正交群、幺模群和Euler轉(zhuǎn)動(dòng).ppt

1、3.3 正交群、幺模群和Euler轉(zhuǎn)動(dòng),一、正交群 一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)可用三個(gè)實(shí)數(shù)表征：轉(zhuǎn)軸的極面角和方位角，以及轉(zhuǎn)角。可方便地用33正交矩陣R描述：不同相繼轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)果可用相應(yīng)矩陣乘積來(lái)表示。 由于RRT=RTR=1 相當(dāng)于6個(gè)獨(dú)立方程，這33正交矩陣的9個(gè)元素只有3個(gè)是獨(dú)立的。 正交矩陣乘法運(yùn)算的集合構(gòu)成一個(gè)群，該群叫SO(3)群。這里S表示特殊，即只考慮了轉(zhuǎn)動(dòng)，而無(wú)反演；O表示正交，即RRT=1；而3表示空間維數(shù)。,SO(3)群的基本性質(zhì),所有正交矩陣（R）乘法運(yùn)算的集合滿足四要素： 封閉性：兩正交矩陣的乘積為另一正交矩陣 2.結(jié)合律： 這是矩陣代數(shù)的結(jié)果 3.有單位矩陣（對(duì)應(yīng)于無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)）：R1=1R

2、=R 4.有逆存在（對(duì)應(yīng)于相反角度的轉(zhuǎn)動(dòng)）：,二、幺模群,對(duì)二分量旋量，可用一個(gè)22矩陣的作用來(lái)表征一個(gè)任意轉(zhuǎn)動(dòng)： U = 該矩陣顯然是幺正的（UU+=1），不改變的模。 幺模矩陣：行列式為1的幺正矩陣。幺模矩陣的一般形式為： 且 U(a,b)的行列式顯然為1 ，且是幺正的：,對(duì)比U與U(a,b)，知U為幺模矩陣，對(duì)應(yīng)于: 幺模矩陣的集合所構(gòu)成的群稱為SU(2)群。 S：特殊，即模為1；U：幺正。 1）封閉性： 2）逆： 2維幺正矩陣構(gòu)成U(2)群（有4個(gè)獨(dú)立參數(shù)）：,SU(2)與SO(3)的關(guān)系,雖然SU(2)與SO(3)均表征轉(zhuǎn)動(dòng)，但非同構(gòu)，即SU(2)與SO(3)不是一一對(duì)應(yīng)的。其實(shí)，S

3、U(2)與SO(3)的對(duì)應(yīng)是二對(duì)一的，即U(a,b)及U(-a,-b)對(duì)應(yīng)于同一個(gè)SO(3)矩陣。例如在SU(2)中轉(zhuǎn)2對(duì)應(yīng)于-1，轉(zhuǎn)4對(duì)應(yīng)于1，但SO(3)中轉(zhuǎn)2和4都對(duì)應(yīng)于1，把U(a,b)和U(-a,-b)分開(kāi)看，則可認(rèn)為SO(3) 與SU(2)局部同構(gòu)。,三、Euler轉(zhuǎn)動(dòng),三維空間的最一般轉(zhuǎn)動(dòng)也可用三個(gè)相繼Euler轉(zhuǎn)動(dòng)表征： 1)將剛體繞z軸轉(zhuǎn)角.空間坐標(biāo)軸與剛體坐標(biāo)軸在轉(zhuǎn)動(dòng)前是重合的,轉(zhuǎn)動(dòng)后剛體y軸變?yōu)閥軸 2)使剛體繞y軸轉(zhuǎn)角，剛體z軸變?yōu)閦軸 3)使剛體繞z軸轉(zhuǎn)角，y軸變?yōu)閥軸。 用33正交矩陣描述這三個(gè)Euler轉(zhuǎn)動(dòng)，結(jié)果為:,y與y差角，繞y轉(zhuǎn)角可等價(jià)為：先用Rz(-)將

4、y轉(zhuǎn)回到y(tǒng)，然后繞y轉(zhuǎn)角,再將y轉(zhuǎn)回到y(tǒng)軸，即 上式左右兩邊對(duì)y軸效果自然相同，對(duì)zz(z)的操作也相同，即上式對(duì)剛體的兩非平行軸等價(jià)。 類似可證： 于是，描述3個(gè)Euler轉(zhuǎn)動(dòng)的正交矩陣為： 即：,化關(guān)于剛體軸y、z的操作為關(guān)于空間固定軸的操作,對(duì)應(yīng)Euler轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)算符,與正交矩陣的乘積對(duì)應(yīng)，存在相應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)算符的乘積： 對(duì)自旋1/2體系為 該矩陣具有幺模矩陣的普遍形式。 上式的exp(-i2)矩陣是唯一含非對(duì)角元的，且非對(duì)角元是純實(shí)數(shù)。,是轉(zhuǎn)動(dòng)算符D(,)的j=1/2的不可約表示，其矩陣元記為,3.4 密度算符與混合系綜,一、極化與非極化粒子束 前述量子力學(xué)理論形式可描述由完全相同的粒子組

5、成的系綜的統(tǒng)計(jì)預(yù)言，系綜粒子均由態(tài)矢|表征。 對(duì)由不同態(tài)矢表征的物理體系所組成的系綜，前面討論的理論方法不適用。如SG實(shí)驗(yàn)中由熱爐直接出來(lái)的Ag原子，其自旋朝向是隨機(jī)的。按前描述任意態(tài)的方法， 所描述的態(tài)有特定自旋方向，其極角和方位角由 決定，故不能描述自旋無(wú)特定方向的體系系綜。,二、分?jǐn)?shù)分布,自旋朝向無(wú)規(guī)的系綜可看作由50%|+和50%|-的粒子組成，可用布居數(shù)(幾率權(quán)重)w+=0.5和w-=0.5描述 注意：1）系綜的分解常常是不唯一的，如上述體系也可看作由50%|Sx+和50%|Sx-組成。 2）幾率權(quán)重( w+，w-)是實(shí)數(shù)，沒(méi)有關(guān)于不同態(tài)的相對(duì)相位的信息，用于描述不同態(tài)的非相干混合態(tài)

6、。 3）不能混淆w+ (w-)和|c+|2 (|c-|2)， |c+|2 (|c-|2)包含了重要的相位信息，用于描述態(tài)的相干線性疊加，如 ，該相干疊加的結(jié)果是Sx+態(tài)。 w+、w-所對(duì)應(yīng)的概念與經(jīng)典幾率理論的概念相仿。,三、非極化、部分極化和完全極化,SG實(shí)驗(yàn)中由爐子出來(lái)的Ag原子束是完全隨機(jī)系綜的例子，原子束被稱為是非極化的，自旋無(wú)特定方向。 經(jīng)過(guò)SG過(guò)濾器后的原子束是純系綜、原子束是極化的，自旋有特定朝向。 完全隨機(jī)系統(tǒng)和純系統(tǒng)是混合系統(tǒng)的兩極端例子。如一混合系統(tǒng)中有70%的態(tài)由|描述，而30%由|描述，則稱為部分極化的。這里|和|不一定要正交。例如， |是|Sx+，而|是|Sz- 。

7、非純系綜必須用分?jǐn)?shù)分布數(shù)描述（分布數(shù)一般不唯一，但要滿足描述系綜總體性質(zhì)的要求）,四、系綜平均,混合系綜可看作純系綜|(i)的混合疊加。 分?jǐn)?shù)分布要滿足歸一條件: 不同態(tài)|(i)不必正交 i的數(shù)目可大于態(tài)空間的維數(shù)。例如一系綜可由40% |Sz+ 、30% |Sx-和30%|Sy-組成. 對(duì)混合系綜測(cè)量A，測(cè)量的統(tǒng)計(jì)結(jié)果是A的系綜平均 這里|a是A的本征矢。由于是A在態(tài)|(i)的期待值，系綜平均要對(duì)期待值作權(quán)重平均，即幾率概念出現(xiàn)兩次:一是在態(tài)|(i)找到A本征態(tài)的量子力學(xué)幾率，二是|(i)在系綜的幾率權(quán)重。,五、密度算符,利用一般基求A的系綜平均： 對(duì)b或b的求和項(xiàng)數(shù)是態(tài)矢空間的維數(shù)，而i的

8、項(xiàng)數(shù)則與混合系統(tǒng)被看作由怎樣的純態(tài)混合而成有關(guān)。 定義與特定觀測(cè)量A無(wú)關(guān)的系綜密度算符： 其矩陣表示即密度矩陣的矩陣元為 密度算符包含了所討論系綜的所有物理信息。,觀測(cè)量的系綜平均 由于跡與表象無(wú)關(guān)，可在任意方便的基中計(jì)算，因而上式是非常有用的。,六、密度算符的基本性質(zhì),1）厄米性：+ = 2）滿足歸一化條件： 由于厄米性及歸一條件，對(duì)自旋1/2的體系，密度算符的矩陣表示由3個(gè)獨(dú)立參量描述，這是因?yàn)槎蛎拙仃囉伤膶?shí)數(shù)表述，而歸一性將獨(dú)立參數(shù)數(shù)降為3。所需三個(gè)參數(shù)是Sx, Sy和Sz。,七、純態(tài)系綜的密度算符,純系綜由某i=n的wi=1和所有其他wi=0描述，對(duì)應(yīng)的密度算符為： 純系綜的具有等冪性

9、: 2 = (故Tr(2)=1)， (-1)=0 對(duì)角化時(shí)有ii (ii-1)=0，即ii =1或ii =0，具有形式： 可以證明，純系綜的Tr(2)=1為極大，任何混合系統(tǒng)的Tr(2)1 。,八、密度算符在給定基下的矩陣表示,上式其實(shí)給出了密度矩陣的算法。下面以自旋1/2體系在Sz表象為例。 1）對(duì)純Sz+系綜： 2）純Sx系綜： 3）對(duì)完全非極化系綜，將其看作50%|+和50%|-的非相干組合，則 ：,S=0,4）由75%|Sz+與25%|Sx+組成的部分極化系綜容易求得：注：給定，其對(duì)純系綜的分解可以是多樣化的。,九、系綜的時(shí)間演化,對(duì) ，若系綜不受干擾，則wi不變，系綜的時(shí)間演化由態(tài)矢

10、|(i)的時(shí)間演化決定， 這方程形式與Heisenberg運(yùn)動(dòng)方程反號(hào)。但這并不矛盾，因不是Heisenberg圖象中的動(dòng)力學(xué)觀測(cè)量。其實(shí)，是由Schrdinger圖象中的態(tài)矢組成的，而態(tài)矢則是按Schrdinger方程演化的。,十、連續(xù)譜空間中的密度算符,對(duì)應(yīng)于連續(xù)本征譜的態(tài)矢，則 此時(shí)密度矩陣實(shí)際上是x和x的函數(shù)，即 i(x)是對(duì)應(yīng)于|(i)的波函數(shù)。 的對(duì)角元素是幾率密度的權(quán)重和（可見(jiàn)密度矩陣這一名稱很合適）。,十一、密度算符與量子統(tǒng)計(jì)力學(xué),對(duì)完全隨機(jī)的系綜，密度矩陣在任何表象中均有： 該與純系綜的很不相同。 為定量表征不同系綜的，定義為： 在本征態(tài)為基矢時(shí),十二、熵,由于 ，是半正定的（0）。 對(duì)完全隨機(jī)系綜 對(duì)純系綜， =0 可見(jiàn)可作為體系無(wú)序度的定量表征：純系綜完全有序，既無(wú)序度為零；隨機(jī)系統(tǒng)完全無(wú)序，故是個(gè)大數(shù)。其實(shí)，在歸一化限制下，ln(N)是的最大值。 在熱力學(xué)中，熵是度量無(wú)序度的。熵（S）與的關(guān)系為，S=k，k為Boltzmann常數(shù)。 S=k可看作是量子統(tǒng)計(jì)力學(xué)中熵的定義。,十三、熱平衡系綜的密度矩陣,對(duì)具有確定H的系綜,熱平衡時(shí)取極大:=0.因/ t=0,與H可同時(shí)對(duì)角化,可用H的本征態(tài)為基. 粒子的平均內(nèi)能：H=Tr(H)=U 由 用Lagranger乘子法可得 其解為， 利用歸一化條件有 對(duì)應(yīng)于能量本征態(tài)