固體物理-04-02一維周期場中電子運動的近自由電子近似

1、固體物理Solid State Physics,4.2 一維周期場中電子運動的近自由電子近似,第四章 能帶理論,04_02 一維周期場中電子運動的近自由電子近似, 模型和微擾計算,近自由電子近似模型, 假定勢場的起伏較小, 金屬中電子受到原子 實周期性勢場的作用,零級近似 用勢場平均值代替原子實產(chǎn)生的勢場, 周期性勢場的起伏量 可以作為微擾來處理,一，零級近似下電子的能量和波函數(shù), 空格子中電子的能量和波函數(shù),金屬的線度,零級近似下：,薛定諤方程：,波函數(shù)和能量本征值,波函數(shù)和能量本征值,滿足正交歸一化, l 為整數(shù),周期邊界條件,電子的波矢取值, 能量,二，微擾下電子的能量本征值,哈密頓量,

2、 根據(jù)微擾理論，電子的能量本征值,一級能量修正,能量本征值,二級能量修正, 按原胞劃分, 引入積分變量 ,勢場為晶格周期性函數(shù),1),2), V(x)的第n個 傅里葉系數(shù),二級修正項, 電子的能量本征值,三，微擾下電子的波函數(shù),電子的波函數(shù),波函數(shù)的一級修正, 計入微擾電子的波函數(shù),令,可以證明,電子波函數(shù), 布洛赫函數(shù)形式, 晶格周期性函數(shù), 電子波函數(shù)的意義,1) 電子波函數(shù)和散射波, 前進的平面波, 勢場作用產(chǎn)生的散射波,散射波的波矢,相關(guān)散射波成份的振幅,散射波,電子入射波波長, 布拉格反射條件在正入射時的結(jié)果,如果相鄰原子的散射波有相同的相位,波函數(shù)一級修正項,散射波成份的振幅, 微

3、擾法不再適用了,入射波波矢,2) 電子波函數(shù)和不同態(tài)之間的相互作用,在零級波函數(shù) 中摻入其它零級波函數(shù), 能量差越小摻入部分越大,當 時,兩個狀態(tài)具有相同的能量 導(dǎo)致了波函數(shù)的發(fā)散, 電子能量的意義,二級能量修正,當, 電子的能量是發(fā)散的, k和k兩個狀態(tài)具有相同的能量 _k和k態(tài)簡并, 電子波矢在 附近的能量和波函數(shù),簡并微擾 波函數(shù)由簡并波函數(shù)線性組合構(gòu)成,狀態(tài), 是一個小量, 主要影響的狀態(tài), 只考慮影響最大的狀態(tài)，忽略其它狀態(tài)的影響,狀態(tài) 對狀態(tài) 的影響,簡并波函數(shù),薛定諤方程,考慮到,分別以 和 從左邊乘方程，對 x 積分,利用,線性代數(shù)方程,a, b有非零解,1),波矢k離 較遠，

4、k狀態(tài)的能量和狀態(tài)k差別較大,將 按 展開,能量本征值, k和k能級相互作用的結(jié)果 是原來能級較高的k提高;原來能級較低的k下壓, 量子力學(xué)中微擾作用下，兩個相互影響的能級 總是原來較高的能量提高了，原來較低的能量降低了, 能級間“排斥作用”, 原來能級較高的k提高 _ 原來能級較低的k下壓,2),波矢k非常接近 ，k狀態(tài)的能量和k能量差別很小,將 按 展開, 結(jié)果分析,1) 兩個狀態(tài)k和k微擾后，能量變?yōu)镋+和E-,原能量高的態(tài) ，能量提高；原能量低的態(tài) 能量降低,兩個相互影響的狀態(tài)k和k微擾后，能量變?yōu)镋+和E-,2) 當 0 時,兩種情形下完全對稱的能級, A和B,兩個狀態(tài)作用后的能級,

5、 C和D,兩個狀態(tài)作用后的能級,3) 能帶和帶隙_禁帶,零級近似，電子能量曲線為拋物線,k狀態(tài)不計二級能量修正,微擾情形，電子的k不在 附近,3) 能帶和帶隙_禁帶, 拋物線,電子的一個狀態(tài)波矢,存在一個 狀態(tài), 兩個態(tài)的能量相同,電子的一個狀態(tài)波矢,存在一個 狀態(tài), 兩個狀態(tài)的能量相近,由于周期性勢場的微擾,能量的突變, 微擾只考慮兩個態(tài)的作用,能量本征值在 處斷開, 禁帶寬度,電子波矢取值, 一個l，有一個量子態(tài)k,能量本征值, 當N很大時，能量視為準連續(xù), 由于晶格周期性勢場的影響 晶體中電子準連續(xù)的能級分裂為一系列的能帶,能量本征值在 處斷開,4) 能帶底部，能量向上彎曲；能帶頂部，能

6、量向下彎曲,5) 禁帶出現(xiàn)在波矢空間倒格矢的中點處,禁帶寬度, 取決于金屬勢場形式, 能帶及一般性質(zhì),自由電子的能譜, 晶體弱周期性勢場的微擾，電子能譜在布里淵邊界,產(chǎn)生了寬度 的禁帶,發(fā)生能量躍變, 遠離布里淵區(qū)邊界，近自由電子的能譜 _拋物線, 每個波矢k有一個量子態(tài) 原胞的數(shù)目趨于無限大時，波矢k變得非常密集 能級的準連續(xù)分布形成了一系列的能帶, 各能帶之間是禁帶 在完整的晶體中 禁帶無允許的能級, 一維布喇菲格子 能帶序號、能帶涉及波矢k的范圍和布里淵區(qū)的對應(yīng)關(guān)系,一維布喇菲格子，能帶序號、波矢k和布里淵區(qū)對應(yīng)關(guān)系, 每個能帶中包含的量子態(tài)數(shù)目,波矢k的取值, k的數(shù)目,每個能帶對應(yīng)k

7、的取值范圍,各個能帶k的取值數(shù)目, 原胞的數(shù)目, 計入自旋，每個能帶中包含2N個量子態(tài),量子態(tài)數(shù)目, 電子波矢和量子數(shù)簡約波矢的關(guān)系, 第一布里淵區(qū),電子的波矢,在一維情形中 m為整數(shù),的取值范圍, 平移算符本征值量子數(shù)k 簡約波矢，計為 簡約波矢和電子波矢k之間的關(guān)系, l 為整數(shù),簡約波矢, 電子的波函數(shù),可以表示為, 晶格周期性函數(shù),將 代入, 晶格周期性函數(shù),晶體中電子的波函數(shù), 利用電子波矢和簡約波矢的關(guān)系 電子在周期性勢場中的波函數(shù)為布洛赫函數(shù), 用簡約波矢來表示電子的能量, 電子的能量, m為整數(shù)，對應(yīng)于不同的能帶,第一能帶位于簡約布里淵區(qū)，其它能帶可以通過倒格矢,移到簡約布里淵區(qū), 每一個能帶在簡約布里淵區(qū)都有各自的圖像 所有能帶在簡約布里淵區(qū)的圖像, 簡約波矢的取值被限制在簡約布里淵區(qū) 要標志一個狀態(tài)需要表明 1)它屬于哪一個能帶(能帶標號) 2)它的簡約波矢 是什么？,電子波矢k和簡約波矢 的關(guān)系,擴展區(qū)圖，簡約區(qū)圖，重復(fù)區(qū)圖, 周期性勢場的起伏只使不同能帶相同簡約波矢 的狀態(tài)之間的相互影響,不同能帶之間出現(xiàn)帶隙 禁帶, 對于一般的, 遠離布里淵邊界, 能量