華東交通大學(xué)概率論第2章

1、課件制作：應(yīng)用數(shù)學(xué)系 概率統(tǒng)計(jì)課程組,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),第二章 一維隨機(jī)變量及其分布,一、隨機(jī)變量及其分布,二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù),三、離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù),四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,五、隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,2.1隨機(jī)變量及其分布,2.1.1隨機(jī)變量的概念,2.1.2隨機(jī)變量的分布函數(shù),為了更好的揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律，引入隨機(jī)變量來描述隨機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果,例:電話總機(jī)某段時(shí)間內(nèi)接到的電話次數(shù)，可用一個(gè)變量 X 來描述,例: 拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果，也可以用一個(gè)變量來描述,2.1 隨機(jī)變量及其分布,例: (1)隨機(jī)地?cái)S一顆骰子，表示所有的樣本點(diǎn),

2、: 出現(xiàn)1點(diǎn) 出現(xiàn)2點(diǎn) 出現(xiàn)3點(diǎn) 出現(xiàn)4點(diǎn) 出現(xiàn)5點(diǎn) 出現(xiàn)6點(diǎn),X(): 1 2 3 4 5 6,(2)某人接連不斷地對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊,直至射中為 止，表示射擊次數(shù)，則,:射擊1次 射擊2次 . 射擊n次 .,X(): 1 2 . n .,(3) 某車站每隔10分鐘開出一輛公共汽車,旅客在任意時(shí)間到達(dá)車站,表示該旅客的候車時(shí)間,: 候車時(shí)間,X(): 0, 10,2.1.1 隨機(jī)變量的概念,定義: 設(shè)E是一隨機(jī)試驗(yàn)， 是它的樣本空間，若,則稱 上的單值實(shí)值函數(shù) X ( )為隨機(jī)變量,隨機(jī)變量一般用 X, Y , Z ,或小寫希臘字母, , 表示.,隨機(jī)變量,如，若用X 表示電話總機(jī)在9:00

3、10:00接到的 電話次數(shù)，,或, 表示“某天9:00 10:00 接到的電話次數(shù)超過100次”這一事件,則,則, 表示正面向上,例如，要研究某地區(qū)兒童的發(fā)育情況，往往需要多個(gè)指標(biāo)，例如，身高、體重、頭圍等, = 兒童的發(fā)育情況 ,X ( ) 身高,Y ( ) 體重,Z ( ) 頭圍,各隨機(jī)變量之間可能有一定的關(guān)系，也可能沒有 關(guān)系 即相互獨(dú)立,而表示隨機(jī)變量所取的值 時(shí),一般采用小寫字母x,y,z等.,隨機(jī)變量通常用大寫字母 X,Y,Z或希臘字母,等表示,例如，從某一學(xué)校隨機(jī)選一學(xué)生，測量他的身高.,我們可以把可能的身高看作隨機(jī)變量X,然后我們可以提出關(guān)于X 的各種問題.,如 P(X1.7)

4、=？ P(X1.5)=?,P(1.5X1.7)=?,定義了一個(gè) x 的實(shí)值函數(shù)，稱為隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)，記為F ( x ) ,即,注: 分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性， 或者說，分布函數(shù)完整地表示了隨機(jī)變量的概率分 布情況 .,2.1.2隨機(jī)變量的分布函數(shù),分布函數(shù)的性質(zhì)：,F ( x ) 單調(diào)不減，即,且,F ( x ) 右連續(xù)，即,利用分布函數(shù)可以計(jì)算,例2.1.1 設(shè)隨機(jī)變量的 分布律為 :,求 的分布函數(shù)，并求:,-1,2,3,即,設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為:,求:,課堂練習(xí),2.2-2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù),一、離散型隨機(jī)變量的概念,二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù),三、常見

5、的離散型隨機(jī)變量的概率分布,隨機(jī)變量的分類,通常分為兩類：,隨機(jī)變量,離散型隨機(jī)變量,連續(xù)型隨機(jī)變量,所有取值可以逐個(gè) 一一列舉,全部可能取值不僅 無窮多，而且還不 能一一列舉，而是 充滿一個(gè)區(qū)間.,定義: 若隨機(jī)變量 X 的可能取值是有限多個(gè)或無窮 可列多個(gè)，則稱 X 為離散型隨機(jī)變量.,描述離散型隨機(jī)變量的概率特性常用它的概率分布 或分布律，即,概率分布的性質(zhì),一、離散型隨機(jī)變量的概念,F( x) 是分段階梯函數(shù)，在 X 的可能取值 xk 處發(fā)生間斷，間斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn).,二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù),注意右連續(xù),注意:,離散型隨機(jī)變量的概率分布分以下幾步來求: (1)確定隨機(jī)變量的

6、所有可能取值; (2)設(shè)法（如利用古典概率）計(jì)算取每個(gè)值的概率. (3)列出隨機(jī)變量的概率分布表（或?qū)懗龈怕屎瘮?shù)）.,例2.2.1,從110這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出5個(gè)數(shù)字，令 X：取出的5個(gè)數(shù)字中的最大值試求X的分布律,具體寫出，即可得 X 的分布律：,解：X 的可能取值為,5，6，7，8，9，10 并且,=,求分布率一定要說明 k 的取值范圍！,例2.2.2 袋內(nèi)有5個(gè)黑球3個(gè)白球,每次抽取一個(gè)不放回,直到取得黑球?yàn)橹埂Ｓ沊為取到白球的數(shù)目,Y為抽取次數(shù)，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。,解: (1)X的可能取值為0,1,2,3, P(X=0)=5/8, P(X=1)=(35)/(8

7、7)=15/56,類似有 P(X=2)=(325)/(8 7 6)=5/56, P(X=3)=1/56, 所以,X的概率分布為,(2) Y的可能取值為1,2,3,4, P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 類似有： P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56, 所以Y的概率分布為：,(3) P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56,(1) 0 1 分布,注:其分布律可寫成,三、常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布,常用0 1分布描述，如產(chǎn)品是否格、人口性別統(tǒng),計(jì)、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超負(fù)荷等等.,(2) 離散型均勻分布,(3)

8、 二項(xiàng)分布,背景：n 重Bernoulli 試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)感興 趣的事件A 在 n 次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù) X是一離散型隨機(jī)變量,若P ( A ) = p , 則,稱 X 服從參數(shù)為n, p 的二項(xiàng)分布(也叫Bernolli 分布).記作,0 1 分布是 n = 1 的二項(xiàng)分布.,二項(xiàng)分布的圖形,例3.1.1 一大批產(chǎn)品的次品率為0.1，現(xiàn)從中取 出15件試求下列事件的概率： B = 取出的15件產(chǎn)品中恰有2件次品 C = 取出的15件產(chǎn)品中至少有2件次品 ,由于從一大批產(chǎn)品中取15件產(chǎn)品，故可近似 看作是一15重Bernoulli試驗(yàn),解：,所以，,例3.1.2 一個(gè)完全不懂英語的人去參加英語

9、考試. 假設(shè)此考試有5個(gè)選擇題，每題有n重選擇，其中只 有一個(gè)答案正確.試求：他居然能答對3題以上而及 格的概率.,解:由于此人完全是瞎懵，所以每一題，每一個(gè)答案 對于他來說都是一樣的，而且他是否正確回答各題 也是相互獨(dú)立的.這樣，他答題的過程就是一個(gè) Bernoulli試驗(yàn) .,在一定時(shí)間間隔內(nèi)：,一匹布上的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)；,大賣場的顧客數(shù)；,應(yīng)用場合:,電話總機(jī)接到的電話次數(shù)；,一個(gè)容器中的細(xì)菌數(shù)；,放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；,一本書中每頁印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)；,某一地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù);,市級醫(yī)院急診病人數(shù)；,等等.,例3.1.3 設(shè)隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為的Poisson分布， 且已知,解：隨機(jī)變

10、量 X 的分布律為,由已知,如果隨機(jī)變量X 的分布律為,試確定未知常數(shù)c .,例3.1.4,由分布率的性質(zhì)有,解：,(5) 幾何分布,設(shè)用機(jī)槍射擊一次擊落飛機(jī)的概率為 ,無限次地射擊，則首次擊落飛機(jī)時(shí)所需射擊的次數(shù) 服從參數(shù)為 的幾 何分布，記 .即,容易驗(yàn)證，若在前 m 次射擊中未擊落飛機(jī)，那么,在 此條件下，為了等到擊落時(shí)刻所需要等待時(shí)間也服 從同一幾何分布，該分布與 m 無關(guān)，這就是所謂的 無記憶性.,課堂練習(xí),1. 將一枚均勻骰子拋擲3次，令X 表示3次中 出現(xiàn)“4”點(diǎn)的次數(shù),求X的概率函數(shù),提示：,. 設(shè)生男孩的概率為p,生女孩的概率為 q=1-p，令X表示隨機(jī)抽查出生的4個(gè)嬰兒中“

11、男孩”的個(gè)數(shù).,求X的概率分布.,X的概率函數(shù)是：,男,女,解:X 表示隨機(jī)抽查的4個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)， 生男孩的概率為p.,X可取值0,1,2,3,4.,2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,2.4.1 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù),2.4. 常見的連續(xù)型隨機(jī)變量,2.4.1 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù),定義：設(shè) X 是一隨機(jī)變量，分布函數(shù)為F(x),若 存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù) f(x) 使得,則稱 X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)是它的概率 密度函數(shù)( p.d.f. )，簡稱為密度函數(shù)或概率密 度,分布函數(shù) F(x)與密度函數(shù) f(x)的幾何意義,概率密度函數(shù)( p.d.f.) f(x)的

12、性質(zhì),1、,2、,常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù).,3、,在 f(x) 的連續(xù)點(diǎn)處，,f(x) 描述了X 在 x 附近單位長度的區(qū)間內(nèi)取值的概率.,注意: 對于連續(xù)型隨機(jī)變量X , P ( X = a) = 0,這里 a 可以是隨機(jī)變量 X 的一個(gè)可能的 取值.,命題: 連續(xù)型隨機(jī)變量取任一常數(shù)的概率為零.,事實(shí)上,對于連續(xù)型隨機(jī)變量X,例2.4.1 設(shè)隨機(jī)變量 具有概率密度函數(shù) 試確定常數(shù)A， 以及 的分布函數(shù).,解:由,知A=3，即,而 的分布函數(shù)為,例2.4.2 一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積

13、成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離，試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù),解:,綜上所述，隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,例3設(shè),求 。,解 由定義,由于 是分段表 達(dá)的，求 時(shí) 注意分段求.,即,2.4.2.1 均勻分布,(a ,b)上的均勻分布,記作,2.4.2 常見的連續(xù)型隨機(jī)變量,若 X 的密度函數(shù)為 ，則稱 X 服從區(qū)間,其中,X 的分布函數(shù)為,即 X 的取值在(a,b)內(nèi)任何長為 d c 的小區(qū)間 的概率與小區(qū)間的位置無關(guān), 只與其長度成正比.這正是幾何概型的情形.,在進(jìn)行大量數(shù)值計(jì)算時(shí)，如果在小數(shù)點(diǎn)后第k位進(jìn)行四舍五入，則產(chǎn)生的誤差可以看作 服從,應(yīng)用場合:,例2.4.3,設(shè)隨機(jī)變

14、量X服從(1,6)上的均勻分布， 求一元兩次方程t2+Xt+1=0有實(shí)根的概率.,解:,故所求概率為:,而X的密度函數(shù)為 :,因此所求概率：,2.4.2.2 正態(tài)分布,若X 的密度函數(shù)為,則稱 X 服從參數(shù)為 , 2 的正態(tài)分布,記作 X N ( , 2 ),為常數(shù)，,f (x) 的性質(zhì)：,(1) 圖形關(guān)于直線 x = 對稱： f ( + x) = f ( - x),(2) 在 x = 時(shí), f (x) 取得最大值:,(3) 在 x = 時(shí), 曲線 y = f (x) 在對應(yīng)的點(diǎn)處有 拐點(diǎn),(4) 曲線 y = f (x) 以x軸為漸近線,(5) 曲線 y = f (x) 的圖形呈單峰狀.,f

15、(x)的兩個(gè)參數(shù)：, 位置參數(shù),即固定, 對于不同的 , 對應(yīng)的 f(x)的形狀不變化，只是位置不同., 形狀參數(shù),固定 ，對于不同的 ，f( x)的形狀不同.,若 1 2 則,x= 2 所對應(yīng)的拐點(diǎn)更靠近直線x = .,附近值的概率更大. x = 1 所對應(yīng)的拐點(diǎn)比,前者取 ,正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于 對稱的鐘形曲線。特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對稱”。,決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中峰的陡峭程度。,應(yīng)用場合:,若隨機(jī)變量 X 受到眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的 影響，而每一個(gè)別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加, 則 X 服從正態(tài)分布.,可用正態(tài)變量描述的實(shí)例非常之多：,各種測量

16、的誤差； 人的生理特征；,工廠產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物的收獲量；,海洋波浪的高度； 金屬線的抗拉強(qiáng)度；,熱噪聲電流強(qiáng)度； 學(xué)生們的考試成績；,正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，這可以由以下情形加以說明：, 正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之一，大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的可以證明，如果一個(gè)隨機(jī)指標(biāo)受到諸多因素的影響，但其中任何一個(gè)因素都不起決定性作用，則該隨機(jī)指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布, 正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，這些性質(zhì)是其它許 多分布所不具備的, 正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布,正態(tài)分布的重要性:,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算：,一種重要的正態(tài)分布：N(0,1) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

17、,-x,x,對一般的正態(tài)分布 ：X N ( , 2),其分布函數(shù),作變量代換,設(shè) X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6),解:,例2.4.4,求 P ( X 0 ).,解1:,解二 圖解法,0.2,由圖,0,=1.645,=2.575,= -1.645,= -2.575,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位數(shù)z,2.4.2.3 指數(shù)分布,若X 的密度函數(shù)為,則稱X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布,記作,X 的分布函數(shù)為, 0 為常數(shù),對于任意的 0 a b,應(yīng)用場合:,用指數(shù)分布描述的實(shí)例有：,隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間,電話問題中的通話時(shí)間,無線電元件的壽命,動物的壽命,指數(shù)分布常作為各種 “壽命”分布的近

18、似,例2.4.6,令：B= 等待時(shí)間為10-20分鐘 ,2.4.2.4 伽瑪分布,設(shè)隨機(jī)變量X，若X的密度函數(shù)為,則稱X服從參數(shù)為 的伽瑪（Gamma）分布,簡稱 為 分布,注:伽瑪函數(shù)具有性質(zhì)：,設(shè)測量的誤差 XN(7.5,100)(單 位：米),問要進(jìn)行多少次獨(dú)立測 量,才能使至少有一次誤差的絕對 值不超過10米的概率大于0.9 ?,解:,設(shè)A表示進(jìn)行 n 次獨(dú)立測量至少有一次誤差的絕 對值不超過10米,所以至少要進(jìn)行 4 次獨(dú)立測量才能滿足要求.,課堂練習(xí),2.5 隨機(jī)變量函數(shù)的分布,2.5.1 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,2.5.2 連續(xù)性隨機(jī)變量函數(shù)的分布,問題：已知隨機(jī)變量 X 的概率特性 分布 函數(shù) 或密度函