高中數(shù)學 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.2 函數(shù)模型及其應(yīng)用 3.2.2 函數(shù)模型的應(yīng)用實例教材梳理素材 新人教A版必修1（通用）

1、3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實例皰丁巧解牛知識巧學升華1.在研究某些實際問題時，常需要實施以下一系列過程（1）建立實際問題中的變量之間的函數(shù)關(guān)系，從而將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題；（2）運用所學知識研究函數(shù)問題，得到函數(shù)問題的解；（3）將函數(shù)問題的解翻譯或解釋成實際問題的解，從而解決實際問題.2.數(shù)學模型方法 通過建立實際問題的數(shù)學模型來解決問題的方法稱為數(shù)學模型方法，簡稱建模. 資料剖析:建立數(shù)學模型的三個步驟：（1）建模.抽象出實際問題的數(shù)學模型；（2）推理、演算.對數(shù)學模型進行邏輯推理或數(shù)學演算，得到問題的數(shù)學意義上的解；（3）評價、解釋.對求得的數(shù)學結(jié)果進行深入地討論，作出評價、解釋，返回到原

2、來的實際問題中去，得到實際問題的解. 建模的三個步驟圖示如下： 深化升華從圖表中的第一步：，這一步應(yīng)從審題開始，通過分析和抽象找出題設(shè)和結(jié)論的數(shù)學關(guān)系，進一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，即建立合理的數(shù)學模型，因此，這一步稱之為數(shù)學化；第二步：，這一步就是采用數(shù)學的方法，解決函數(shù)模型所表述的數(shù)學問題，因此，這一步稱之為數(shù)學解決；第三步：數(shù)學模型的解實際問題的解，這一步就是將數(shù)學結(jié)論轉(zhuǎn)化為實際問題的結(jié)論，因此，這一步稱之為實際化；最后一步是對實際問題的結(jié)論作出解答.問題思路探究問題1 建立數(shù)學模型是解決數(shù)學問題的主要方法，數(shù)學建模一般分為識模、析模、建模、解模、驗?zāi)Ｎ鍌€步驟.我們應(yīng)如何走好這5步驟呢？探

3、究:識模就是把應(yīng)用問題的外部信息和自己已有的內(nèi)部經(jīng)驗相對照，初步判斷問題解決的方向；析模就是精讀問題，做到“咬文嚼字”，抓住關(guān)鍵字詞，化簡轉(zhuǎn)換問題，注意已知量，發(fā)現(xiàn)未知量，挖掘隱含量；建模是通過數(shù)學符號化，把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型的過程；解模時我們可以借助計算機等數(shù)學工具對所建模型求解；由于應(yīng)用問題本身的繁雜性、開放性，根據(jù)自己理解所建立的模型也有局限性，最后要對模型的解檢驗，或取或舍，或重新修正模型，直到滿意為止.有些問題還需要我們利用信息技術(shù)收集數(shù)據(jù)、繪圖、計算、擬合函數(shù).問題2 如何理解數(shù)學家華羅庚曾經(jīng)說過的這段話：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數(shù)學”

4、？探究:這是因為指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)是描述客觀變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，比如價格與利潤、成本與收入、納稅、交通安全、人口等問題都可以借助函數(shù)模型來解決.典題熱題新題例1 某工廠計劃出售一種產(chǎn)品，固定成本為200萬元，生產(chǎn)每臺產(chǎn)品的可變成本為3 000元，每臺產(chǎn)品的售價為5 000元，求總產(chǎn)量x對總成本Q、單位成本P、銷售收入R以及利潤L的函數(shù)關(guān)系，并作出簡要分析.思路解析：（1）從利潤關(guān)系可見，欲獲得較大利潤，應(yīng)增加產(chǎn)量（在不考慮銷售的情況下），若x1 000，則要虧損；若x=1 000，則利潤為零；若x1 000，則可贏利.這也可從圖象看出，兩條直線的交點就是平衡點.（2）從單位成本與

5、總產(chǎn)量呈反比例的關(guān)系可見，為了降低成本，應(yīng)增加產(chǎn)量，這樣才能降低成本，形成規(guī)模效益.解：總成本與總產(chǎn)量的關(guān)系Q=2 000 000+3 000x； 單位成本與總產(chǎn)量的關(guān)系P=+3 000； 銷售收入與總產(chǎn)量的關(guān)系R=5 000x； 利潤與總產(chǎn)量的關(guān)系L=R-Q=2 000x-2 000 000. 深化升華 注意此處空半格在構(gòu)建函數(shù)模型的過程中，如果涉及的變量較多，模型較為復(fù)雜，可采用層層分解的辦法去找出變量間較為簡單的對應(yīng)關(guān)系，再解決較為復(fù)雜的函數(shù)模型間的關(guān)系.同時要注意借助于圖形的直觀性去尋找問題的答案.例2 “依法納稅是每個公民應(yīng)盡的義務(wù)”，國家征收個人工資、薪金所得稅是分段計算的：總收入

6、不超過1 000元的，免征個人工資、薪金所得稅；超過1 000元部分需征稅.設(shè)全月納稅所得額（所得額指工資、薪金中應(yīng)納稅的部分）為x，x=全月總收入-1 000元，稅率見下表：級 數(shù)全月應(yīng)納稅所得額x稅 率1不超過500元部分5%2超過500元至2 000元部分10%3超過2 000元至5 000元部分15%9超過100 000元部分45%（1）若應(yīng)納稅額為f（x），試用分段函數(shù)表示13級納稅額f（x）的計算公式；（2）某人2000年10月份工資總收入為4 200元，試計算這個人10月份應(yīng)納個人所得稅多少元？思路解析：因為在不同的收入段有不同的稅率，所以，這也是分段函數(shù)問題，解題時要在每一段自

7、變量建立相應(yīng)的函數(shù)表達式.解：（1）依稅率表，有 第一段：x5%； 第二段：（x-500）10%+5005%； 第三段：（x-2 000）15%+1 50010%+5005%， 即f（x）=（2）這個人10月份納稅所得額x=4 200-1 000=3 200，f（3 200）=0.15x（3 200-2 000）+175=355.答：這個人10月份應(yīng)繳納個人所得稅355元. 深化升華 注意此處空半格要求某人收入納稅時，需求出超過1 000元部分，即函數(shù)自變量x的值，然后對照分段函數(shù)，確定其屬于哪一段，即可計算納稅值.例3 某蔬菜基地種植西紅杮，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅

8、杮市場售價與上市時間的關(guān)系用圖的一條折線表示；西紅杮的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖的拋物線段表示.（1）寫出圖表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式P=f（t）；寫出圖表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式Q=g（t）；（2）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅杮收益最大？（注：市場售價和種植成本的單位：元/102 kg，時間單位：天）思路解析：解此題，應(yīng)先由函數(shù)的圖象建立函數(shù)關(guān)系式f（t）、g（t），然后求函數(shù)的最大值，把喜聞樂見的一個實際問題轉(zhuǎn)化成一個數(shù)學問題.解：（1）由圖可知，市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為 f（t）= 由圖可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為g（t）=（t-150）2+100

9、（0t300）.（2）設(shè)t時刻的純收益為h（t），則由題意得h(t)=f(t)-g(t)= 討論：當0t200時，配方整理，得h（t）=-（t-50）2+100,當t=50時，h（t）在區(qū)間0，200上取得最大值100；當200t300時，配方整理，得h（t）=-（t-350）2+100,當t=300時，h（t）在區(qū)間（200，300）上取得最大值87.5. 綜合以上討論，由10087.5，可知h（t）在區(qū)間0，300上可以取得最大值100，此時t=50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅杮收益最大. 拓展延伸 注意此處空半格分段函數(shù)是同一函數(shù)，分段函數(shù)的最大值是每段上最大值中的最大值.

10、例4 我國農(nóng)業(yè)科學家在某地區(qū)研究玉米植株生長與時間的函數(shù)關(guān)系，通過觀測、分析，列出了該地區(qū)玉米在不同階段的高度數(shù)據(jù)：生長階段1234567891011植株高度（cm）0.670.851.281.752.272.753.694.716.367.739.91生長階段1213141516171819202122植株高度（cm）12.7516.5520.127.3532.5537.5544.7553.3871.6183.8997.46生長階段232425262728293031植株高度（cm）112.73135.12153.6160.32167.05174.9177.87180.19180.79（1）

11、畫出函數(shù)圖形，近似地寫出一個函數(shù)關(guān)系式表達兩個變量之間的關(guān)系；（2）利用得出的關(guān)系式，與表中實際數(shù)據(jù)比較；（3）說出關(guān)系式給出的一些信息.思路解析：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)是描述客觀變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，本題通過畫出函數(shù)圖形，假設(shè)為指數(shù)函數(shù)，結(jié)合圖表，可以清楚地看出，第1到第6個生長階段與實際得到的數(shù)據(jù)誤差很小，后面的數(shù)據(jù)誤差較大. 解：（1）畫出函數(shù)圖形（如下圖所示），函數(shù)的圖形近似于“S”形.（2）以我們現(xiàn)有的知識很難找出一個函數(shù)關(guān)系式來近似地表達這個圖形，但我們仔細觀察第1個生長階段至第25個生長階段的函數(shù)圖象后會發(fā)現(xiàn)，它與我們比較熟悉的指數(shù)函數(shù)的圖象相像. 下面我們來考慮給出第1

12、至第25個生長階段的一個指數(shù)函數(shù)關(guān)系式. 假設(shè)指數(shù)函數(shù)為y=aebx，并且通過點（2，0.85）和（23，112.73），把這兩個點的坐標代入函數(shù)關(guān)系式，解方程組得a=0.534，b=0.233. 因此，用指數(shù)函數(shù)近似得到的關(guān)系式為y=f（x）=0.534e0.233x. 由得到的關(guān)系式計算出各個生長階段的近似值如下表：生長階段x12345678910111213函數(shù)值f(x)0.670.851.071.361.712.162.733.444.345.486.928.7411.03生長階段x141516171819202122232425函數(shù)值f(x)13.9317.5822.228.0235.3744.6656.3771.1689.84113.41143.1718