量子力學(xué) 第二章.ppt

1、第二章 波函數(shù)和 Schrdinger 方程,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 2.2 態(tài)疊加原理 2.3 Schrdinger方程 2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 2.5 定態(tài)Schrdinger方程 2.6 一維無限深勢阱 2.7 線性諧振子 2.8 勢壘貫穿,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,一、微觀粒子狀態(tài)的描述 二、波函數(shù)的物理意義 三、波函數(shù)的性質(zhì),一、微觀粒子狀態(tài)的描述,自由粒子,單色平面波,初始條件:振幅 a ; 初位相,頻率;,波長;,宏觀粒子:,微觀粒子:,可觀測量:用實數(shù)或?qū)嵑瘮?shù)表示,不可觀測量:用復(fù)數(shù)或復(fù)函數(shù)表示,3個問題？,描寫自由粒子的平 面 波,如果粒子處于隨時間和位置變化的

2、力場中運動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：,描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個復(fù)函數(shù)。,稱為 deBroglie 波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。,(1) 是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？,(2) 如何體現(xiàn)波粒二象性的？,(3) 描寫的是什么樣的波呢？,二、波函數(shù)的物理意義,統(tǒng)計解釋,兩種錯誤的看法,1. 波由粒子組成,如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。,這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。,電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子

3、在空間聚集在一起時才有的現(xiàn)象，單個電子就具有波動性。,波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。,O,事實上，正是由于單個電子具有波動性，才能理解氫原子（只含一個電子?。┲须娮舆\動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。,2. 粒子由波組成,電子是波包。把電子波看成是電子的某種實際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。 什么是波包？波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將

4、充滿整個空間，這是沒有意義的，與實驗事實相矛盾。而且也意味著單個電子也能呈現(xiàn)行射條紋。 實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內(nèi)。例如在一個原子內(nèi)，其廣延不會超過原子大小1 。 電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ “ 電子既不是粒子也不是波 ”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波，但是我們也可以說，“ 電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一?！?這個波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。,1.入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣;,我們再看一下電子的衍射實驗,2. 入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣.,結(jié)論：衍射實驗所揭示的電子的波動性是： 許多

5、電子在同一個實驗中的統(tǒng)計結(jié)果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統(tǒng)計結(jié)果。 波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進的，在此基礎(chǔ)上，Born 提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計解釋。,r 點附近衍射花樣的強度 正比于該點附近感光點的數(shù)目， 正比于該點附近出現(xiàn)的電子數(shù)目， 正比于電子出現(xiàn)在 r 點附近的幾率。,在電子衍射實驗中，照相底片上,據(jù)此，描寫粒子的波可以認為是幾率波，反映微觀客體運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù)(r)有時也稱為幾率幅. 這就是首先由 Born 提出的波函數(shù)的幾率解釋，它是量子力學(xué)的基本原理。,假設(shè)衍射波波幅用 (r) 描述，與光學(xué)相似， 衍射花紋的強度則用 | (r)|2 描述，但意義與經(jīng)

6、典波不同。,| (r)|2 的意義是代表電子出現(xiàn)在 r 點附近幾率的大小. 確切的說 | (r)|2 xyz 表示在 r 點處，體積元xyz中找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點的強度（振幅絕對值的平方）和在這點找到粒子的幾率成比例.,在t 時刻, r 點，體積元 d= dxdydz 內(nèi)，找到由波函數(shù)(r,t) 描寫的粒子的幾率是： dW ( r, t) = C| (r,t)|2 d，其中，C是比例系數(shù)。,根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：,（1）幾率和幾率密度,在 t 時刻 r 點，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是： ( r, t ) = dW(r,t )/ d = C | (r,t)|2,

7、在體積V 內(nèi)，t 時刻找到粒子的幾率為,三、波函數(shù)的性質(zhì),稱為幾率分布密度,W(t) = V dW = V( r, t ) d = CV | (r,t)|2 d,（2）平方可積,由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即： C | (r , t)|2 d= 1 從而得常數(shù) C 之值為：,這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)必須是絕對值平方可積的函數(shù)。,若, | (r , t)|2 d , 則 C 0, 這是沒有意義的。,（3）歸一化波函數(shù),這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的 2 倍），則相應(yīng)的波動能量將為原來的 4 倍，因而代表完全不同的波動

8、狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。, (r , t ) 和 C (r , t ) 這里的 C 是常數(shù)。描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的。因為在 t 時刻，空間任意兩點 r1 和 r2 處找到粒子的相對幾率之比是：,由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點強度的相對比例，而不取決于強度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即 (r, t) 和 C (r, t) 描述同一狀態(tài),可見， (r , t ) 和 C (r , t ) 描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。,歸一化常數(shù)的計算,對于歸一化的波函數(shù)，體積元中找到粒子的幾率為

9、,注意：對歸一化波函數(shù)仍有一個模為一的因子不定性。若 是歸一化波函數(shù)，那末， 也是歸一化波函數(shù)（其中是實數(shù)），與前者描述同一幾率波。,歸一化波函數(shù),粒子坐標(biāo)的幾率分布函數(shù),2.2 態(tài)疊加原理,微觀粒子具有波動性，會產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性，即可相加性，兩個相干波的干涉的結(jié)果產(chǎn)生干涉。因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，量子力學(xué)中也存在波疊加原理。因為量子力學(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學(xué)的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理。,考慮電子雙縫衍射,= C11 + C22 也是電子的可能狀態(tài)。 空間找到電子的幾率則是： |2 = |C11+ C22|2 =

10、 (C1*1*+ C2*2*) (C11+ C22) = |C1 1|2+ |C22|2 + C1*C21*2 + C1C2*12*,電子穿過狹縫出現(xiàn)在點的幾率密度,電子穿過狹縫出現(xiàn)在點的幾率密度,相干項 正是由于相干項的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。,一個電子有 1 和 2 兩種可能的狀態(tài)， 是這兩種狀態(tài)的疊加。,其中C1 和 C2 是復(fù)常數(shù)，這就是量子力學(xué)的態(tài)疊加原理。,態(tài)疊加原理一般表述： 若1 ，2 ,., n ,.是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加 = C11 + C22 + .+ Cnn + . (其中 C1 , C2 ,.,Cn ,.為復(fù)常數(shù))。 也是體系的一個可能狀態(tài)。 處

11、于態(tài)的體系，部分的處于 1態(tài)，部分的處于2態(tài).，部分的處于n，.,一般情況下，如果1和2 是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加 = C11 + C22 也是該體系的一個可能狀態(tài).,例：,電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動量 p 運動。具有確定動量的運動狀態(tài)用de Broglie 平面波表示,根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)可表示成 p 取各種可能值的平面波的線性疊加，即,而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果。,p,動量空間（表象）的波函數(shù), (r,t)是以坐標(biāo) r 為自變量的波函數(shù)， 坐標(biāo)空間波函數(shù)，坐標(biāo)表象波函數(shù)； C(p, t) 是以動量 p 為自變量的波函數(shù)， 動量

12、空間波函數(shù)，動量表象波函數(shù)； 二者描寫同一量子狀態(tài)。,波函數(shù) (r,t) 可用各種不同動量的平面波表示， 下面我們給出簡單證明。,展開系數(shù),令,則 可按p 展開,經(jīng)典粒子和量子粒子以及經(jīng)典波與幾率波的區(qū)別,1、經(jīng)典粒子和量子粒子,相同：局域，不連續(xù),不同,經(jīng)典：確定的軌道、坐標(biāo)、動量等,量子：無確定的軌道，幾率,2、經(jīng)典波和幾率波,相同：均滿足疊加原理,（1）疊加,不同,（3）數(shù)學(xué)表達式,（2）振幅變化,經(jīng)典：各 觀測時同時出現(xiàn)于 中,量子：各 觀測時不能同時出現(xiàn)于 中,經(jīng)典： 不同狀態(tài),量子： 同一狀態(tài),經(jīng)典：實函數(shù)（可測察量）,量子：復(fù)函數(shù)（不可測察量）,2.3 Schrdinger 方程

13、,（一）引言 （二）引進方程的基本考慮 （三）自由粒子滿足的方程 （四） Schrdinger方程 （五）多粒子體系的Schrdinger方程,這些問題在1926年Schrodinger 提出了波動方程之后得到了圓滿解決。,微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個力學(xué)量的平均值及其測量的可能值和相應(yīng)的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學(xué)最核心的問題就是要解決以下兩個問題：,(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)； (2)波函數(shù)如何隨時間演化。,（一）引言,（二）引進方程的基本考慮,從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻 t 粒子的

14、狀態(tài) r 和 p 。因為初始條件知道的是坐標(biāo)及其對時間的一階導(dǎo)數(shù)，所以方程是時間的二階常微分方程。,讓我們先回顧一下經(jīng)典粒子運動方程，看是否能給我們以啟發(fā)。,（1）經(jīng)典情況,（2）量子情況,1因為，t = t0 時刻，已知的初態(tài)是( r, t0) 且只知道這樣一個初始條件，所以，描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿足的方程只能含對時間 的一階導(dǎo)數(shù)。,2另一方面，要滿足態(tài)疊加原理，即，若1( r, t ) 和2( r, t )是方程的解，那末。 ( r, t)= C11( r, t ) + C22( r, t ) 也應(yīng)是該方程的解。這就要求方程應(yīng)是線性的。,3第三方面，方程不能包含狀態(tài)參量，如 p, E等，

15、否則方程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足。,（三）自由粒子滿足的方程,這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態(tài)參量 E 。將對坐標(biāo)二次微商，得：,將上式對 t 微商，得：,(1)(2)式,滿足上述構(gòu)造方程的三個條件,討論：,通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能量關(guān)系式 E = p2/2m 寫成如下方程形式：,做算符替換（4）即得自由粒子滿足的方程（3）。,(1)(2)式,（四） Schrdinger方程,該方程稱為 Schrdinger 方程，也常稱為波動方程。,若粒子處于勢場 U(r) 中運動，則能動量關(guān)系變?yōu)椋?將其作用于波函數(shù)得：,做（4）式的算符替換得：,

16、（五）多粒子體系的 Schrdinger 方程,設(shè)體系由 N 個粒子組成， 質(zhì)量分別為 i (i = 1, 2,., N) 體系波函數(shù)記為 ( r1, r2, ., rN ; t) 第i個粒子所受到的外場 Ui(ri) 粒子間的相互作用 V(r1, r2, ., rN) 則多粒子體系的 Schrdinger 方程可表示為：,2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律,（一）定域幾率守恒 （二）再論波函數(shù)的性質(zhì),（一） 定域幾率守恒,考慮低能非相對論實物粒子情況，因沒有粒子的產(chǎn)生和湮滅問題，粒子數(shù)保持不變。對一個粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應(yīng)不隨時間改變，即,在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時間變化的規(guī)律后

17、，我們進一步討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時間變化。粒子在 t 時刻 r 點周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率分布函數(shù)是：,證：,考慮 Schrdinger 方程及其共軛式：,取共軛,在空間閉區(qū)域中將上式積分，則有：,J是幾率流密度，是一矢量。,使用 Gauss 定理,閉區(qū)域上找到粒子的總幾率在單位時間內(nèi)的增量,所以上式是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式。,令趨于 ，即讓積分對全空間進行，考慮到任何真實的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無窮遠處為零，則右面積分趨于零，于是得：,單位時間內(nèi)通過的封閉表面 S 流入（面積分前面的負號）內(nèi)的幾率,表明，波函數(shù)歸一化不隨時間改變，其物理意義是

18、粒子既未產(chǎn)生也未消滅。,（1） 這里的幾率守恒具有定域性質(zhì)，當(dāng)空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實現(xiàn)這種變化。,計論：,同理可得量子力學(xué)的電荷守恒定律：,表明電荷總量不隨時間改變,（二）再論波函數(shù)的性質(zhì),1. 由 Born 的統(tǒng)計解釋可知，描寫粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即 d (r, t) = |(r, t)|2 d 2. 已知 (r, t)， 則任意力學(xué)量的平均值、可能值及相應(yīng)的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子狀態(tài)的一切力學(xué)量就都知道了。所以波函數(shù)又稱為狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。 3.知道體系所受力場和相互作用及初始時刻體系的狀態(tài)

19、后，由Schrdinger方程即可確定以后時刻的狀態(tài)。,（1）波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài),式右含有及其對坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的積分，由于積分區(qū)域是任意選取的，所以S是任意閉合面。要是積分有意義，必須在變數(shù)的全部范圍，即空間任何一點都應(yīng)是有限、連續(xù)且其一階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。 概括之，波函數(shù)在全空間每一點通常應(yīng)滿足單值、有限、連續(xù)三個條件，該條件稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。,2.根據(jù)粒子數(shù)守恒定律 :,（2）波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件,1. 根據(jù)Born統(tǒng)計解釋 (r, t) = *(r, t) (r, t)是粒子在t時刻出現(xiàn)在 r點的幾率，這是一個確定的數(shù)，所以要求(r, t)應(yīng)是 r, t的單值函數(shù)且有限。,2.5 定態(tài)Sc

20、hrdinger方程,（一）定態(tài)Schrdinger方程 （二）Hamilton算符和能量本征值方程 （三）求解定態(tài)問題的步驟 （四）定態(tài)的性質(zhì),（一）定態(tài)Schrdinger方程,現(xiàn)在讓我們討論 有外場情況下的定態(tài) Schrdinger 方程：,令：,于是：,V(r)與t 無關(guān)時，可以分離變量,等式兩邊是相互無關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與 t, r 無關(guān)的常數(shù),該方程稱為定態(tài) Schrdinger 方程， 也可稱為定態(tài)波函數(shù)，或可看作是t=0時刻 的定態(tài)波函數(shù)。,此波函數(shù)與時間t的關(guān)系是正弦型的，其角頻率=2E/h。 由de Broglie關(guān)系可知： E 就是體系處于波函數(shù)(r,t)所描寫的狀態(tài)時

21、的能量。也就是說，此時體系能量有確定的值，所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，波函數(shù)(r,t)稱為定態(tài)波函數(shù)。,（二）Hamilton算符和能量本征值方程,（1）Hamilton 算符,二方程的特點：都是以一個算符作用于(r, t)等于E(r, t)。所以這兩個算符是完全相當(dāng)?shù)模ㄗ饔糜诓ê瘮?shù)上的效果一樣）。,再由 Schrdinger 方程：,（2）能量本征值方程,（1）一個算符作用于一個函數(shù)上得到一個常數(shù)乘以該函數(shù)這與數(shù)學(xué)物理方法中的本征值方程相似。 數(shù)學(xué)物理方法中：微分方程 + 邊界條件構(gòu)成本征值問題；,（2）量子力學(xué)中：波函數(shù)要滿足三個標(biāo)準(zhǔn)條件，對應(yīng)數(shù)學(xué)物理方法中的邊界條件，稱為波函數(shù)的自然邊界條件。

22、因此在量子力學(xué)中稱與上類似的方程為束縛的本征值方程。常量 E 稱為算符 H 的本征值；稱為算符 H 的本征函數(shù)。 （3）由上面討論可知，當(dāng)體系處于能量算符本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)（簡稱能量本征態(tài)）時，粒子能量有確定的數(shù)值，這個數(shù)值就是與這個本征函數(shù)相應(yīng)的能量算符的本征值。,（三）求解定態(tài)問題的步驟,討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)( r, t ) 和在這些態(tài)中的能量 E 。其具體步驟如下：,（1）列出定態(tài) Schrodinger方程,（2）根據(jù)波函數(shù)三個標(biāo)準(zhǔn)條件求解能量 E 的本征值問題，得：,（3）寫出定態(tài)波函數(shù)即得到對應(yīng)第 n 個本征值 En 的定態(tài)波函數(shù),（4）通過歸一化確定歸一

23、化系數(shù) Cn,（四）定態(tài)的性質(zhì),（2）幾率密度與時間無關(guān),（1）粒子在空間幾率密度與時間無關(guān),綜上所述，當(dāng)滿足下列三個等價條件中的任何一個時，就是定態(tài)波函數(shù)： 1. 描述的狀態(tài)其能量有確定的值； 2. 滿足定態(tài)Schrdinger方程； 3. |2 與 t無關(guān)。,（3）任何不顯含t的力學(xué)量平均值與t 無關(guān),2.6 一維無限深勢阱,設(shè)勢能,一維定態(tài)問題中粒子感受沿一個方向(x)變化的勢場U(x),它也是由三維問題分離變量出來的問題。,勢能U(x)不顯含時間t，于是可得系統(tǒng)的定態(tài)薛定諤方程：,(1),對本問題有：,(2),(3),根據(jù)波函數(shù)應(yīng)滿足連續(xù)性和有限性的條件,(4),(6),(7),(5)

24、,(8),(9),(10),由上兩式得,注意：A，B不能同時為零,等于零，就不等于零,不等于零，就等于零,奇宇稱解,偶宇稱解,n不能取0,(11),量子化的能量公式,(a)解,(12),(b)解,(13),(14),一維無限深方勢阱中粒子的能級、波函數(shù)和幾率密度,對于不同的量子數(shù)，在阱內(nèi)某一特定的點，粒子出現(xiàn)的幾率是不同的。,經(jīng)典理論中，處于無限深方勢阱中粒子的能量為連續(xù)值，粒子在阱內(nèi)運動不受限制，各處概率相等。,隨著能級的升高，幾率密度的峰值增多，當(dāng) 時，粒子在勢阱內(nèi)各處出現(xiàn)的概率相等，量子力學(xué)的結(jié)果過濾到經(jīng)典力學(xué)的情況。,從以上分析可知：對于無限深勢阱來說，粒子只能在勢阱U=0的區(qū)域能運動

25、。,2.7 線性諧振子,（一）引言 （1）何謂諧振子 （2）為什么研究線性諧振子 （二）線性諧振子 （1）方程的建立 （2）求解 （3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件 （4）厄密多項式 （5）求歸一化系數(shù) （6）討論 （三）實例,（一）引言,（1）何謂諧振子,量子力學(xué)中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢場中運動的粒子。,在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為 的粒子，受彈性力F = - kx作用，由牛頓第二定律可以寫出運動方程為：,其解為 x = Asin( t + )。這種運動稱為簡諧振動，作這種運動的粒子叫諧振子。,若取U0 = 0，即平衡位置處于勢 V = 0 點，則,（2）為什么研究線性諧振子,自然界廣泛碰到簡諧振動，

26、任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨立的一維簡諧振動。簡諧振動往往還作為復(fù)雜運動的初步近似，所以簡諧振動的研究，無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。 例如雙原子分子，兩原子間的勢V是二者相對距離x的函數(shù)，如圖所示。在 x = a 處，U 有一極小值U0 。在 x = a 附近勢可以展開成泰勒級數(shù)：,取新坐標(biāo)原點為(a, U0 )，則勢可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢的形式：,可見，一些復(fù)雜的勢場下粒子的運動往往可以用線性諧振動來近似描述。,（二）線性諧振子,（1）方程的建立 （2）求解 （3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件 （4）厄密多項式 （

27、5）求歸一化系數(shù) （6）討論,（1）方程的建立,線性諧振子的 Hamilton量：,則 Schrdinger 方程可寫為 ：,為簡單計,引入無量綱變量代替x，,（2）求解,為求解方程，我們先看一下它的漸 近解，即當(dāng) 時波函數(shù) 的行為。在此情況下， 2， 于是方程變?yōu)椋?其解為： = exp2/2，,1. 漸近解,欲驗證解的正確性，可將其代回方程，,波函數(shù)有限性條件：,當(dāng) 時，應(yīng)有 c2 = 0，,因整個波函數(shù)尚未歸一化，所以c1可以令其等于1。最后漸近波函數(shù)為：,2 1,其中 H() 必須滿足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即： 當(dāng)有限時，H()有限； 當(dāng)時，H()的行為要保證() 0。,

28、將()表達式代入方程得 關(guān)于 待求函數(shù) H() 所滿足的方程：,2. H()滿足的方程,3.級數(shù)解,我們以級數(shù)形式來求解。 為此令：,用 k 代替 k,由上式可以看出： b0 決定所有角標(biāo)k為偶數(shù)的系數(shù)； b1 決定所有角標(biāo)k為奇數(shù)的系數(shù)。 因為方程是二階微分方程，應(yīng)有兩個 線性獨立解?？煞謩e令：,b0 0, b1=0. Heven(); b1 0, b0=0. Hodd().,即： bk+2(k+2)(k+1)- bk 2 k + bk(-1) = 0 從而導(dǎo)出系數(shù) bk 的遞推公式：,該式對任意都成立， 故同次冪前的系數(shù)均應(yīng)為零，,只含偶次冪項,只含奇次冪項,則通解可記為： H = co

29、Hodd + ce Heven = (co Hodd + ce Heven ) exp-2/2,（3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件,(I)=0 exp-2/2|=0 = 1 Heven()|=0 = b0 Hodd()|=0 = 0 皆有限,(II) 需要考慮無窮級數(shù)H()的收斂性,為此考察相鄰 兩項之比：,考察冪級數(shù)exp2的 展開式的收斂性,比較二級數(shù)可知： 當(dāng)時， H()的漸近 行為與exp2相同。,單值性和連續(xù)性二條件自然滿足， 只剩下第三個有限性條件需要進行討論。,因為H()是一個冪級數(shù)，故應(yīng)考慮他的收斂性?？紤]一些特殊點， 即勢場有跳躍的地方以及x=0, x 或=0, 。,所以總波函數(shù)有如下發(fā)散行

30、為：,為了滿足波函數(shù)有限性要求，冪級數(shù) H() 必須從某一項截斷變成一個多項式。換言之，要求 H() 從某一項（比如第 n 項）起 以后各項的系數(shù)均為零，即 bn 0, bn+2 = 0.,代入遞推關(guān)系)得：,結(jié)論 基于波函數(shù) 在無窮遠處的 有限性條件導(dǎo)致了 能量必須取 分立值。,（4）厄密多項式,附加有限性條件得到了 H()的 一個多項式，該多項式稱為厄密 多項式，記為 Hn()，于是總波 函數(shù)可表示為：,由上式可以看出，Hn() 的最高次冪是 n 其系數(shù)是 2n。,歸一化系數(shù),Hn() 也可寫成封閉形式：, = 2n+1,厄密多項式和諧振子波函數(shù)的遞推關(guān)系：,從上式出發(fā)，可導(dǎo)出 厄密多項式

31、的遞推關(guān)系：,應(yīng) 用 實 例,例：已知 H0 = 1, H1=2，則 根據(jù)上述遞推關(guān)系得出： H2 = 2H1-2nH0 = 42-2,下面給出前幾個厄密 多項式具體表達式： H0=1 H2=42-2 H4 = 164-482+12 H1=2 H3=83-12 H5=325-1603+120,基于厄密多項式的遞推關(guān)系可以導(dǎo)出諧振子波函數(shù)(x)的遞推關(guān)系：,（5）求歸一化系數(shù),( 分 步 積 分 ),該式第一項是一個多項式與 exp-2 的 乘積，當(dāng)代入上下限=后，該項為零。,繼續(xù)分步積分到底,因為Hn的最高次項 n的系數(shù)是2n，所以 dnHn /dn = 2n n!。,于是歸一化系數(shù),則諧振子

32、 波函數(shù)為：,(I)作變量代換，因為=x， 所以d= dx； (II)應(yīng)用Hn()的封閉形式。,（6）討論,3. 對應(yīng)一個諧振子能級只有一個本征函數(shù)，即一個狀態(tài)，所以能級是非簡并的。值得注意的是，基態(tài)能量 E0=1/20，稱為零點能。這與無窮深勢阱中的粒子的基態(tài)能量不為零是相似的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零的“靜止的”波是沒有意義的，零點能是量子效應(yīng)。,1。上式表明，Hn()的最高次項是(2)n。所以： 當(dāng) n=偶，則厄密多項式只含的偶次項； 當(dāng) n=奇，則厄密多項式只含的奇次項。,2. n具有n宇稱,上式描寫的諧振子波函數(shù)所包含的 exp-2/2是的偶函數(shù)，所以n的宇稱由厄密多項式

33、 Hn() 決定為 n 宇稱。,4. 波函數(shù),然而，量子情況與此不同 對于基態(tài)，其幾率密度是： 0() = |0()|2 = = N02 exp-2 分析上式可知：一方面表明在= 0處找到粒子的幾率最大； 另一方面，在|1處，即在阱外找到粒子的幾率不為零， 與經(jīng)典情況完全不同。,以基態(tài)為例，在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在| x| 1,范圍中運動。這是因為振子在這一點(|x| = 1)處，其勢能V(x)=(1/ 2)2 x2 = 1/2 = E0，即勢能等于總能量，動能為零，粒子被限制在阱內(nèi)。,分析波函數(shù)可知量子力學(xué)的諧振子波函數(shù)n有 n 個節(jié)點，在節(jié)點處找到粒子的幾率為零。而經(jīng)典力學(xué)的諧振子在

34、-a, a 區(qū)間每一點上都能找到粒子，沒有節(jié)點。,5. 幾率分布,（三）實例,解： （1）三維諧振子 Hamilton 量,例1. 求三維諧振子能級，并討論它的簡并情況,（2）本征方程及其能量本征值,解得能量本征值為：,則波函數(shù)三方向的分量 分別滿足如下三個方程：,因此，設(shè)能量本征方程的解為：,如果系統(tǒng) Hamilton 量可以寫成 則必有：,（3）簡并度,當(dāng) N 確定后，能量本征值確定，但是對應(yīng)同一N值的 n1, n2, n3 有多種不同組合，相應(yīng)于若干不同量子狀態(tài)，這就是簡并。其簡并度可決定如下：,當(dāng)n1 , n2 確定后， n3 = N - n1 - n2，也就確定了，不增加不同組合的數(shù)

35、目。故對給定N，n1 , n2, n3 可能組合數(shù)即簡并度為：,解：Schrodinger方程：,求能量本征值和本征函數(shù)。,例2. 荷電 q 的諧振子，受到沿 x 向外電場 的作用，其勢場為：,（1）解題思路,勢V(x)是在諧振子勢上疊加上-q x項，該項是x 的一次項，而振子勢是二次項。如果我們能把這樣的勢場重新整理成坐標(biāo)變量平方形式，就有可能利用已知的線性諧振子的結(jié)果。,（2）改寫 U(x),（3）Hamilton量,進行坐標(biāo)變換：,則 Hamilton 量變?yōu)椋?（4）Schrdinger方程,該式是一新坐標(biāo)下一維 線性諧振子Schrodinger 方程，于是可以利用已 有結(jié)果得：,新坐

36、標(biāo)下 Schrdinger 方程改寫為：,本 征 能 量,本 征 函 數(shù),8 勢壘貫穿,其特點是： (1)對于勢阱，波函數(shù)在無窮遠處趨于零，能譜是分立的。但對于勢壘，波函數(shù)在無窮遠處不為零。下面將看到，粒子能量可取任意值。 (2)按照經(jīng)典力學(xué)觀點，若E U0 ，則粒子將穿過勢壘運動。 但從量子力學(xué)的觀點，由于粒子的波動性，此問題將與波透過一層介質(zhì)相似，總有一部分波穿過勢壘，而有一部分波被反射回去。因此，討論的重點是反射和透射系數(shù)。,一 E U0 情況,上述三個區(qū)域的 Schrodinger方程可寫為：,定態(tài)波函數(shù)1,2,3 分別乘以含時因子 exp-iEt / 即可看出：,式中第一項是沿x正向

37、傳播的平面波，第二項是沿x負向傳播的平面波。由于在 x a 的III 區(qū)沒有反射波，所以 C=0，于是解為：,利用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件來定系數(shù)。 首先， 解單值、有限條件滿足。,1. 波函數(shù)連續(xù),綜合 整理 記之,2. 波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù),波函數(shù)意義,3. 求解線性方程組,4. 透射系數(shù)和反射系數(shù),求解方程組得:,為了定量描述入射粒子透射勢壘的幾率和被 勢壘反射的幾率，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。,I 透射系數(shù)： 透射波幾率流密度與入射波 幾率流密度之比稱為透射系數(shù) D = JD/JI,II 反射系數(shù)： 反射波幾率流密度與入射波 幾率流密度之比稱為反射系數(shù) R = JR/JI,描述貫穿到 x a 的 III區(qū)中的粒子在單位時間內(nèi)流過垂直 x 方向的單位面積的數(shù)目與入射粒子（在 x 0 的 I 區(qū)）在單位時間內(nèi)流過垂直于x方向單位面積的數(shù)目之比。,下面求 D 和 R,幾率流密度矢量：,對一維定態(tài)問題，J 與 時間無關(guān)，所以入射波 = Aexpik1x * = A* exp-ik1x,對透射波= Cexpik1x， 所以透射波幾率流密度：,反射波= Aexp-ik1x， 所以反射波幾率流密度：,其中負號表示與入 射波方向相反。,則入射波幾率流密度