超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析.ppt

1、1,12 超靜定次數(shù)的確定,13 力法的基本概念,14 力法的典型方程,16 對稱性的利用,15 力法的計(jì)算步驟和示例,17 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算,11 超靜定結(jié)構(gòu)概述,第七章 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析,第一節(jié) 力法,2,19 溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算,110 支座移動(dòng)時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算,111 超靜定結(jié)構(gòu)的特性,18 最后內(nèi)力圖的校核,3,11 概 述,1. 靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu),靜定結(jié)構(gòu)：,超靜定結(jié)構(gòu)：,A,B,C,P,P,全部反力和內(nèi)力只用平衡條件便可確 定的結(jié)構(gòu)。,僅用平衡條件不能確定全部反力和 內(nèi)力的結(jié)構(gòu)。,A,B,P,HA,VA,RB,VA,HA,RB,RC,外力超靜定問題,內(nèi)力超靜

2、定問題,返 回,4,P,A,B,C,P,2 . 超靜定結(jié)構(gòu)在幾何組成上的特征,多余聯(lián)系與多余未知力的選擇。,是幾何不變且具有“多余”聯(lián)系（外部或內(nèi)部）。,多余聯(lián)系：,這些聯(lián)系僅就保持結(jié)構(gòu)的幾何不變 性來說，是不必要的。,多余未知力：,多余聯(lián)系中產(chǎn)生的力稱為多余未 知力（也稱贅余力）。,此超靜定結(jié)構(gòu)有一個(gè)多余聯(lián) 系，既有一個(gè)多余未知力。,此超靜定結(jié)構(gòu)有二個(gè)多余聯(lián) 系，既有二個(gè)多余未知力。,返 回,5,3. 超靜定結(jié)構(gòu)的類型,（1）超靜定梁; （2）超靜定桁架； （3）超靜定拱；,4. 超靜定結(jié)構(gòu)的解法,求解超靜定結(jié)構(gòu)，必須 綜合考慮三個(gè)方面的條件:,（1）平衡條件； （2）幾何條件； （3）物理

3、條件。,具體求解時(shí)，有兩種基本(經(jīng)典)方法力法和位移法。,（4）超靜定剛架；,（5）超靜定組合結(jié)構(gòu)。,返 回,6,12 超靜定次數(shù)的確定,1. 超靜定次數(shù)：,2 .確定超靜定次數(shù)的方法:,解除多余聯(lián)系的方式通 常有以下幾種：,（1）去掉或切斷一根鏈桿，相當(dāng)于去掉一個(gè)聯(lián)系。,（2）拆開一個(gè)單鉸，相當(dāng) 于去掉兩個(gè)聯(lián)系。,用力法解超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，首先必須確定多余聯(lián)系 或多余未知力的數(shù)目。,多余聯(lián)系或多余未知力的個(gè)數(shù)。,采用解除多余聯(lián)系的 方法。,返 回,7,3. 在剛結(jié)處作一切口， 或去掉一個(gè)固定端，相當(dāng) 于去掉三個(gè)聯(lián)系。,4. 將剛結(jié)改為單鉸聯(lián) 結(jié)，相當(dāng)于去掉一個(gè)聯(lián)系。,應(yīng)用上述解除多余 聯(lián)系(約束

4、)的方法，不難 確定任何 超靜定結(jié)構(gòu)的 超靜定次數(shù)。,X2,X2,返 回,8,3. 例題:確定圖示結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)（n）。,n=6,n=37=21,對于具有較多框格的結(jié)構(gòu)，可 按 框格的數(shù)目確定，因?yàn)橐粋€(gè)封 閉框格，其 超 靜定次數(shù)等于三。 當(dāng)結(jié)構(gòu)的框格數(shù)目為 f ,則 n=3f 。,返 回,9,13 力法的基本概念,首先以一個(gè)簡單的例子，說明力法的思路和基本概 念。討論如何在計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步尋求計(jì) 算超靜定結(jié)構(gòu)的方法。,A,B,EI,L,1判斷超靜定次數(shù)： n=1,q,q,A,B,原結(jié)構(gòu),2. 確定(選擇)基本結(jié)構(gòu)。,3寫出變形(位移)條件:,(a),(b),q,基本結(jié)構(gòu),根據(jù)疊

5、加原理，式（a） 可寫成,返 回,10,L,將,代入(b)得,4 .建立力法基本方程,(81),5. 計(jì)算系數(shù)和常數(shù)項(xiàng),6. 將11、 11代入力法方程式(8-1)，可求得,A,B,EI,L,q,(b),此方程便為一次超靜定結(jié) 構(gòu)的力法方程。,=,EI,1,2,L,2,3,2L,11=,11x1,=,EI,1,2,qL,2,4,3L,_,(,3,1,L,),多余未知力x1求出后，其余反力、內(nèi)力的計(jì)算都是靜定問題。利用已繪出 的,M1圖,和MP圖按疊加法繪M圖。,q,返 回,11,結(jié) 論,象上述這樣解除超靜定結(jié)構(gòu)的多余聯(lián)系而 得到靜定的基本結(jié)構(gòu)，以多余未知力作為基本未 知量，根據(jù)基本結(jié)構(gòu)應(yīng)與原結(jié)

6、構(gòu)變形相同而建立 的位移條件，首先求出多余未知力，然后再由平 衡條件計(jì)算其余反力、內(nèi)力的方法，稱為力法。,力法整個(gè)計(jì)算過程自始至終都是在基本結(jié)構(gòu) 上進(jìn)行的，這就把超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算問題，轉(zhuǎn)化 為已經(jīng)熟悉的靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移的計(jì)算問題。,返 回,12,14 力法的典型方程,1. 三次超靜定問題的力法方程,用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵，是根據(jù)位移條件建立力法方 程以求解多余未知力，下面首先以三次超靜定結(jié)構(gòu)為例進(jìn)行推導(dǎo)。,A,B,P,首先選取基本結(jié)構(gòu)（見圖b）,X1,X2,A,B,P,X3,基本結(jié)構(gòu)的位移條件為：,1=0 2=0 3=0,設(shè)當(dāng),和荷載 P 分別作用在結(jié)構(gòu)上時(shí)，,A點(diǎn)的位移,沿X1方向：

7、,沿X2方向：,沿X3方向：,據(jù)疊加原理，上述位移條件可寫成,原結(jié)構(gòu),基本結(jié)構(gòu),1=,（82）,（a）,（b）,11,21、22、23和2P ；,31、32、33和3P 。,2=21X1+22X2+23X3+2P=0 3=31X1+32X2+33X3+3P=0,11X1,+12X2,+13X3,+1P,=0,、12,、13,和1P ；,返 回,13,2. n次超靜定問題的力法典型(正則)方程,對于n次超靜定結(jié)構(gòu),有n個(gè)多余未知力，相應(yīng)也有 n個(gè)位移條件，可寫出n個(gè)方程,11X1+ 12X2+ + 1iXi+ + 1nXn+1P=0,（83）,這便是n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法典型(正則)方程。式中 X

8、i為多余未知力， i i為主系數(shù)，i j(ij)為副系數(shù), iP 為常數(shù)項(xiàng)（又稱自由項(xiàng)）。,11X1+12X2+13X3+1P=0,（82）,21X1+22X2+23X3+2P=0 31X1+32X2+33X3+3P=0,i 1X1+ i 2X2+ + i iXi+ + i nXn+iP=0,n1X1+ n2X2+ + niXi+ + nnXn+nP=0,返 回,14,3. 力法方程及系數(shù)的物理意義,（1）力法方程的物理意義為：,（2）系數(shù)及其物理意義： 下標(biāo)相同的系數(shù) i i 稱為主系數(shù)(主位移)，它是單位 多余未知力,單獨(dú)作用時(shí)所引起的沿其自身方向上 的位移，其值恒為正。,系數(shù) i j(i

9、j)稱為副系數(shù)(副位移)，它是單位多余未知力,單獨(dú)作用時(shí)所引起的沿 Xi方向上的位移， 其值可能為正、為負(fù)或?yàn)榱?。?jù)位移互等定理，有,i j= j i,i P稱為常數(shù)項(xiàng)(自由項(xiàng))它是荷載單獨(dú)作用時(shí)所引起 的沿Xi方向的位移。其值可能為正、為負(fù)或?yàn)榱恪?上述方程的組成具有規(guī)律性，故稱為力法典型方程。,基本結(jié)構(gòu)在全部多余 未知力和荷載共同作用下，基本結(jié)構(gòu)沿多余未知力方向 上的位移，應(yīng)與原結(jié)構(gòu)相應(yīng)的位移相等。,返 回,15,4. 力法典型(正則)方程系數(shù)和自由項(xiàng)的計(jì)算,典型方程中的各項(xiàng)系數(shù)和自由項(xiàng)，均是基本結(jié)構(gòu)在 已知力作用下的位移，可以用第七章的方法計(jì)算。對于 平面結(jié)構(gòu)，這些位移的計(jì)算公式為,對不

10、同結(jié)構(gòu)選取不同項(xiàng)計(jì)算。系數(shù)和自由項(xiàng)求得后， 代入典型方程即可解出各多余未知力。,返 回,16,15 力法的計(jì)算步驟和示例,1. 示例,P,A,B,C,I1,I2=2I1,a,n=2(二次超靜定),原,選擇基本結(jié)構(gòu)如圖示,P,A,C,B,基,X1,X2,力法典型方程為：,11X1,計(jì)算系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，為 此作,a,a,a,計(jì)算結(jié)果如下,(a),a,21X1 + 22X2+2P=0,+ 12X2,+1P=0,2EI1,1,2,a2,3,2a,=,6EI1,a3,2EI1,1,2,a2,a,=,4EI1,a3,返 回,17,a,a,a,P,將以上各系數(shù)代入方程(a) 并消去(a3/EI1)得,解聯(lián)立方

11、程得,多余未知力求得后其余反力、內(nèi)力的計(jì)算便是靜定問題。,例如,最后內(nèi)力圖的繪制用疊加法,15/88Pa,M圖,13/88Pa,P,A,B,C,3/88Pa,a,MAC=,a,.,11,4P,+,a(,88,3P,),2,Pa,返 回,18,2 .力法的計(jì)算步驟,（1）確定原結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。 （2）選擇靜定的基本結(jié)構(gòu)(去掉多余聯(lián)系， 以多余未知力代替)。 （3）寫出力法典型方程。 （4）作基本結(jié)構(gòu)的各單位內(nèi)力圖和荷載內(nèi)力 圖，據(jù)此計(jì)算典型方程中的系數(shù)和自由項(xiàng)。 （5）解算典型方程，求出各多余未知力。 （6）按疊加法作內(nèi)力圖。,返 回,19,例 11 用力法分析兩端固定的梁，繪彎矩圖。EI=常

12、數(shù)。,A,B,L,a,b,P,解：,n=3,選取簡支梁為基本結(jié)構(gòu),P,X1,X2,X3,基本結(jié)構(gòu),典型方程為,11X1+ 12X2+ 13X3+1P=0 21X1+ 22X2+ 23X3+2P=0 31X1+ 32X2+ 33X3+3P=0,1,1,MP圖,P,3=0,故,13= 31= 23= 32= 3P=0,則典型方程第三式為,33X3=0,330(因X3的解唯一),故,作基本結(jié)構(gòu)各,和MP圖,由于,X3=0,M圖,11X1+ 12X2+1P=0 21X1+ 22X2+2P=0,由圖乘法求得,代入典型方程(消去公因子)得,解得,代入典型方程解得,作彎矩圖。,按式,返 回,20,例 12

13、用力法計(jì)算圖示桁架內(nèi)力，設(shè)各桿EA相同。,解：,n=1(一次超靜定)。,0,1,2,3,4,P,P,2a,2a,a,選擇基本結(jié)構(gòu)如圖示。,0,1,2,3,4,P,P,X1,基本結(jié)構(gòu),寫出力法典型方程,11X1+1P=0,按下列公式計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng),為此，求出基本結(jié)構(gòu)的,和NP值,0,1,2,3,4,X1=1,-1/2,對稱,0,1,2,3,4,P,P,NP,+P/2,對稱,0,列表計(jì)算(見書141頁)后得,EA11=(3+,) a,EA1P=Pa,返 回,21,0,1,2,3,4,X1=1,-1/2,對稱,0,1,2,3,4,P,P,NP,+P/2,對稱,0,0,1,2,3,4,P,P,N,對

14、稱,代入典型方程，解得,各桿內(nèi)力按式,疊加求得。,0.586P,0.828P,+0.414P,+0.172P,例如,N03=0.7070.172P -0.707 =0.586P,=0.172P,返 回,22,16 對稱性的利用,用力法分析超靜定結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)愈高， 計(jì)算工作量就愈大，主要工作量是組成(計(jì)算系數(shù)、常數(shù) 項(xiàng))和解算典型方程。利用結(jié)構(gòu)的對稱性可使計(jì)算得到簡 化。簡化的原則是使盡可能多的副系數(shù)、自由項(xiàng)等于零。,結(jié)構(gòu)的對稱性：,例如：,EI1,EI1,EI2,a,a,對稱,EI1,EI1,對稱,指結(jié)構(gòu)的幾何形狀、約束、剛度和 荷載具有對稱性(正對稱或反對稱)。正對稱簡稱對稱。,返

15、 回,23,1. 選取對稱的基本結(jié)構(gòu),EI1,EI1,EI2,對稱軸,基本結(jié)構(gòu),X1,X2,X3,多余未知力X1、X2是 正對稱，X3是反對稱的。,基本結(jié)構(gòu)的各單位彎 矩圖(見圖)。,、,是正對稱，,是反對稱。,則,13= 31= 23= 32=0,于是， 力法典型方程簡 化為,11X1+12X2+1P=0 21X1+22X2+2P=0 33X3+3P=0,下面就對稱結(jié)構(gòu)作進(jìn)一步討論。,返 回,24,（1）對稱結(jié)構(gòu)作用對 稱荷載,a,a,P,P,P,P,MP圖,MP圖是正對稱的，故3P=0。,11X1+12X2+1P=0 21X1+22X2+2P=0 33X3+3P=0,則 X3=0 。,這表

16、明：對稱的超靜定結(jié)構(gòu)，在對稱的荷載作用下， 只有對稱的多余未知力，反對稱的多余未知力必為零。,a,a,P,P,P,P,MP圖,（2）對稱結(jié)構(gòu)作用反 對稱荷載,MP圖是反對稱的，故,1P= 2P=0,則得 X1=X2=0,這表明：對稱的超靜定結(jié)構(gòu)，在反對稱的荷載作用下， 只有反對稱的多余未知力，對稱的多余未知力必為零。,返 回,25,例 14 分析圖示剛架。,10kN,10kN,6m,6m,6m,解：,這是一個(gè)對稱結(jié)構(gòu)，為四次超靜定。,選取對稱的基本結(jié)構(gòu) 如圖示，,X1,只有反對稱多余未知力X1,基,為計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)分別作,和MP圖(見圖)。,EI=常數(shù),3,3,圖,(m),10kN,MP圖

17、(kNm),60,60,120,由圖乘法可得,EI11=(1/2332) 4 +（363）2 =144,EI1P=(3630+1/23 380) 2=1800,代入力法方程 11X1+1P=0,X1=,彎矩圖由,作出。,解得,返 回,26,這樣，求解兩個(gè)多余未知 力的問題就轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庑?的兩對多余未知力的問題。,當(dāng)選基本結(jié)構(gòu)為時(shí)，,2. 未知力分組及荷載分組,（1）未知力分組,A,B,P,X1,X2,P,為使副系數(shù)等于零，可采 取未知力分組的方法。,P,Y1,Y1,Y2,Y2,有,X1=Y1+Y2 ，,X2=Y1Y2,作,、M2圖。,圖,M2圖,正對稱,反對稱,故,12= 21=0,典型方程化

18、簡為,11Y1+1P=0 22Y2+2P=0,返 回,27,（2）荷載分組,當(dāng)對稱結(jié)構(gòu)承受一般非對稱荷載時(shí)，可以將荷 載分解為正、反對稱的兩組，分別求解然后疊加。,若取對稱的基本 結(jié)構(gòu)計(jì)算，在正對稱 荷載作用下將只有對 稱的多余未知力。,若取對稱的基本結(jié)構(gòu)計(jì)算，在反對稱荷載作用下將 只有反對稱的多余未知力。,P,P,2,P,2,P,2,P,2,X1,X1,X2,X2,2,P,2,P,2,P,2,P,返 回,28,3.取一半結(jié)構(gòu)計(jì)算,當(dāng)結(jié)構(gòu)承受正對稱或反對稱荷載時(shí)，也可以只截取結(jié) 構(gòu)的一半進(jìn)行計(jì)算，又稱為半剛架法。下面分別就奇數(shù)跨 和偶數(shù)跨兩種對稱剛架進(jìn)行討論。,（1）奇數(shù)跨對稱剛架,p,p,對

19、稱,p,二次超靜定,對稱荷載,反對稱荷載,p,p,反對稱,p,。,一次超靜定,返 回,29,（2）偶數(shù)跨對稱剛架,對稱荷載,p,p,對稱,p,三次超靜定,反對稱荷載,p,p,I,p,I/2,三次超靜定,p,p,I/2,I/2,p,p,I/2,I/2,C,QC,QC,返 回,30,17 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算,上一章所述位移計(jì)算的原理和公式，對超靜定結(jié)構(gòu)也是適用的，下面以85的例題予以說明。,求CB桿中點(diǎn)K的豎向位移KY,K,P=1,P,A,B,C,I1,I2=2I1,a,原,虛擬狀態(tài)如圖,為了作,8/44a,3/44a,需解 算一個(gè)二次超靜定問題，較為麻煩。,K,圖中所示的M圖 就是實(shí)際狀態(tài)。,

20、基本結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移與原結(jié)構(gòu)完全 相同，則可以在基本結(jié)構(gòu)上作,。,K,P=1,a/4,圖乘得,6/44a,(),返 回,31,結(jié) 論,綜上所述，計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)位移的步驟是：,（1）解算超靜定結(jié)構(gòu)，求出最后內(nèi)力， 此為實(shí)際狀態(tài)。 （2）任選一種基本結(jié)構(gòu)，加上單位力求 出虛擬狀態(tài)的內(nèi)力。 （3）按位移計(jì)算公式或圖乘法計(jì)算所求 位移。,返 回,32,18 最后內(nèi)力圖的校核,用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)，因步驟多易出錯(cuò)，應(yīng)注意 檢查。尤其是最后的內(nèi)力圖，是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的依據(jù)，應(yīng)加 以校核。校核應(yīng)從兩個(gè)方面進(jìn)行。,1.平衡條件校核,取結(jié)構(gòu)的整體或任何部分為隔離體，其受力應(yīng)滿足 平衡條件。,（1）彎矩圖：通常檢查剛結(jié)

21、點(diǎn)處是否滿足M=0的 平衡條件。例如,取結(jié)點(diǎn)E為隔離體,E,MED,MEB,MEF,應(yīng)有 ME=MED+MEB+MEF=0,M圖,返 回,33,（2）剪力圖和軸力圖,可取結(jié)點(diǎn)、桿件或結(jié)構(gòu)的某一部分為隔離體，檢查 是否滿足 X=0和 Y=0的平衡條件。,2.位移條件校核,檢查各多余聯(lián)系處的位移是否與已知的實(shí)際位移相 符。對于剛架，可取基本結(jié)構(gòu)的單位彎矩圖與原結(jié)構(gòu)的 最后彎矩圖相乘，看所得位移是否與原結(jié)構(gòu)的已知位移 相符。例如,P,A,B,C,I1,I2=2I1,a,原,檢查A支座的水 平位移 1是否 為零。,將M圖與,相乘得,=0,返 回,34,19 溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算,對于超靜定結(jié)構(gòu)，

22、溫度變化時(shí)不但產(chǎn)生變形和位移， 同時(shí)產(chǎn)生內(nèi)力。,用力法分析 超靜定 結(jié)構(gòu)在溫度變化時(shí)產(chǎn)生的內(nèi)力， 其原理與荷載作用下的計(jì)算相同。例如圖示剛架溫度發(fā) 生變化，選取基本結(jié)構(gòu)（見圖），,t1,t1,t2,t3,t1,t1,t2,t3,X1,X2,X3,典型方程為,11X1+12X2+13X3+1t=0 21X1+22X2+23X3+2t=0 31X1+32X2+33X3+3t=0,其中系數(shù)的計(jì)算同前， 自由項(xiàng)1t、 2t、 3t 分別為基本結(jié)構(gòu)由于溫 度變化引起的沿X1、X2 X3方向的位移。即,返 回,35,例16 剛架外側(cè)溫度升高25，內(nèi)側(cè)溫度升高35， 繪彎矩圖并求橫梁中點(diǎn)的豎向位移。剛架EI

23、=常數(shù)，截面 對稱于形心軸，其高度h=L/10,材料的膨脹系數(shù)為。,L,L,+ 25,+35,解：,n=1,選取基本結(jié)構(gòu),X1,基,+ 25,+35,典型方程為:,11X1+1t=0,計(jì)算,并繪制,圖,1,圖,L,L,0,0,-1,求得系數(shù)和自由項(xiàng)為,=,故得,=230L,返 回,36,按,M圖,作彎矩圖,求橫梁中點(diǎn)K的位移K， 作基本結(jié)構(gòu)虛擬狀態(tài)的,圖 并求出,，然后計(jì)算位移,K,1,0,圖,L/4,138EI/L,1/2,1/2,返 回,37,110 支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算,超靜定結(jié)構(gòu)當(dāng)支座移動(dòng)時(shí)，位移的同時(shí)將產(chǎn) 生內(nèi)力。,對于靜定結(jié)構(gòu)，支座移動(dòng)時(shí)將使其產(chǎn)生位移， 但并不產(chǎn)生內(nèi)力。例如

24、,A,B,C,A,B,C,返 回,38,用力法分析超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)時(shí)的內(nèi)力，其原 理同前，唯一的區(qū)別僅在于典型方程中的自由項(xiàng)不同。,例如圖示剛架，,A,B,h,L,a,b,可建立典型方程如下：,11X1+12X2+13X3+1=0 21X1+22X2+23X3+2= 31X1+32X2+33X3+3=a,A,B,X1,X2,X3,基,式中系數(shù)的計(jì)算同前，自由項(xiàng)按式(715)計(jì)算。,（715),最后內(nèi)力按下式計(jì)算,在求位移時(shí)，應(yīng)加上支座移動(dòng)的影響：,返 回,39,例：17 兩端固定的等截面梁A端發(fā)生了轉(zhuǎn)角，分析其內(nèi)力。,A,B,L,解： n=3,選取基本結(jié)構(gòu)如圖，,X1,X2,X3,基本結(jié)構(gòu)

25、,因X3=0,則典型方程為,11X1+12X2+1= 21X1+22X2+2=0,繪出,圖，,1,1,圖乘得,，,，,由題意知：1t= 2t=0,將上 述結(jié)果代入方程后解得,按式,作彎矩圖。,A,B,M圖,返 回,40,111 超靜定結(jié)構(gòu)的特性,超靜定結(jié)構(gòu)與靜定結(jié)構(gòu)對比，具有以下一些重要特性：,1.由于存在多余聯(lián)系，當(dāng)結(jié)構(gòu)受到荷載外其他因素 影響，如溫度變化、支座移動(dòng)時(shí)結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生內(nèi)力。,2.超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力僅由平衡條件不能全部確定， 必須考慮變形條件，因此內(nèi)力與桿件的剛度有關(guān)。,3.超靜定結(jié)構(gòu)的多余聯(lián)系被破壞后，仍能維持幾何 不變，故有較強(qiáng)的防御能力。,4.超靜定結(jié)構(gòu)由于存在多余聯(lián)系，一般地說

26、要比相 應(yīng)的靜定結(jié)構(gòu)剛度大些，內(nèi)力分布也均勻些。,返 回,41,第二節(jié) 位 移 法,21 概述,22 等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程,23 位移法的基本未知量和基本結(jié)構(gòu),24 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,25 直接由平衡條件建立位移法基本方程,26 對稱性的利用,42,21 概 述,力法和位移法是分析超靜定結(jié)構(gòu)的兩 種基本方法。力法于十九世紀(jì)末開始應(yīng)用， 位移法建立于上世紀(jì)初。,力法,位移法,以某些結(jié)點(diǎn)位移為基本未 知量，由平衡條件建立位移法方程，求出 位移后再計(jì)算內(nèi)力。,以多余未知力為基本未知量， 由位移條件建立力法方程，求出內(nèi)力后再 計(jì)算位移。,返 回,43,位移法的基本概念,以圖示剛架為例予以

27、說明,1,2,3,EI=常數(shù),P,剛架在荷載P作用下將發(fā)生如虛 線所示的變形。,Z1,Z1,在剛結(jié)點(diǎn)1處發(fā)生轉(zhuǎn),角Z1，結(jié)點(diǎn)沒有線位移。則12桿可 以視為一根兩端固定的梁（見圖）。,1,P,Z1,2,其受荷載P作用和支座1發(fā)生轉(zhuǎn)角Z1 這兩種情況下的內(nèi)力均可以由力法 求。同理， 13桿可以視為一根一端 固定另一端鉸支的梁（見圖）。,1,3,Z1,而 在固定端1處發(fā)生了轉(zhuǎn)角Z1，其內(nèi) 力同樣由力法求出。,可見，在計(jì)算剛架時(shí)，如果以 Z1為基本未知量，設(shè)法首先求出Z1， 則各桿的內(nèi)力即可求出。這就是位移法的基本思路。,Z1,返 回,44,由以上討論可知，在位移法中須解 決以下問題：,（1）用力法算

28、出單跨超靜定梁在桿 端發(fā)生各種位移時(shí)以及荷載等因素作 用下的內(nèi)力。,（2）確定以結(jié)構(gòu)上的哪些位移作為 基本未知量。,（3）如何求出這些位移。,下面依次討論這些問題。,返 回,45,22 等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程,本節(jié)解決第一個(gè)問題。,用位移法計(jì)算超靜定剛架時(shí)，每根桿件均視為單跨超靜定梁。 計(jì)算時(shí)，要用到各種單跨超靜定梁在桿端產(chǎn)生位移(線位移、角位 移)時(shí),以及在荷載等因素作用下的桿端內(nèi)力(彎矩、剪力)。為了應(yīng) 用方便，首先推導(dǎo)桿端彎矩公式。,如圖所示，兩端固定的等截 面梁，,A,B,L,EI,P,t1,t2,A,B,A,B,AB,AB,除受荷載及溫度變化外，兩支座還發(fā)生位移：轉(zhuǎn)角 A、 B及側(cè)

29、移AB 。,轉(zhuǎn)角A、 B順時(shí)針為正， AB則以整個(gè)桿件順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正。,在位移法中，為了計(jì)算方便，彎矩的符號規(guī)定如下：彎矩是以對桿端順時(shí)針為正(對結(jié)點(diǎn)或?qū)χё阅鏁r(shí)針為正)。,圖中所示均為正值。,MAB,A,MBA,B,返 回,46,A,B,L,EI,P,t1,t2,A,B,A,B,AB,AB,用力法解此問題，選取基本結(jié)構(gòu)如圖。,P,t1,t2,X1,X2,X3,多余未知力為X1、X2。,力法典型方程為,11X1+12X2+ 1P+ 1t+ 1=A 21X1+22X2+ 2P+ 2t +2=B,為計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)，作,、,、MP圖。,圖,1,圖,1,MP圖,XA,XB,由圖乘法算出：,，,

30、，,AB,AB,由圖知,這里，AB稱為弦轉(zhuǎn)角，順時(shí)針為 正。,1t、 2t 由第七章公式計(jì)算。,返 回,47,將以上系數(shù)和自由項(xiàng)代入典型方程，可解得,X1=,X2=,令,稱為桿件的線剛度。此外，用MAB代替X1，用,MBA代替X2，上式可寫成,MAB= 4iA+2i B,MBA= 4i B +2i A,(21）,式中,(22）,是此兩端固定的梁在荷載、溫度變化等外因作用下的桿端彎矩，稱為固端彎矩。,返 回,48,MAB= 4iA+2iB _,MBA= 4iB +2iA_,(21）,式(21）是兩端固定的等截面梁的桿端彎矩的一般公式，通常 稱為轉(zhuǎn)角位移方程。,對于一端固定另一端簡支的等截面梁(見

31、圖)，,其轉(zhuǎn)角位移方程 可由式(21）導(dǎo)出，設(shè)B端為鉸支，則因,A,B,EI,P,t1,t2,l,MBA= 4i B +2i A_,=0,可見，B可表示為A、AB的函數(shù)。將 此式代入式(21)第一式，得,MAB=3iA,(23）（轉(zhuǎn)角位移方程）,式中,（24）（固端彎矩）,桿端彎矩求出后，桿端剪力便不難由平衡條件求出。,有,返 回,49,23 位移法的基本未知量和基本結(jié)構(gòu),在位移法中，基本未知量是各結(jié)點(diǎn)的角位移和線位移。計(jì) 算時(shí)，應(yīng)首先確定獨(dú)立的角位移和線位移數(shù)目。,(1) 獨(dú)立角位移數(shù)目的確定,由于在同一結(jié)點(diǎn)處，各桿端的轉(zhuǎn)角都是相等的，因此每一個(gè) 剛結(jié)點(diǎn)只有一個(gè)獨(dú)立的角位移未知量。在固定支座

32、處，其轉(zhuǎn)角等 于零為已知量。至于鉸結(jié)點(diǎn)或鉸支座處各桿端的轉(zhuǎn)角，由上節(jié)可 知，它們不是獨(dú)立的，可不作為基本未知量。,1.位移法的基本未知量,這樣，結(jié)構(gòu)獨(dú)立角位移數(shù)目就等于結(jié)構(gòu)剛結(jié)點(diǎn)的數(shù)目。,例如圖示剛架,1,2,3,4,5,6,獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)角位移 數(shù)目為2。,返 回,50,(2)獨(dú)立線位移數(shù)目的確定,在一般情況下，每個(gè)結(jié)點(diǎn)均可能有水平和豎向兩個(gè)線位移。 但通常對受彎桿件略去其軸向變形，其彎曲變形也是微小的，于 是可以認(rèn)為受彎直桿的長度變形后保持不變，故每一受彎直桿就 相當(dāng)于一個(gè)約束，從而減少了結(jié)點(diǎn)的線位移數(shù)目，故結(jié)點(diǎn)只有一 個(gè)獨(dú)立線位移(側(cè)移)。例如(見圖a）,1,2,3,4,5,6,4、5、6

33、三個(gè)固定 端 都是不動(dòng)的點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)1、2、3均無豎向位移。又因兩根橫梁其長度不變，故三個(gè)結(jié)點(diǎn)均有相同的水平位移 。,P,(a),事實(shí)上，圖(a)所示結(jié)構(gòu)的獨(dú)立線位 移數(shù)目，與圖(b)所示鉸結(jié)體系的線 位移數(shù)目是相同的。因此，實(shí)用上 為了能簡捷地確定出結(jié)構(gòu)的獨(dú)立線 位移數(shù)目，可以,(b),將結(jié)構(gòu)的剛結(jié)點(diǎn)(包括固定支 座)都變成鉸結(jié)點(diǎn)(成為鉸結(jié)體系), 則使其成為幾何不變添加的最少 鏈桿數(shù)，即為原結(jié)構(gòu)的獨(dú)立線位 移數(shù)目(見圖b)。,返 回,51,2.位移法的基本結(jié)構(gòu),用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，每一根桿件都視為一根單跨超靜 定梁。因此，位移法的基本結(jié)構(gòu)就是把每一根桿件都暫時(shí)變?yōu)橐桓?單跨超靜定梁(或可

34、定桿件)。通常 的做法是，在每個(gè)剛結(jié)點(diǎn)上假想 地加上一個(gè)附加剛臂(僅阻止剛結(jié) 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)),同時(shí)在有線位移的結(jié)點(diǎn)上 加上附加支座鏈桿(阻止結(jié)點(diǎn)移動(dòng))。,1,2,3,4,5,6,例如 ( 見圖a),(a),又例如(見圖b),(b),2,3,4,5,6,7,共有四個(gè)剛結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)線位移 數(shù)目為二，基本未知量為六個(gè)。 基本結(jié)構(gòu)如圖所示。,1,基本未知量三個(gè)。,返 回,52,24 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,以圖(a)所示剛架為例，闡述在位移法中如何建立求解基本未知 量的方程及具體計(jì)算步驟。,P,L,1,2,3,4,EI=常數(shù),基本未知量為:Z1、Z2 。,Z1,Z2,基本結(jié)構(gòu)如圖(b)所示。,(a),(b

35、)基本結(jié)構(gòu),1,2,3,4,=,Z1,Z2,R1,=0,=0,P,R1附加剛臂上的反力矩,R2附加鏈桿上的反力,據(jù)疊加原理,=,Z1,R21,1,2,3,4,1,3,4,P,R2P,1,2,2,3,4,則有,R1=R11+R12+R1P=0 R2=R21+R22+R2P=0,R22,R2,R12,R11,R1P,Z2,返 回,53,R1=R11+R12+R1P=0 R2=R21+R22+R2P=0,式中第一個(gè)下標(biāo)表示該反力的位置， 第二個(gè)下標(biāo)表示引起該反力的原因。,設(shè)以 r11、r12分別表示由單位位移,所引起的剛臂上的反,力矩， 以 r21、r22分別表示由單位位移,所引起的鏈桿,上的反力，

36、則上式可寫成,r11Z1+ r12Z2+R1P=0 r21Z1+ r22Z2+R2P=0,(25),這就是求解Z1、Z2的方程，即 位移法基本方程(典型方程)。 它的物理意義是：基本結(jié)構(gòu)在荷載等外因和結(jié)點(diǎn)位移的共同作用 下，每一個(gè)附加聯(lián)系中的附加反力矩或反力都應(yīng)等于零(靜力平衡條 件)。,對于具有 n 個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移的剛架，同樣可以建立 n 個(gè)方程：,r11Z1+ + r1iZi+ + r1nZn+R1P=0 ri 1Z1+ + ri iZi+ + ri nZn+Ri P=0 rn1Z1+ + rniZi+ + rnnZn+RnP=0,(26）,返 回,54,r11Z1+ + r1iZi+ +

37、 r1nZn+R1P=0 ri 1Z1+ + ri iZi+ + ri nZn+Ri P=0 rn1Z1+ + rniZi+ + rnnZn+RnP=0,(26）,在上述典型方程中，rii 稱為主系數(shù)，rij(ij) 稱為副系 數(shù)。RiP稱為自由項(xiàng)。主系數(shù)恒為正，副系數(shù)和自由項(xiàng)可 能為正、負(fù)或零。據(jù)反力互等定理副系數(shù) rij=rji (ij)。,由于在位移法典型方程中，每個(gè)系數(shù)都是單位位移 所引起的附加聯(lián)系的反力(或反力矩)，顯然，結(jié)構(gòu)剛度愈 大，這些反力(或反力矩)愈大，故這些系數(shù)又稱為結(jié)構(gòu)的 剛度系數(shù)。因此位移法典型方程又稱為結(jié)構(gòu)的剛度方程， 位移法也稱為剛度法。,返 回,55,以及載荷作

38、用下的彎矩圖,為了計(jì)算典型方程中的系數(shù)和自由項(xiàng)，可借助于表91，繪 出基本結(jié)構(gòu)在,和MP圖：,1,3,4,2,1,3,4,2,1,3,4,2,4i,2i,3i,P,MP圖,系數(shù)和自由項(xiàng)可分為兩類：附加剛臂上的反力矩 r11、r12、和 R 1P；,是附加鏈桿上的反力 r21、r22和R2P。,r21,r22,R2P,(a),(b),(c),可分別在圖(a)、(b)、(c),中取結(jié)點(diǎn)1為隔離體，,1,1,1,r11,3i,4i,r12,0,R1P,0,由力矩平衡方程M1=0求得：r11=7i ,R1P=,。,r11=7i ,R1P=,，,對于附加鏈桿上的反力，可分別在圖(a)、(b)、(c）中用

39、截面法割斷 兩柱頂端，取柱頂端以上橫梁部分為隔離體，由表91查出桿端 剪力，,1,2,1,2,1,2,0,0,由方程X=0求得,r21=,R2P=P/2,r21,r22,R2P,R 1P,r12,r11,返 回,56,將系數(shù)和自由項(xiàng)代入典型方程(95)有,解此方程得,所得均為正值，說明Z 1、Z2與所設(shè) 方向相同。,最后彎矩圖由疊加法繪制：,例如桿端彎矩M31為,M圖,1,2,3,4,P,M圖繪出后，Q 、N圖即可由平衡條件繪出(略）。,返 回,57,最后對內(nèi)力圖進(jìn)行校核，包括平衡條件和位移條件的校核。其 方法與力法中所述一樣，這里從略。,結(jié) 論,由上所述，位移法的計(jì)算步驟歸納如下：,(1)

40、確定結(jié)構(gòu)的基本未知量的數(shù)目(獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)角位移和線位移)， 并引入附加聯(lián)系而得到基本結(jié)構(gòu)。 (2) 令各附加聯(lián)系發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的結(jié)點(diǎn)位移，根據(jù)基本結(jié) 構(gòu)在荷載等外因和各結(jié)點(diǎn)位移共同作用下，各附加聯(lián)系上的反力矩 或反力均應(yīng)等于零的條件，建立位移法的基本方程。 (3) 繪出基本結(jié)構(gòu)在各單位結(jié)點(diǎn)位移作用下的彎矩圖和荷載作 用下(或支座位移、溫度變化等其它外因作用下)的彎矩圖，由平衡 條件求出各系數(shù)和自由項(xiàng)。 (4) 結(jié)算典型方程，求出作為基本未知量的各結(jié)點(diǎn)位移。 (5) 按疊加法繪制最后彎矩圖。,返 回,58,例 21 圖示剛架的支座A產(chǎn)生了水平位移a、豎向位移b=4a 及轉(zhuǎn)角=a/L，試?yán)L其彎矩圖

41、。,A,B,C,EI,2EI,L,L,A,a,解：,基本未知量 Z 1(結(jié)點(diǎn)C轉(zhuǎn)角)；,Z 1,基本結(jié)構(gòu)如圖示；,A,B,C,Z 1,基本結(jié)構(gòu),建立位移法典型方程：,r11Z1+R1=0,為計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)，作,和M圖(設(shè)EI/L=i),A,B,C,Z 1=1,b,8i,4i,3i,A,B,C,M圖,基本結(jié)構(gòu)由于支座位移產(chǎn) 生的固端彎矩(由表91)查得,20i,16i,12i,8i,3i,由,求得,r11=8i+3i=11i,由M圖求得,12i,16i,R1=16i+12i=28i,R1,r11,R1,返 回,59,將上述系數(shù)和自由項(xiàng)代入典型方程，,便有,11iZ1+28i=0,解得,Z1=,

42、剛架的最后彎矩圖為,A,B,C,A,B,C,Z 1=1,8i,4i,3i,A,B,C,M圖,20i,16i,12i,例如：,MAC= 4i,+20i,=,M圖,R1,返 回,60, 25 直接由平衡條件建立位移法基本方程,用位移法計(jì)算超靜定剛架時(shí)，需加入附加剛臂和鏈桿以取得 基本結(jié)構(gòu)，由附加剛臂和鏈桿上的總反力矩(或反力)等于零的條件， 建立位移法的基本方程。,我們也可以不通過基本結(jié)構(gòu)，直 接由平衡條件建立位移法基本方程。,舉例說明如下,1,2,3,4,P,L,i,i,i,取結(jié)點(diǎn)1，由M1=0及截取兩柱頂端 以上橫梁部分，由X=0 (見圖)得,M12,M13,1,1,2,Q24,Q13,M1=

43、M13+M12=0 (a) X=Q13+Q24=0 (b),由轉(zhuǎn)角位移方程及表101得,將以上四式代入式(a)、(b)得,這與94節(jié)所建立的典型方程完全一樣，可見，兩種方法本質(zhì) 相同，只是處理方法上不同。,返 回,61,26 對稱性的利用,在第八章用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，曾得到一個(gè)重要結(jié)論：對 稱結(jié)構(gòu)在正對稱荷載作用下，其內(nèi)力和位移都是正對稱的；在反對 稱荷載作用下，其內(nèi)力和位移都是反對稱的。在位移法中，同樣可 以利用這一結(jié)論簡化計(jì)算。,例如：,P,P/2,P/2,Z1,Z1,P/2,P/2,Z2,Z2,+,Z3,Z1,P/2,P/2,Z2,Z3,返 回,62,第三節(jié) 力矩分配法,31 引 言

44、,32 力矩分配法的基本原理,33 用力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁,63,31 引 言,計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)，不論采用力法或位移法，均要組成 和解算典型方程，當(dāng)未知量較多時(shí)，其工作量非常大。為 了尋求較簡捷的計(jì)算方法，自本世紀(jì)三十年代以來，又陸 續(xù)出現(xiàn)了各種漸進(jìn)法，力矩分配法就是其一。 漸進(jìn)法的共同特點(diǎn)是，避免了組成和解算典型方程， 而以逐次漸進(jìn)的方法來計(jì)算桿端彎矩，其結(jié)果的精度隨計(jì) 算輪次的增加而提高，最后收斂于精確解。,這些方法的概念生動(dòng)形象，每輪計(jì)算的程序均相同， 易于掌握，適合手算，并可不經(jīng)過計(jì)算結(jié)點(diǎn)位移而直接求 得桿端彎矩。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中被廣泛采用。,返 回,64,32 力矩分配法的基本原理,力矩分

45、配法為克羅斯(H.Cross)于1930年提出，這一方法對連 續(xù)梁和無結(jié)點(diǎn)線位移剛架的計(jì)算尤為方便。,1.勁度系數(shù)、傳遞系數(shù),勁度系數(shù)(轉(zhuǎn)動(dòng)剛度)Sij 定義如下：當(dāng)桿件AB的A端轉(zhuǎn) 動(dòng)單位角時(shí)，A端(又稱近端)的彎矩 MAB稱為該桿端的勁度系數(shù)，用SAB 表示。它標(biāo)志著該桿端抵抗轉(zhuǎn)動(dòng)能 力的大小，故又稱為轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。 則勁度系數(shù)與桿件的遠(yuǎn)端支承 情況有關(guān)，由轉(zhuǎn)角位移方程知 遠(yuǎn)端固定時(shí)：,A,B,EI,L,1,MAB =4i,MBA,A,B,EI,1,MAB =3i,SAB=MAB=4i,遠(yuǎn)端鉸支時(shí)：,SAB=MAB=3i,SAB=3i,A,B,1,遠(yuǎn)端滑動(dòng)支撐時(shí)：,EI,MAB =i,MBA,

46、SAB=MAB=i,SAB=i,遠(yuǎn)端自由時(shí)：,A,B,1,MAB =o,EI,SAB=MAB=0,SAB=0,SAB=4i,返 回,65,(2) 傳遞系數(shù)Cij,A,B,EI,L,1,MAB =4i,A,B,EI,1,MAB =3i,SAB=MAB=4i,SAB=MAB=3i,A,B,1,EI,MAB =i,MBA =-i,SAB=MAB=i,A,B,1,MAB,EI,SAB=MAB=0,當(dāng)近端A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，另一端B(遠(yuǎn)端) 也產(chǎn)生一定的彎矩，這好比是近端 的彎矩按一定比例傳到遠(yuǎn)端一樣， 故將B端彎矩與A端彎矩之比稱為由 A端向B端的傳遞系數(shù)，用CAB表示。 即,或 MBA=CABMAB,遠(yuǎn)端固定

47、時(shí)：,CAB=0.5,遠(yuǎn)端鉸支時(shí)：,CAB=0,遠(yuǎn)端滑動(dòng)支撐：,CAB=1,由表右圖或表(101)可得,MBA =2i,返 回,66,2. 力矩分配法的基本原理,現(xiàn)以下圖所示剛架為例說明力矩分配法的基本原理。,1,2,3,4,q,P,(a),1,2,3,4,(b),MP圖,圖(a)所示剛架用位移法計(jì)算時(shí)，只有一個(gè)未知量即結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角 Z1，其典型方程為,r11Z1+R1P=0,繪出MP圖（圖b),可求得自由項(xiàng)為,R1P=,R1P是結(jié)點(diǎn)固定時(shí)附加剛臂上的反力矩，可稱為剛臂反力矩，它等 于結(jié)點(diǎn)1的桿端固端彎矩的代數(shù)和,，即各固端彎矩所不平衡的,差值，稱為結(jié)點(diǎn)上的不平衡力矩。,R1P,1,R1P,返 回

48、,67,r11=,式中S1j代表匯交于結(jié)點(diǎn)1的各 桿端勁度系數(shù)的總和。,1,2,3,4,(c),圖,2i12,4i12,3i13,i14,繪出結(jié)構(gòu)的,圖（見圖c)，,計(jì)算系數(shù)為：,解典型方程得,Z1=,然后可按疊加法 M=,計(jì)算各桿端的最后彎,彎矩。,4i12+3i13+i14,= S12+S13+S14,= S1j,返 回,68,M12=,M13=,M14=,以上各式右邊第一項(xiàng)為荷載產(chǎn)生的彎矩，即固端彎矩。 第二項(xiàng)為結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)Z1角所產(chǎn)生的彎矩，這相當(dāng)于把不 平衡力矩反號后按勁度系數(shù)大小的比例分配給近端， 因此稱為分配彎矩，12 、13 、 14等稱為分配系數(shù)， 其計(jì)算公式為,1j=,(31)

49、,結(jié)點(diǎn)1的各近端彎矩為：,返 回,69,1j =,(31),顯然，同 一結(jié)點(diǎn)各桿 端的分配系數(shù)之和應(yīng)等于1，即 1j =1 。,各遠(yuǎn)端彎矩如下,M21=,M31=,M41=,各式右邊的第一項(xiàng)仍是固端彎矩。第二項(xiàng)是由結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)Z1 角所產(chǎn)生的彎矩，它好比是將各近端的分配彎矩以傳遞系 數(shù)的比例傳到各遠(yuǎn)端一樣，故稱為傳遞彎矩。,返 回,70,得出上述規(guī)律后，便可不必繪 MP 、,圖，也不必列出典 和求解,型方程，而直接按以上結(jié)論計(jì)算各桿端 彎矩。 ，其過程分為兩步：,(1)固定結(jié)點(diǎn),即加入剛臂。此時(shí)各桿端有固端彎矩，而結(jié)點(diǎn)上有 不平衡力矩，它暫時(shí)由剛臂承擔(dān)。,(2)放松結(jié)點(diǎn),即取消剛臂，讓結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。這相當(dāng)于在結(jié)點(diǎn)上又加 入一個(gè)反號的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而結(jié) 點(diǎn)獲得平衡。此反號的不平衡力矩將按勁度系數(shù)大小的 比例分配給各近端，于是各