兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布.ppt

1、一般，先討論兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問題，然后將其 推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形。,在多維隨機(jī)變量中需討論：已知隨機(jī)變 量X1, X2, ,Xn 及其聯(lián)合分布，如何求 出它們的函數(shù)： Yi =gi (X1, X2, ,Xn ), i = 1, 2, m 的聯(lián)合分布。,研究的問題,一. Z=X+Y 的分布(和的分布),設(shè) ( X, Y )的概率密度為 f( x, y). 則 Z= X + Y 的分布函數(shù)為:,固定 z 和 x , 對(duì)內(nèi)層積分作變量替換 y= u x,累 次 積 分,是直線x+y =z 左下方 的半平 面,交換 積分 次序,得 Z=X+Y 的概率密度為:,注:,當(dāng) X, Y 相互獨(dú)立時(shí)

2、，則由,或,稱為卷積公式 記為：,由 X 和 Y 的對(duì)稱性， fZ (z)又可寫為：,有:,例1.,設(shè) X 和 Y相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且,求：Z = X + Y 的概率密度,解:,利用卷積公式：,結(jié)論:,推廣到 n 個(gè)相互獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量之和，即：,若隨機(jī)變量 X 和 Y 相互獨(dú)立，且,則它們的和仍服從正態(tài)分布，,即：,更一般的有：有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的 的線性組合仍然服從正態(tài)分布。,例2.,且 X, Y 的概率密度分別為:,求: Z = X + Y 的分布,解:,當(dāng) 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,從,Beta 函數(shù)定義： B(m,n) = 且 B 函數(shù)與 函數(shù)之間有關(guān)系式：,結(jié)論:,從而得：,推廣

3、：,此時(shí)則稱 X 服從自由度為 n 的開平方分布，記 為：,特別當(dāng) 時(shí)，,的密度函數(shù)為：,正態(tài)分布的和仍服從正態(tài)分布；而正態(tài)分布的平方和和卻服從 分布,例3.,求: Z = X + Y 的分布,解:,與 的取值均為：,的取值也為非負(fù)的整數(shù),結(jié)論:,X, Y 相互獨(dú)立。則它們的和服從參數(shù)為 泊松分布，即：,例4.,若X 和 Y 相互獨(dú)立，具有相同的概率密度：,求：Z = X +Y 的概率密度,為確定積分限，先找出使被積函數(shù)不為 0 的區(qū)域,由卷積公式：,也即,解:,由已知：,于是得：,例1 例3說明：不論是連續(xù)型隨機(jī)變量還是離散型隨機(jī)變量，如果它們服從正態(tài)分布, 分布或泊松分布，那么它們的和也仍

4、然服從正態(tài), 分布或泊松分布，并且參數(shù)是單個(gè)參數(shù)之相加,具有這種性質(zhì)的隨機(jī)變量也稱其為滿足或具有可加性的隨機(jī)變量。,歸納,求解例1 例3過程中知： 在求隨機(jī)向量( X, Y ) 的函數(shù) Z = g( X, Y ) 的分布時(shí)，關(guān)鍵是設(shè)法將其 轉(zhuǎn)化為( X, Y )在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而利 用已知的分布求出 Z = g( X, Y ) 的分布。,二. 的分布 (商的分布),設(shè) ( X, Y ) 的概率密度為 f( x, y ),則 的分布函數(shù)為:,對(duì)于,固定 z, y 令:,同樣有:,故有:,對(duì) 求導(dǎo)得 概率密度函數(shù)為:,注:,當(dāng) X, Y 相互獨(dú)立時(shí), 則有:,例5.,設(shè) X, Y 的概率

5、密度分別為:,并且 X, Y 相互獨(dú)立。,求： 的概率密度函數(shù),解:,因?yàn)?X, Y 的取值范圍分為大于零與小于等于零 兩段，所以 Z 的取值范圍也分為：,當(dāng) 時(shí)：,當(dāng) 時(shí)：,三、M = max ( X, Y ) 及 N = min( X, Y ) 的分布,最大值和最小值分布,設(shè)X，Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布 函數(shù)分別為FX ( x ) 和FY ( y ),所以得：,求：M = max ( X, Y ) 及 N = min ( X, Y ) 的分布函數(shù).,1. M = max ( X, Y ) 的分布,解：,因?yàn)椋?2. N = min ( X, Y ) 分布,所以：,從而得：,

6、因?yàn)椋?由獨(dú)立性,注:,所以得：,概率密度函數(shù),推廣：,則：,的分布函數(shù)分別為:,分布函數(shù) F(X) 時(shí)（即獨(dú)立同分布），則有：,設(shè)隨機(jī)變量X1, X2相互獨(dú)立，并且有相同的幾何分布，即 P( Xi = k ) = p( 1 p ) k -1 , k=1, 2, ( i =1, 2),例6.,求： 的分布,解：,解法一,因?yàn)椋篜( Y = n ) = P( max( X1, X2) = n ),= P( X1= n, X2n ) + P( X2 = n, X1 n ),記:1 p = q,n = 0, 1 , 2, ,而：,P( Y = n ) = P( max(X1, X2) = n ),因?yàn)椋?P( Y = n ) = P( Y n ) - P( Y n -1 ),解法二,= P( max( X1, X2 ) n ) - P( max( X1, X2 ) n 1 ),= P( X1 n, X2n ) - P(