高中數(shù)學 第二章 平面向量 2.5 從力做的功到向量的數(shù)量積教案 北師大版必修

1、2.5 從力做的功到向量的數(shù)量積整體設(shè)計教學分析 前面已經(jīng)知道,向量的線性運算有非常明確的幾何意義,因此利用向量運算可以討論一些幾何元素的位置關(guān)系.既然向量可以進行加減運算,一個自然的想法是兩個向量能否做乘法運算呢?如果能,運算結(jié)果應(yīng)該是什么呢?另外,距離和角是刻畫幾何元素(點、線、面)之間度量關(guān)系的基本量.圖1 我們需要一個向量運算來反映向量的長度和兩個向量間夾角的關(guān)系.眾所周知,向量概念的引入與物理學的研究密切相關(guān),物理學家很早就知道,如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s(如圖1),那么力F所做的功W=|F|s|cos. 功W是一個數(shù)量,其中既涉及“長度”,也涉及“角”,而且只與向量F,s

2、有關(guān).熟悉的數(shù)的運算啟發(fā)我們把上式解釋為兩個向量的運算,從而引進向量的數(shù)量積的定義ab=|a|b|cos. 這是一個好定義,它不僅滿足人們熟悉的運算律(如交換律、分配律等),而且還可以用它來更加簡潔地表述幾何中的許多結(jié)果. 向量的數(shù)量積是一種新的向量運算,與向量的加法、減法、數(shù)乘運算一樣,它也有明顯的物理意義、幾何意義.但與向量的線性運算不同的是,它的運算結(jié)果不是向量而是數(shù)量.三維目標1.通過經(jīng)歷探究過程,掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義,掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律.2.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題,并掌握向量垂直的條件.3.通過問題的解決,培養(yǎng)學生觀察問

3、題、分析問題和解決問題的實際操作能力;培養(yǎng)學生的交流意識、合作精神;培養(yǎng)學生敘述表達自己解題思路和探索問題的能力.重點難點 教學重點:平面向量數(shù)量積的定義. 教學難點:平面向量數(shù)量積的定義及其運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.課時安排1課時教學過程導(dǎo)入新課思路1.我們前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及幾何中的有向線段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它與物理學中的力學、運動學等有著天然的聯(lián)系,將向量這一工具應(yīng)用到物理中,可以使物理題解答更簡捷、更清晰,并且向量知識不僅是解決物理許多問題的有利工具,而且用數(shù)學的思想方法去審視相關(guān)物理現(xiàn)象,研究相關(guān)物理問題,可使我們對物理問

4、題認識更深刻.物理中有許多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,這些物理現(xiàn)象都可以用向量來研究. 在物理課中,我們學過功的概念,即如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s,那么力F所做的功W可由下式計算:W=|F|s|cos, 其中是F與s的夾角.我們知道力和位移都是向量,而功是一個標量(數(shù)量). 故從力所做的功出發(fā),我們就順其自然地引入向量數(shù)量積的概念.思路2.前面我們已學過,任意的兩個向量都可以進行加減運算,并且兩個向量的和與差仍是一個向量.我們結(jié)合任意的兩個實數(shù)之間可以進行加減乘除(除數(shù)不為零)運算,就自然地會想到,任意的兩個向量是否可以進行乘法運算呢？如果能,其運算結(jié)果是什么呢？推進新

5、課新知探究提出問題ab的運算結(jié)果是向量還是數(shù)量？它的名稱是什么?由所學知識可以知道,任何一種運算都有其相應(yīng)的運算律,數(shù)量積是一種向量的乘法運算,它是否滿足實數(shù)的乘法運算律？我們知道,對任意a,bR,恒有(a+b)2=a 2+2A.b+b2,(a+b)(a-b)=a 2-b2.對任意向量a、b,是否也有下面類似的結(jié)論?(1)(a+b)2=a2+2ab+b2;(2)(a+b)(a-b)=a2-b2.活動:已知兩個非零向量a與b,我們把數(shù)量|a|b|cos叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab,即ab=|a|b|cos(0). 其中是a與b的夾角,|a|cos(|b|cos)叫作向量a在b方向上(b

6、在a.方向上)的投影.如圖2為兩向量數(shù)量積的關(guān)系,并且可以知道向量夾角的范圍是0180.圖2 在教師與學生一起探究的活動中,應(yīng)特別點撥引導(dǎo)學生注意:(1)兩個非零向量的數(shù)量積是個數(shù)量,而不是向量,它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積;(2)零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即a0=0;(3)符號“”在向量運算中不是乘號,既不能省略,也不能用“”代替;(4)當0時，cos0,從而ab0;當時,cos0,從而ab0.與學生共同探究并證明數(shù)量積的運算律. 已知a,b,c和實數(shù),則向量的數(shù)量積滿足下列運算律:ab=ba(交換律);(a)b=(ab)=a(b)(數(shù)乘結(jié)合律);(a+b)c=ac+bc(

7、分配律). 特別是:(1)當a0時,由ab=0不能推出b一定是零向量.這是因為任一與a垂直的非零向量b,都有ab=0.(2)已知實數(shù)a、b、c(b0),則ab=bca=c.但對向量的數(shù)量積,該推理不正確,即ab=bc不能推出a=c.由圖3很容易看出,雖然ab=bc,但ac.圖3(3)對于實數(shù)a、b、c有(ab)c=a(bc);但對于向量a、b、c,(ab)c=a(bc)不成立.這是因為(ab)c表示一個與c共線的向量,而a(bc)表示一個與a共線的向量,而c與a不一定共線,所以(ab)c=a(bc)不成立.討論結(jié)果是數(shù)量,叫數(shù)量積.數(shù)量積滿足ab=ba.(交換律);(a)b=(ab)=a(b)

8、(數(shù)乘結(jié)合律);(a.+b)c=ac+bc(分配律).1(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+a.b+ba+bb=a2+2ab+b2;2(a.+b)(a.-b)=a.a.-a.b+ba.-bb=a.2-b2.提出問題如何理解向量的投影與數(shù)量積？它們與向量之間有什么關(guān)系？能用“投影”來解釋數(shù)量積的幾何意義嗎？活動:教師引導(dǎo)學生來總結(jié)投影的概念,可以結(jié)合“探究”,讓學生用平面向量的數(shù)量積的定義,從數(shù)與形兩個角度進行探索研究.教師給出圖形并作結(jié)論性的總結(jié),提出注意點“投影”的概念,如圖4.圖4定義:|b|cos叫作向量b在a方向上的投影.并引導(dǎo)學生思考:1投影也是一個數(shù)量,不是向量;2當為銳角時

9、投影為正值;當為鈍角時投影為負值;當為直角時投影為0;當=0時投影為|b|;當=180時投影為-|b|.教師結(jié)合學生對“投影”的理解,讓學生總結(jié)出向量的數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|Cos的乘積. 讓學生思考:這個投影值可正、可負,也可為零,所以我們說向量的數(shù)量積的結(jié)果是一個實數(shù).教師和學生共同總結(jié)兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì): 設(shè)a、b為兩個非零向量,e是與b同向的單位向量.1ea=ae=|a|cos.2abab=0.3當a與b同向時,ab=|a|b|;當a與b反向時,ab=-|a|b|.特別地aa=|a|2或|a|=.4cos=.5|ab|a|b|. 上述性質(zhì)要

10、求學生結(jié)合數(shù)量積的定義自己嘗試推證,教師給予必要的補充和提示,在推導(dǎo)過程中理解并記憶這些性質(zhì).討論結(jié)果:略(見活動).向量的數(shù)量積的幾何意義為數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.應(yīng)用示例思路1例1 已知|a.|=3,|b|=4,且a與b的夾角=150,求ab.活動:本例是讓學生熟悉向量數(shù)量積的基本概念.解:ab=|a|b|cos=34cos150=12(-)=-6.點評:直接利用向量數(shù)量積的定義.例2 已知平面上三點A、B、C滿足|=2,|=1,|=3,求+的值.活動:教師引導(dǎo)學生利用向量的數(shù)量積并結(jié)合兩向量的夾角來求解,先分析題設(shè)然后找到所需條件.因為已知、的長度,要

11、求得兩兩之間的數(shù)量積,必須先求出兩兩之間的夾角.結(jié)合勾股定理可以注意到A.BC是直角三角形,然后可利用數(shù)形結(jié)合來求解結(jié)果.解:由已知,|2+|2=|2,ABC是直角三角形.而且ACB=90,從而sinA.BC=,sinBAC=ABC=60,BAC=30.與的夾角為120,與的夾角為90,與的夾角為150.故+=21cos120+1cos90+2cos150=-4.點評:確定兩個向量的夾角,應(yīng)先平移向量,使它們的起點相同,再考察其角的大小,而不是簡單地看成兩條線段的夾角,如例題中與的夾角是120,而不是60.變式訓(xùn)練已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為60,求(a+2b)(a-3b).解:

12、(a+2b)(a-3b)=aa-ab-6bb=|a|2-a.b-6|b|2=|a|2-|a|b|cos-6|b|2=62-64cos60-642=-72.例3 已知|a|=3,|b|=4,且a.與b不共線,當k為何值時,向量a+kb與a-kb互相垂直?解:a+kb與a-kb互相垂直的條件是(a+kb)(a-kb)=0,即a2-k2b2=0.a2=32=9,b2=42=16,9-16k2=0.k=也就是說,當k=時,a+kb與a.-kb互相垂直.點評:本題主要考查向量的數(shù)量積性質(zhì)中垂直的充要條件.變式訓(xùn)練(007海南三亞)設(shè)a、b、c是非零向量,下列命題正確的是( )A.(a.b)c=a.(bc

13、) B.|a.-b|2=|a.|2-2|a.|b|+|b|2C.若|a.|=|b|=|a.+b|,則a與b的夾角為60 D.若|a|=|b|=|a.-b|,則a.與b的夾角為60解析:設(shè)是a.和b的夾角,|a|=|b|,|a-b|2=(a-b)2=a2-2ab+b2=2|a|2-2ab=|a|2.cos=.又0180,=60.答案:D例4 在A.BC中,設(shè)邊BC,CA.,A.B的長度分別為a,b,c.證明a2=b2+c2-2bcCosA.,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2acosC.圖5證明:如右圖,設(shè)=c,=a,=b,則a2=|a|2=|2=(-)(-)=(b-c)(b

14、-c)=bb+cc-2bc=|b|2+|c|2-2|b|c|cosA.=b2+c2-2bccosA. 同理可證其他二式,我們把這個結(jié)果稱為余弦定理,以后我們還要專門討論它的意義.思路2例1 已知在四邊形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且ab=cd=bc=da.,試問四邊形ABCD的形狀如何？解:+=0,即a+b+c+d=0,a+b=-(c+d).由上可得(a+b)2=(c+d)2,即a2+2ab+b2=c2+2cd+d2.又ab=cd,故a2+b2=c2+d2.同理可得a2+d2=b2+c2.由上兩式可得a2=c2,且b2=d2,即|a|=|c|,且|b|=|d|,也即A.B=CD,且BC

15、=DA.,四邊形A.BCD是平行四邊形.故=-,即a=-c.又ab=bc=-a.b,即ab=,ab,即.綜上所述,四邊形ABCD是矩形.點評:本題考查的是向量數(shù)量積的性質(zhì)應(yīng)用,利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)垂直問題,然后結(jié)合四邊形的特點進而判斷四邊形的形狀.例2 已知a,b是兩個非零向量,且|a|=|b|=|a+b|,求向量b與a-b的夾角.活動:教師引導(dǎo)學生利用向量減法的平行四邊形法則,畫出以a,b為鄰邊的A.BCD,若=a,=b,則=a+b,=a-b由|a|-|b|=|a+b|,可知ABC=60,b與所成角是150.我們還可以利用數(shù)量積的運算,得出向量b與a-b的夾角,為了鞏固數(shù)量積的有關(guān)知識,

16、我們采用另外一種角度來思考問題,教師給予必要的點撥和指導(dǎo),即由cosb,a.-b=作為切入點,進行求解.解:|b|=|a+b|,|b|=|a.|,b2=(a+b)2.|b|2=|a|2+2ab+|b|2.ab=-|b|2.而b(a-b)=ba-b2=-|b|2-|b|2=-|b|2,由(a-b)2=a2-2ab+b2=|b|2-2(-)|b|2+|b|2=3|b|2,而|a-b|2=(a-b)2=3|b|2,|a-b|=3|b|.cosb,a.-b=,代入,得cosb,a-b=-.又b,a-b0,b,a-b=.點評:本題考查的是利用平面向量的數(shù)量積解決有關(guān)夾角問題,解完后教師及時引導(dǎo)學生對本解

17、法進行反思、總結(jié)、體會.變式訓(xùn)練設(shè)向量c=ma+nb(m,nR),已知|a|=2,|c|=4,a.c,bc=-4,且b與c的夾角為120,求m,n的值.解:ac,ac=0.又c=ma+nb,cc=(ma+nb)c,即|c|2=mac+nbc|c|2=nbc.由已知|c|2=16,bc=-4,16=-4n.n=-4.從而c=ma-4b.bc=|b|c|cos120=-4,|b|4(-)=-4.|b|=2.由c=ma-4b,得ac=ma2-4ab,8m-4ab=0,即ab=2m.再由c=ma-4b,得bc=mab-4b2mab-16=-4,即mab=12.聯(lián)立，得2m2=12,即m2=6.m=.故

18、m=,n=-4.例3 證明菱形的兩條對角線互相垂直.圖6證明:菱形ABCD中,=(如圖6),由于=+,=-,可得=(+)(-)=()2-()2=|2-|2=0,所以，即菱形的兩條對角線互相垂直.例4 已知單位向量e1,e2的夾角為60,求向量a=e1+e2,b=e2-2e1的夾角.解:由單位向量e1、e2的夾角為60,得e1e2=cos60=,所以ab=(e1+e2)(e2-2e1)=-2e1e1-e1e2+e2e2=-2-+1=-.又|a|2=|e1+e2|2=|e1|2+2e1e2+|e2|2=3,|b|2=|e2-2e1|2=4|e1|2-4e1e2+|e2|2=3,所以|a|=|b|=

19、.由可得cos=又0,所以=120.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習15.課堂小結(jié)1.先由學生回顧本節(jié)學習的數(shù)學知識,數(shù)量積的定義、幾何意義,數(shù)量積的重要性質(zhì),數(shù)量積的運算律.2.教師與學生總結(jié)本節(jié)學習的數(shù)學方法,歸納類比、定義法、數(shù)形結(jié)合等.在領(lǐng)悟數(shù)學思想方法的同時,鼓勵學生多角度、發(fā)散性地思考問題,并鼓勵學生進行一題多解.作業(yè)課本習題253、5.設(shè)計感想 本節(jié)的重要性是顯而易見的,但本節(jié)有幾個常見思維誤區(qū):不能正確理解向量夾角的定義,兩個向量夾角的定義是指同一點出發(fā)的兩個向量所構(gòu)成的較小的非負角,因此向量夾角定義理解不清而造成解題錯誤是一些常見的誤區(qū).同時利用向量的數(shù)量積不但可以解決兩向量垂直問題,而

20、且還可以解決兩向量共線問題,要深刻理解兩向量共線、垂直的充要條件,應(yīng)用的時候才能得心應(yīng)手.備課資料一、向量的向量積 在物理學中,由于討論像力矩以及物體繞軸旋轉(zhuǎn)時的角速度與線速度之間的關(guān)系等這類問題的需要,就必須引進兩向量乘法的另一運算向量的向量積.定義如下:兩個向量a.與b的向量積是一個新的向量c:(1)c的模等于以a.及b兩個向量為邊所作成的平行四邊形的面積;(2)c垂直于平行四邊形所在的平面;(3)其指向使a.、b、c三向量成右手系設(shè)想一個人站在c處觀看a.與b時,a.按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個小于180的角而達到b，如圖8.圖8向量a與b的向量積記作ab.設(shè)a與b兩個向量的夾角為,則|a.b|

21、=|a|b|sin. 在上面的定義中已默認了a、b為非零向量,若這兩個向量中至少有一個是零向量,則ab=0. 向量的向量積服從以下運算律:(1)ab=-ba;(2)a(b+c)=ab+ac;(3)(ma)b=m(ab).二、備用習題1.已知a,b,c是非零向量,則下列四個命題中正確的個數(shù)為( )|ab|=|a|b|aba與b反向ab=-|a|b|ab|a+b|=|a-b| |a|=|b|ac|=|bc|A.1 B.2 C.3 D.42.有下列四個命題:在ABC中,若0,則ABC是銳角三角形;在ABC中,若0,則ABC為鈍角三角形;ABC為直角三角形的充要條件是=0;ABC為斜三角形的充要條件是0.其中為真命題的是( )A. B. C. D.3.設(shè)|a|=8,e為單位向量,a與e的夾角為60,則a在e方向上的投影為( )A.4 B.4 C.4 D.8+4.設(shè)a,b,c是任