《三角形的證明》復(fù)習(xí)課件1.ppt

1、第一章 三角形的證明 復(fù)習(xí),“原名” 知多少,定義:對名稱和術(shù)語的含義加以描述,作出明確的規(guī)定,也就是給出 它們的定義(definition) . 命題:判斷一件事情的句子,叫做命題(statement). 每個(gè)命題都由條件(condition)和結(jié)論(conclusion)兩部分組成.條件是已知事項(xiàng),結(jié)論是由已事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng). 正確的命題稱為真命題(true statement),不正確的的命題稱為假命題(false statement).,公理:公認(rèn)的真命題稱為公理(axiom). 證明:除了公理外,其它真命題的正確性都通過推理的方法證實(shí). 推理的過程稱為證明. 定理:經(jīng)過證明的真命題稱

2、為定理(theorem). 推論:由一個(gè)公理或定理直接推出的定理,叫做這個(gè)公理或定理的推論(corollary).推論可以當(dāng)作定理使用.,作為證明基礎(chǔ)的幾條公理,本套教材選用如下命題作為公理 : 1、兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等, 那么這兩條直線平行; 2、兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等; 3、兩邊夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等; 4、兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等; 5、三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等; 6、全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等.,提示:每一條公理或定理的三種語言要能相互滲透,轉(zhuǎn)化.,怎么證明幾何命題,證明命題的一般步驟: (1)理解題意:分清命題的條件(已

3、知),結(jié)論(求證); (2)根據(jù)題意,畫出圖形; (3)結(jié)合圖形,用符號(hào)語言寫出“已知”和“求證”; (4)分析題意,探索證明思路(由“因”導(dǎo)“果”,執(zhí)“果”索“因”.); (5)依據(jù)思路,運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語言條理清晰地寫出證 明過程; (6)檢查表達(dá)過程是否正確,完善.,提示: 要說明一個(gè)命題是假命題,通常可以舉出一個(gè)例子,使之具備命題的條件,而不具備命題的結(jié)論,這種例子稱為反例(counter example).,2.推論: 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合(三線合一).,（1）AB=AC, 1=2(已知). BD=CD,ADBC（等腰三角形三線合一）.,（2）

4、AB=AC, BD=CD (已知). 1=2,ADBC（等腰三角形三線合一）,（3）AB=AC, ADBC(已知). BD=CD, 1=2（等腰三角形三線合一）,輪換條件：1=2, ADBC,BD=CD,可得三線合一的三種不同形式的運(yùn)用.,知識(shí)要點(diǎn)回顧,1.定理: 等腰三角形的兩個(gè)底角相等,簡稱:等邊對等角,4.等邊三角形的判定：,結(jié)論4: 等腰三角形腰上的高線與底邊的夾角等于頂 角的一半.,結(jié)論5:等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離 之和等于一腰上的高.,3.等腰三角形有關(guān)知識(shí)要點(diǎn):,結(jié)論1:等腰三角形兩底角的平分線相等.,結(jié)論2:等腰三角形兩腰上的中線相等.,結(jié)論3:等腰三角形兩腰上的

5、高相等；,(3).有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形.,(1).三條邊都相等的三角形是等邊三角形.,(2).三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.,5.定理:在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于300,那么 這個(gè)銳角所對直角邊等于斜邊的一半,它的逆命題:,ACB=900 , A=300 ,在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對的銳角等于300.,ACB=900, A=300,6.勾股定理:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜 邊的平方.,它的逆定理:,如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形.,7.直角三角形全等的判定定理:,斜邊和一條直角邊對應(yīng)

6、相等的兩個(gè)直角三角形全等.,(簡稱“HL”),8.寫出命題： “等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆命題：,有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.,定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn) 的距離相等.,9.線段的垂直平分線,它的逆命題:到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等 的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.,MN垂直平分AB (MNAB,AC=BC或P在AB的垂直平分線上) PA=PB,PA=PB(已知), 點(diǎn)P在AB的垂直平分線上,10.角平分線,定理:角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等., PDOA,PEOB , PD=PE 1=2(OP是角平分線或P在AOB的平分線上),逆定理:,在一個(gè)角的內(nèi)部,且到

7、角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.,1=2,PDOA,PEOB PD=PE,11.定理:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且 這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.,12.定理:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且 這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.,(這一點(diǎn)叫做三角形的外心),(這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心),在本章中你學(xué)到了什么,角的平分線,通過探索,猜想,計(jì)算和證明得到定理,與等腰三角形、等邊三角形有關(guān)的結(jié)論,與直角三角形有關(guān)的結(jié)論,與一般的三角形有關(guān)的結(jié)論,命題的逆命題及其真假,尺規(guī)作圖,線段的垂直平分線,與同伴交流講述一兩個(gè)命題的證明思路和證明方法.,提示:能將證明的能力提升一個(gè)臺(tái)階的前提是:認(rèn)

8、識(shí) 并掌握一定數(shù)量的基本圖形.,如：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離 相等.,如：等腰三角形底邊上一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一 腰上的高.,如：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一 點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等. 如： ,我能行不只是字面意義,互逆定理與互逆命題,在什么情況下互逆的命題才是互逆的定理?,你能說出一對互逆的命題嗎?,一個(gè)命題的逆命題的真假性如何?,一個(gè)定理的逆命題的真假性如何?,它們的真假性如何?,基本作圖,作一條線段等于已知線段;,已知三邊,兩邊夾角,兩角夾邊,斜邊直角邊作三角形.,作線段的垂直平分線;,作已知角的平分線;,作一個(gè)角等于已知角;,作圖題的一般步驟: 已

9、知,求作,分析,作法,證明,討論.,做一做: 任意畫一個(gè)角,利用尺規(guī)將其二等分,四等分.,作圖題的要求:能寫出規(guī)范的作圖步驟.,例1:在ABC中,AB=2AC,1=2,DA=DB 求證:DCAC,2,1,A,C,E,F,證明:取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE DA=DB,AE=BE DEAB(等腰三角形三線合一) AB=2AC,E為AB的中點(diǎn) AE=AC 在AED和ACD中, AE=AC,1=2,AD=AD AEDACD(SAS) AED=ACD=900 即ACDC,或用延長法:延長AC至F使CF=AC,連結(jié)DF,小試牛刀,例1:在ABC中,AB=2AC,1=2,DA=DB 求證:DCAC,證明:延長

10、AC至F使CF=AC,連結(jié)DF AB=2AC,AC=CF AB=AF 1=2,AD=AD ADBADF(SAS) DB=BF DA=DB DA=DF AC=CF DCAF(等腰三角形三線合一) 即DCAC,思路探究:除了截短法和延長法外,在等腰三角形中,我們通常作底邊的中線或高或頂角平分線,以便使用等腰三角形的性質(zhì)(三線合一).,小試牛刀,2,1,A,C,F,例2:如圖,ABC,CDE是等邊三角形 (1)求證:AE=BD,(2)若BD和AC交于點(diǎn)M,AE和CD交于點(diǎn)N, 求證:CM=CN,M,N,(3)連結(jié)MN,猜想MN與BE的位置 關(guān)系.并加以證明,思路探究:通過證明三角形全等從而證明線段相

11、等或角相等,這是 一種常見的證明方法.本題我們應(yīng)注意用到等邊三角形 的性質(zhì)以及平行法的判定方法.當(dāng)圖形較復(fù)雜時(shí),注意 分清條件與圖形中的對應(yīng)關(guān)系,學(xué)無止境,在ABC中,C=900,B=300,AD是BAC 的平分線,已知 ,求AD的長.,解: C=900,B=300, CAB=600 AD是角平分線 CAD=300,設(shè)CD=x,那么AD=2x，在RtACD中，AD2=CD2+AC2 ,解得：x=2 AD=4,思路探究：本題綜合運(yùn)用了勾股定理，含300角的直角三角形性 質(zhì).它們都與直角有關(guān),所以當(dāng)問題中出現(xiàn)直角條件時(shí), 要善于聯(lián)想到這些性質(zhì).,初露鋒芒,作業(yè),、基礎(chǔ)作業(yè)： 課本33頁復(fù)習(xí)題 第1

12、、2、3、4題 2、預(yù)習(xí)作業(yè)： 課本P33頁“回顧與思考”,提高證明能力的源泉,1、已知:如圖,D,E,F分別是BC,CA,AB上的點(diǎn), DEBA,DFCA. 求證:FDE=A.,2、已知:如圖,ADCB,AD=CB. 求證:ABCCDA.,提高證明能力的源泉,3、已知:如圖,AB=AC, ABD=ACE. 求證:(1)OB=OC; (2)BE=CD.,提高證明能力的源泉,4、已知:如圖,BD,CE是ABC的高,且BD=CE. 求證:ABC是等腰三角形.,提高證明能力的源泉,5、已知:如圖,在ABC中, A,B,C的 度數(shù)之比是123 , . 求:AC的長.,提高證明能力的源泉,6、已知:如圖,ANOB,BM