判據(jù)確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K1取值范圍.,R(s),E(s),k1/s,C(s),G(s),解:根據(jù)圖寫出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 因而閉環(huán)特征方程為 代入已知的和n 列出相應的勞思表: s3 1 7500 s2 34.6 7500 K1 s1 (750034.6- 7500 K1

6、)/34.6 0 s0 由勞思穩(wěn)定判據(jù),令勞思表中第一列各元為正, 750034.6- 7500 K1 0 7500 K1 0 得系統(tǒng)穩(wěn)定的K1值范圍為 0 K134.6,如果要求閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部位于s=-1垂線之左,問 K1值范圍又應取多大? 可令s=s1-1,代入原特征方程,得到如下新特征方程: (s1-1)3+34.6 (s1-1)2+7500 (s1-1)+7500K1=0 整理得 相應的勞思表為 s13 1 7433.8 s12 31.6 7500K1-7466.4 s11 (31.67433.88- 7500 K1+7466.4)/31.6 0 s10 7500 K1-7466.

7、4 令勞思表中第一列各元為正, 即使得全部閉環(huán)極點位于s=-1垂線之左的K1的取值范圍: 1K132.3,3-3 穩(wěn)態(tài)誤差計算 1.誤差與穩(wěn)態(tài)誤差 誤差兩種定義: 1)輸入端定義誤差 E(s)=R(s)- B(s) 偏差 2)輸出端定義誤差 希望輸出量與實際值之差C= C*-C,R(s),E(s),G(s),H(s),C(s),B(s),例: 100-10mv H(s)=10mv/ 100=0.1mv/ C*=10mv1/H(s)=100 C= C*-C 由圖(a)變換為下圖 E(s)=R(s)- B(s)= R(s)- H(s)C(s) E(s)=R(s)-C(s)=R(s)/H(s)- C

8、(s) E(s)= E(s)/H(s),e(t)=L-1E(s)=ets(t)+ ess(t),穩(wěn)態(tài)誤差:,e(t),2.系統(tǒng)類型 K=limsG(s)H(s) v=0 零型系統(tǒng) v=1 型系統(tǒng) v=2 型系統(tǒng) ,s0,3.輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差和靜態(tài)誤差系數(shù) (1)階躍輸入 r(t)=R1(t) R(s)=R/s ess=lim(sR/s)/(1+G(s)H(s)=limR/(1+G(s)H(s) =R/(1+limG(s)H(s) 令Kp=limG(s)H(s)=limk/sv (靜態(tài)位置誤差系數(shù)) K, v=0 Kp= , v1 R/(1+Kp)=常數(shù), v=0 ess= (靜態(tài)位置誤差)

9、 0, v1,s0,s0,s0,s0,s0,(2)斜坡輸入 若r(t)=Rt 則R(s)=R/s2 ess=lim(sR/s2)/1+G(s)H(s)=limR/s+sG(s)H(s) =R/limsG(s)H(s) 令Kv=limsG(s)H(s)=limk/sv-1 (Kv為靜態(tài)速度誤差系數(shù)) ess=R/Kv (ess為速度誤差) 0型系統(tǒng): v=0 Kv=0 ess= 型系統(tǒng): v=1 Kv=k ess=R/k=常數(shù) 型及型系統(tǒng): v2 Kv= ess=0,s0,s0,s0,s0,s0,(3)拋物線輸入 若r(t)= Rt2/2 則R(s)=R/s3 ess= lim(sR/s3)/(

10、1+G(s)H(s)=limR/(s2+s2GH) =R/lims2GH 令Ka=lims2GH=limk/sv-2 (加速度誤差系數(shù)) ess=R/Ka , v=0,1 ess= R/k=常數(shù), v=2 0, v3 例：如果系統(tǒng)承受的輸入信號是多種典型函數(shù)的組合，如 r（t）=R01(t)+R1t+1/2(R2t2) 則根據(jù)線性疊加原理，可將每一輸入分量單獨作用于系統(tǒng)，再將各穩(wěn)態(tài)誤差分量疊加起來，得到 ess= R0/(1+Kp)+ R1/Kv+ R2/Ka,s0,s0,s0,s0,s0,在系統(tǒng)誤差分析中，只有當輸入信號是階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和加速度函數(shù)或者是三種函數(shù)的線性組合時，靜態(tài)誤差系數(shù)

11、才有意義。,位置誤差,速度誤差,加速度誤差,例：位置隨動系統(tǒng)如圖所示，求r（t）分別為1（t），t和Rt2/2時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 G（S）H（S）=5/(s(5s+1)+50.8s) =1/s(s+1),v=1一型系統(tǒng),v=1一型系統(tǒng) 階躍輸入r(t)=1(t): kp= ; ess=0 斜坡輸入r(t)=Rt: kv=k=1 ; ess=r/kv=1; 加速度輸入r(t)=t2/2: Ka=0 ; ess=,4、擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 令R（s）=0 E（s）/N（s）=-G2(s)H(s)/1+ G1(s) G2(s)H(s) essn=limsE（s）=lim- s G2(s)H(s)N

12、(s)/1+ G1(s) G2(s)H(s) 令N（s）=1/s essn=- G2(0) H(0)/1+ G1(0) G2(0) H(0),s0,s0,若G1(0) G2(0) H(0)1 essn=-1/ G1(0) 減小及消除的essn方法 1. G1(0) = K1 essn 2. G1(s)=k1/s essn=lims/k1=0,s0,令N（s）=1/s essn=- G2(0) H(0)/1+ G1(0) G2(0) H(0),例:系統(tǒng)如圖所示。圖中R(s)=R0(s)/s為階躍輸入信號;M為比例控制器輸;N(s)=n0/s為階躍擾動.試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差.,解:令擾動N(s)=0

13、. 型系統(tǒng)系統(tǒng)對階躍輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差為零. 令R(s)=0,擾動作用下誤差信號為 系統(tǒng)在階躍擾動轉(zhuǎn)矩作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,問：當N(s)=n0/s時，為使essn=0,則G1(s)=? 解：設G1(s)=K1/s 則essn=limsE(s)=lim(-sk2n)/s2(Ts+1)+k1k2=0 D(s)=s2(Ts+1)+k1k2=Ts3+s2+k1k2=0 設G1(s)=k11+(1/T1s) D(s)=T1Ts3+T1s2+k1k2T1s+k1k2=0 當T12k1k2T1Tk1k2 即 T1T時 可使essn=limsE(s)=0,不穩(wěn)定,穩(wěn)定,s0,s0,s0,(s)=c(s)/R(s

14、)=k/(s+k)=1/(Ts+1) - 時間常數(shù) T=1/k (k為開環(huán)增益),2)單位階躍響應 r(t)=1(t) R(t)=1/s c(s)=(s)R(s)= 1/(Ts+1) 1/s=(Ts+1-Ts)/(Ts+1)s =1/s - T/(Ts+1) h(t)=c(t)=1-e-t/T=cs+ ct t 0,3-1 一階和二階系統(tǒng)的分析和計算 一階系統(tǒng): 1)數(shù)學模型,一階系統(tǒng)的單位階躍響應為非周期響應,具備如下兩個重要特點: .可用時間常數(shù)T去度量系統(tǒng)的輸出量的數(shù)值. .響應曲線的斜率初始值為1/T. 動態(tài)性能指標: td=0.69T tr=2.20T ts=3T 峰值時間tp 和超

15、調(diào)量%都不存在.,3)單位脈沖響應 r(t)=(t) R(s)=1 c(s)=1/(Ts+1) c(t)=(1/T)e-t/T t 0,4)單位斜坡響應 r(t)=t R(s)=1/s2 c(s)=1/s2(Ts+1) = 1/s2 - T/s + T2/(Ts+1) c(t)=(t-T)+Te-t/T t 0 cs ct kv=limsG(s)=lims(1/Ts) =1/T=k ess=R/Kv=T,s0,s0,二階系統(tǒng): 1)數(shù)學模型: n -自然頻率 -阻尼比 (或相對阻尼系數(shù)) 2)單位階躍響應 D(s) = s2+2n s+ n2=0 0 (負阻尼) 閉環(huán)極點分布如圖: 系統(tǒng)的動態(tài)

16、過程為 震蕩發(fā)散或單調(diào)發(fā)散,D(s) = s2+2n s+ n2=0 =0 (無阻尼) 特征方程有一對純虛根,s1,2=jn c(s)=n2/(s2+n2)s h(s)=1-cosnt t 0 閉環(huán)極點分布如圖: 系統(tǒng)的階躍響應為等幅震蕩.,c(t),0,R,t,取拉氏反變換得:,01 (欠阻尼) s1,2=- n j n1-2 = - j d 衰減系數(shù) 阻尼震蕩頻率 閉環(huán)極點分布如圖: 單位階躍響應為,式中=arccos 單位階躍響應為震蕩衰減過程,=1 (臨界阻尼) s1,2=-n c(s)=n2/(s+n) 2s 取拉氏反變換: h(t)=1- e-nt(1+nt), t 0 單位階躍響

17、應無超調(diào)單調(diào)上升過程,1 (過阻尼) s1,2=- n n2-1 設 輸出量拉氏變換: 對上式取拉氏反變換:,欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)過程分析 01 s1,2=- n jn1-2 =- jd 2+d2=n2 =cos-1,欠阻尼二階系統(tǒng)的特征參量,1)延遲時間td 令h(td)=0.5 ntd1+0.6+0.22 ntd1+0.7 td(1+0.7)/n,二階系統(tǒng)n與的關系曲線,2)上升時間tr 令h(tr)=1,sin(dtr+)=0 dtr+= tr=(-)/d,3)峰值時間tp dh(t)/dt t=tp= nsin(dtp+)-dcos(dtp+) e-ntp/1-2=0 sin(dtp+

18、)/ cos(dtp+) =d/n =n1-2/n 整理得: tg(dtp+)=1-2/ 由于tg=1-2/ 解為dtp=0, ,2,3 根據(jù)峰值時間定義,取dtp= 于是 tp=/d,4)超調(diào)量% sin(+)=-sin= -1-2 %=h(tp)-h()/h()100%=,欠阻尼二階系統(tǒng)與%關系曲線如下:,5.調(diào)節(jié)時間ts 令代表實際響應與穩(wěn)態(tài)輸出之間的誤差 設0.8,選取誤差帶=0.05 則 ts=3.5/n=3.5/ ,=const %=const n上升 td tr tp ts 下降 n=const %上升 下降 td tr tp下降 ts 選取 0.40.8 1.5% % 25.4

19、% 過阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)分析 (1),例:系統(tǒng)如圖所示,當r(t)=1(t) 求1.當k=200時,系統(tǒng)的動態(tài)性能指標. 2.當k=1500或13.5時對動態(tài)性能的影響. 解:1. n2=5k=1000 n= 31.5rad/s 2n=34.5 =0.54 td=(1+0.7)/n=0.044s tr=(-)/d=0.081s tp=/d=/ n1-2 =0.119s ts=3.5/n=0.202s =13%,D(s) = s2+2n s+ n2=0 G(s)= n2/ s(s+2n ),2.當k=1500 =0.2 n= 86.2rad/s td=0.03s tr=0.021s tp=0.0

20、37s ts=0.202s %=52.7% 當k=13.5 =2.1 n= 8.22rad/s td=0.382s tr=1.04s ts=1.46s,響應曲線-點擊見匯總圖,例:同上系統(tǒng),當r(t)=1(t),r(t)=t時各k值下的穩(wěn)態(tài)誤差. 解:為一型系統(tǒng) kp= r(t)=1(t)時,ess=0 當r(t)=t時 又 kv=lim s G(s)H(s)=lims5k/s(s+34 .5)=5k/34.5 ess k=200 = 1/kv =0.0345 ess k=1500 =0.0046 ess k=13.5 =0.511 又 kv=lim s G(s)H(s)= lims n2/s

21、(s+2n) = n/2 可見 % k n ess=2/n,s-0,s-0,s-0,s-0,二階系統(tǒng)的比例-微分控制,穩(wěn)態(tài): G(s)=C(s)/E(s)=n2 (1+Tds)/s(s+2n) 一型系統(tǒng): kv= lim s G(s) =limn2 (1+Tds)/(s+2n) =n/2 當r(t)=t時,ess= 1/ kv=2/n,s-0,s-0,動態(tài): (s)=C(s)/R(s) =n2 (1+Tds)/s2+(2n+Tdn2 )s+n2 D(s)= s2+(2n+Tdn2 )s+n2=0 令2dn= 2n+Tdn2 則 s2+ 2dn s+n2=0 +(1/2)Tdn =d 可選合適的

22、K和Td，使 ess d=0.40.8,例:設系統(tǒng) G(s)=k(1+Tds)/s(1.67s+1) H(s)=1 求當r(t)=t時, ess=0.2且d=0.5,選擇k和Td. 解:一型系統(tǒng) ess=R/kv= 1/kv k=kv=1/ ess=1/0.2=5 當Td=0時 D=s2+0.6s+3=0 2n=0.6 =0.173 n2 =3 n=1.732 由 +(1/2)Tdn =d 則 Td =(2/n)(d )=0.376 動態(tài)性能指標: tr=0.7s Tp =1.63s %=42.4% Ts =3.73s (步驟略),例:測速反饋控制 靜態(tài):G(s)=C(s)/E(s)=n2 /s(s+2n+ktn2) 一型: kv=limsG(s)=n/(2+ktn) esr=1/ kv=(2+ktn)/n=2/n+kv 動態(tài): (s)=n2 / s2+(2n+ktn2 )s+n2 D(s)= s2+(2n+ktn2 )s+n2=0 n=const