高中數學 第1章 導數及其應用 1.3.1 單調性學案 蘇教版選修

1、1.3.1單調性1利用導數研究函數的單調性(重點)2含有字母參數的函數單調性的討論，單調區(qū)間的求解(難點)3由單調性求參數的取值范圍(易錯點)基礎初探教材整理函數的單調性與其導數的關系閱讀教材P28“例1”以上部分，完成下列問題1函數的單調性與其導數的關系(1)一般地，在某區(qū)間上函數yf(x)的單調性與導數有如下關系：導數函數的單調性f(x)0f(x)為該區(qū)間上的增函數f(x)0.()(2)函數f(x)在其定義域上是單調減函數()(3)函數f(x)x32x在(1，)上單調遞增()(4)若存在x(a，b)有f(x)0成立，則函數f(x)為常數函數()【答案】(1)(2)(3)(4)2函數f(x)

2、(x3)ex的單調遞增區(qū)間是_【解析】f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)0，解得x2.【答案】(2，)質疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型判斷(證明)函數的單調性(1)求證：函數f(x)exx1在(0，)內是增函數，在(，0)內是減函數(2)判斷函數f(x)在區(qū)間(0,2)上的單調性【精彩點撥】求出導數f(x)，然后判斷導數的符號即可【自主解答】(1)證明：由于f(x)exx1，所以f(x)ex1，當x(0，)時，ex1，即f(x)ex10.故函數f(x)在(0，)內為增函數，

3、當x(，0)時，ex1，即f(x)ex10.故函數f(x)在(，0)內為減函數(2)由于f(x)，所以f(x).由于0x2，所以ln xln 20.故f(x)0.函數f(x)在區(qū)間(0,2)上是單調遞增函數1利用導數證明函數f(x)在給定區(qū)間上的單調性，實質上就是證明f(x)0(或f(x)0，又f(x)(ln xx)1，當x0時，f(x)10，故yln xx在其定義域內為增函數求函數的單調區(qū)間求下列函數的單調區(qū)間：(1)f(x)x2ln x；(2)f(x)；(3)f(x)x33x2.【精彩點撥】首先確定函數的定義域，再求導數，進而解不等式得單調區(qū)間【自主解答】(1)函數f(x)的定義域為(0，

4、)f(x)2x.因為x0，所以x10，由f(x)0，解得x，所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為；由f(x)0，解得x0，(x2)20.由f(x)0，解得x3，所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(3，)；由f(x)0，解得x3，又x(，2)(2，)，所以函數f(x)的單調遞減區(qū)間為(，2)和(2,3)(3)函數f(x)的定義域為R.f(x)3x26x3x(x2)當0x0，所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,2)；當x2時，f(x)0(或f(x)0時，f(x)在相應的區(qū)間上是增函數；當f(x)0得x2x20，解得x2，又x0，所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(2，)【答案】(2，)探究共研型已知函數

5、的單調性求參數的取值范圍探究1已知函數f(x)x3ax1為單調遞增函數，如何求實數a的取值范圍【提示】由已知得f(x)3x2a，因為f(x)在(，)上是單調增函數，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2對xR恒成立，因為3x20，所以只需a0.又因為a0時，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函數，所以a0.探究2若函數f(x)xln x(aR)在(1，)上單調遞增，求a的取值范圍【提示】函數f(x)的定義域為(0，)，f(x)1由題意知，f(x)0在(1，)上恒成立，即x2xa0在(1，)上恒成立，令g(x)x2xa2a，則g(x)2a，從而2a0，a2.當a2時，f(x)

6、0在(1，)上恒成立，因此實數a的取值范圍是(，2已知關于x的函數yx3axb.(1)若函數y在(1，)內是增函數，求a的取值范圍；(2)若函數y的一個單調遞增區(qū)間為(1，)，求a的值【精彩點撥】(1)函數在區(qū)間(1，)內是增函數，則必有y0在(1，)上恒成立，由此即可求出a的取值范圍(2)函數y的一個單調遞增區(qū)間為(1，)，即函數單調區(qū)間的端點值為1，由此可解得a的值【自主解答】y3x2a.(1)若函數yx3axb在(1，)內是增函數則y3x2a0在x(1，)時恒成立，即a3x2在x(1，)時恒成立，則a(3x2)最小值因為x1，所以3x23.所以a3，即a的取值范圍是(，3(2)令y0，得

7、x2.若a0，則x2恒成立，即y0恒成立，此時，函數yx3axb在R上是增函數，與題意不符若a0，令y0，得x或x.因為(1，)是函數的一個單調遞增區(qū)間，所以1，即a3.1解答本題注意：可導函數f(x)在(a，b)上單調遞增(或單調遞減)的充要條件是f(x)0(或f(x)0)在(a，b)上恒成立，且f(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內都不恒等于0.2已知f(x)在區(qū)間(a，b)上的單調性，求參數范圍的方法(1)利用集合的包含關系處理f(x)在(a，b)上單調遞增(減)的問題，則區(qū)間(a，b)是相應單調區(qū)間的子集；(2)利用不等式的恒成立處理f(x)在(a，b)上單調遞增(減)的問題，則f(x)0

8、(f(x)0)在(a，b)內恒成立，注意驗證等號是否成立再練一題3將上例(1)改為“若函數y在(1，)上不單調”，則a的取值范圍又如何？【解】y3x2a，當a0，函數在(1，)上單調遞增，不符合題意當a0時，函數y在(1，)上不單調，即y3x2a0在區(qū)間(1，)上有根由3x2a0可得x或x(舍去)依題意，有1，a3，所以a的取值范圍是(3，)構建體系1設函數f(x)在定義域內可導，yf(x)的圖象如圖131所示，則導函數yf(x)的圖象可能是()圖131【解析】當x0時，f(x)為增函數，f(x)0，排除，；當x0時，f(x)先增后減再增，對應f(x)先正后負再正故選.【答案】2下列函數中，在

9、區(qū)間(1,1)上是減函數的有_(填序號)y23x2；yln x；y；ysin x.【解析】顯然，函數y23x2在區(qū)間(1,1)上是不單調的；函數yln x的定義域為(0，)，不滿足題目要求；對于函數y，其導數y0，且函數在區(qū)間(1,1)上有意義，所以函數y在區(qū)間(1，1)上是減函數；函數ysin x在上是增函數，所以函數ysin x在區(qū)間(1,1)上也是增函數【答案】3函數f(x)2x39x212x1的單調減區(qū)間是_【解析】f(x)6x218x12，令f(x)0，即6x218x120，解得1x2.【答案】(1,2)4已知函數f(x)在(2，)內單調遞減，則實數a的取值范圍為_【解析】f(x)，由題意得f(x)0在(2，)內恒成立，解不等式得a，但當a時，f(x)0恒成立，不合題意，應舍去，所以a的取值范圍是.【答案】5已知函數f(x)ln x，g(x)ax22x，a0.若函數h(x)f(x)g(x)在1,4上單調遞減，求a的取值范圍【解】h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2.因為h(x)在1,4上單調遞減，所以x1,4時，