一、可對角化的概念.ppt

1、7.5 對角矩陣,一、可對角化的概念,二、可對角化的條件,7.5 對角矩陣,三、對角化的一般方法,第七章 線性變換,7.5 對角矩陣,定義1：設(shè) 是 維線性空間V的一個(gè)線性變換，,如果存在V的一個(gè)基，使 在這組基下的矩陣為對,角矩陣，則稱線性變換可對角化.,矩陣，則稱矩陣A可對角化.,定義2：矩陣A是數(shù)域 上的一個(gè) 級方陣. 如果,存在一個(gè) 上的 級可逆矩陣 ，使 為對角,一、可對角化的概念,7.5 對角矩陣,1. (定理7)設(shè) 為 維線性空間V的一個(gè)線性變換，,則 可對角化 有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,證：設(shè) 在基 下的矩陣為對角矩陣,則有,二、可對角化的條件,就是 的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量

2、.,7.5 對角矩陣,反之，若 有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量,那么就取 為基，則在這組基下 的矩陣,是對角矩陣.,2. (定理8)設(shè) 為n維線性空間V的一個(gè)線性變換,如果 分別是 的屬于互不相同的特征值,的特征向量，則 線性無關(guān).,證：對k作數(shù)學(xué)歸納法.,當(dāng) 時(shí)， 線性無關(guān). 命題成立.,7.5 對角矩陣,假設(shè)對于 來說，結(jié)論成立. 現(xiàn)設(shè)為,的互不相同的特征值， 是屬于 的特征向量，,即,以 乘式的兩端，得,又對式兩端施行線性變換 ，得,7.5 對角矩陣,式減式得,由歸納假設(shè)， 線性無關(guān)，所以,但 互不相同，所以,將之代入，得,故 線性無關(guān).,7.5 對角矩陣,特別地，(推論2) 在復(fù)數(shù)域C上的線

3、性空間中，,3. (推論1) 設(shè)為n 維線性空間V的一個(gè)線性變換，,則 可對角化.,如果線性變換 的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根，則 可,如果 的特征多項(xiàng)式在數(shù)域 P 中有n個(gè)不同特征值，,對角化.,7.5 對角矩陣,特征值 的線性無關(guān)的特征向量，,則向量 線性無關(guān).,4. (定理9) 設(shè)為線性空間V的一個(gè)線性變換，,是 的不同特征值，而 是屬于,證明：首先， 的屬于同一特征值 的特征向量,的非零線性組合仍是 的屬于特征值 的一個(gè)特征,向量.,7.5 對角矩陣,令,由有，,若有某個(gè) 則 是 的屬于特征值 的,特征向量.,而 是互不相同的，由定理8，,必有所有的,7.5 對角矩陣,即,而 線性無關(guān)，所以有

4、,故 線性無關(guān).,為的特征子空間.,5. 設(shè)為n維線性空間V的一個(gè)線性變換，,為 全部不同的特征值，則可對角化,7.5 對角矩陣,6. 設(shè)為n維線性空間V的一個(gè)線性變換，,若 在某組基下的矩陣為對角矩陣,則 1） 的特征多項(xiàng)式就是,2）對角矩陣D主對角線上元素除排列次序外是唯一,確定的,它們就是的全部特征根(重根按重?cái)?shù)計(jì)算).,7.5 對角矩陣,三、對角化的一般方法,1 求出矩陣A的全部特征值,2 對每一個(gè)特征值 ，求出齊次線性方程組,設(shè) 為維線性空間V的一個(gè)線性變換，,為V的一組基，在這組基下的矩陣為A.,步驟:,的一個(gè)基礎(chǔ)解系（此即的屬于 的全部線性無關(guān),的特征向量在基下的坐標(biāo)）.,7.5

5、 對角矩陣,3若全部基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)之和等于n ，則,（或矩陣A）可對角化. 以這些解向量為列，作一個(gè),n階方陣T，則T可逆， 是對角矩陣. 而且,有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量從而,T就是基到基的過渡矩陣.,7.5 對角矩陣,下的矩陣為,基變換的過渡矩陣.,問 是否可對角化. 在可對角化的情況下，寫出,例1. 設(shè)復(fù)數(shù)域上線性空間V的線性變換 在某組基,7.5 對角矩陣,解：A的特征多項(xiàng)式為,得A的特征值是1、1、1.,解齊次線性方程組 得,故其基礎(chǔ)解系為：,所以，,是的屬于特征值1的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,7.5 對角矩陣,再解齊次線性方程組 得,故其基礎(chǔ)解系為：,所以，,是 的屬于特征值1

6、的線性無關(guān)的特征向量.,線性無關(guān)，故 可對角化，且,在基 下的矩陣為對角矩陣,7.5 對角矩陣,即基 到的過渡矩陣為,7.5 對角矩陣,例2. 問A是否可對角化？若可，求可逆矩陣T，使,為以角矩陣. 這里,得A的特征值是2、2、-4 .,解: A的特征多項(xiàng)式為,7.5 對角矩陣,對于特征值2，求出齊次線性方程組,對于特征值4，求出齊次方程組,的一個(gè)基礎(chǔ)解系:（2、1、0），（1、0、1）,的一個(gè)基礎(chǔ)解系:,7.5 對角矩陣,令,則,所以A可對角化.,7.5 對角矩陣,是對角矩陣（即D不可對角化）.,項(xiàng)式.并證明：D在任何一組基下的矩陣都不可能,練習(xí)：在 中, 求微分變換D的特征多,解：在 中取一組基：,則D在這組基下的矩陣為,7