北京理工大學(xué)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu).ppt

1、第7章 圖,第7章 圖,7.1 圖的定義和術(shù)語(yǔ) 7.2 圖的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu) 7.3 圖的遍歷 7.4 圖的最小生成樹,第 3 頁(yè),7.1 圖的定義與術(shù)語(yǔ),一、圖的定義 1、圖(Graph)圖G是由兩個(gè)集合V(G)和E(G)組成的,記為G=(V,E) 其中：V(G)是頂點(diǎn)的非空有限集 E(G)是邊的有限集合，邊是頂點(diǎn)的無(wú)序?qū)蛴行驅(qū)Α?圖的分類 有向圖 無(wú)向圖,第 4 頁(yè),7.1 圖的定義與術(shù)語(yǔ),2、有向圖有向圖G是由兩個(gè)集合V(G)和E(G)組成的。 其中：V(G)是頂點(diǎn)的非空有限集。 E(G)是有向邊（也稱?。┑挠邢藜?，弧是頂點(diǎn)的有序?qū)Γ洖?，v,w是頂點(diǎn)，v為弧尾，w為弧頭。,第 5 頁(yè),7.

2、1 圖的定義與術(shù)語(yǔ),例如： G1 = V1 = A, B, C, D, E E1 = , , , , , , ,E,A,C,B,D,第 6 頁(yè),7.1 圖的定義與術(shù)語(yǔ),3、無(wú)向圖無(wú)向圖G是由兩個(gè)集合V(G)和E(G)組成的。 其中：V(G)是頂點(diǎn)的非空有限集。 E(G)是邊的有限集合，邊是頂點(diǎn)的無(wú)序?qū)?，記?(v,w) 或 (w,v)，并且(v,w)=(w,v)。,第 7 頁(yè),7.1 圖的定義與術(shù)語(yǔ),例如： G2 = V2 = v0 ,v1,v2,v3,v4 E2 = (v0,v1), (v0,v3), (v1,v2), (v1,v4), (v2,v3), (v2,v4) ,V0,V4,V3,

3、V1,V2,第 8 頁(yè),7.1 圖的定義與術(shù)語(yǔ),例如： G2 = V2 = v0，v1，v2，v3 E2 = , , , ,V(G1) = 1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 E(G1) = , , , , , , ,第 9 頁(yè),7.1 圖的定義與術(shù)語(yǔ),圖的應(yīng)用舉例 例1、交通圖（公路、鐵路） 頂點(diǎn)：地點(diǎn)邊：連接地點(diǎn)的路 例2、電路圖 頂點(diǎn)：元件邊：連接元件之間的線路 例3、通訊線路圖 頂點(diǎn)：地點(diǎn)邊：地點(diǎn)間的連線 例4、各種流程圖 如產(chǎn)品的生產(chǎn)流程圖。 頂點(diǎn)：工序邊：各道工序之間的順序關(guān)系,第 10 頁(yè),7.1 圖的定義與術(shù)語(yǔ),二、圖的基本術(shù)語(yǔ) 1、鄰接點(diǎn)及關(guān)聯(lián)邊 鄰接點(diǎn)：邊的兩個(gè)頂點(diǎn)

4、關(guān)聯(lián)邊：若邊e= (v, u), 則稱頂點(diǎn)v、u 關(guān)聯(lián)邊e 2、頂點(diǎn)的度、入度、出度 頂點(diǎn)V的度 = 與V相關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目 在有向圖中： 頂點(diǎn)V的出度 = 以V為起點(diǎn)有向邊數(shù) 頂點(diǎn)V的入度 = 以V為終點(diǎn)有向邊數(shù) 頂點(diǎn)V的度 = V的出度+V的入度 設(shè)圖G 的頂點(diǎn)數(shù)為 n，邊數(shù)為 e 圖的所有頂點(diǎn)的度數(shù)和 = 2*e （每條邊對(duì)圖的所有頂點(diǎn)的度數(shù)和“貢獻(xiàn)”2度）,e,第 11 頁(yè),7.1 圖的定義與術(shù)語(yǔ),3、路徑、回路 無(wú)向圖 G =（V，E）中的頂點(diǎn)序列v1, v2, , vk，若 (vi, vi+1)E ( i=1, 2, , k-1)，v=v1, u=vk，則稱該序列是從頂點(diǎn)v到頂點(diǎn)u的

5、路徑；若v=u，則稱該序列為回路。,路徑：V0, V1, V2, V3 回路：V0, V1, V2, V3, V0,第 12 頁(yè),7.1 圖的定義與術(shù)語(yǔ),3、路徑、回路 有向圖 D =（V，E）中的頂點(diǎn)序列 v1, v2, , vk，若 E (i=1, 2, , k-1)，v=v1，u=vk，則稱該序列是從頂點(diǎn)v到頂點(diǎn)u的路徑；若v=u，則稱該序列為回路。,路徑：V0, V2, V3 回路：V0, V2, V3, V0,第 13 頁(yè),7.1 圖的定義與術(shù)語(yǔ),4、連通圖（強(qiáng)連通圖） 在無(wú)（有）向圖 G= 中，若對(duì)任何兩個(gè)頂點(diǎn) v、u 都存在從 v 到 u 的路徑，則稱G是連通圖（強(qiáng)連通圖）,非連

6、通圖,連通圖,強(qiáng)連通圖,非強(qiáng)連通圖,第 14 頁(yè),7.1 圖的定義與術(shù)語(yǔ),5、子圖 設(shè)有兩個(gè)圖 G=（V，E），G1=（V1，E1），若V1 V，E1 E，而且E1關(guān)聯(lián)的頂點(diǎn)都在 V1 中，則稱 G1 是 G 的子圖；,(b)、(c) 都是 (a) 的子圖,第 15 頁(yè),7.1 圖的定義與術(shù)語(yǔ),6、連通分量（強(qiáng)連通分量）：無(wú)（有）向圖的極大（強(qiáng)）連通子圖。 極大（強(qiáng)）連通子圖：該子圖是（強(qiáng)）連通子圖，若再將G的任何不在該子圖中的頂點(diǎn)加入，子圖就不再（強(qiáng)）連通。,第 16 頁(yè),7.1 圖的定義與術(shù)語(yǔ),強(qiáng)連通分量,非連通圖,第 17 頁(yè),7.1 圖的定義與術(shù)語(yǔ),7、生成樹 包含無(wú)向圖 G 所有頂點(diǎn)

7、的極小連通子圖稱為G生成樹。 極小連通子圖意思是：該子圖是G的連通子圖，在該子圖中刪除任何一條邊，子圖不再連通。,G1的生成樹,章,連通 所有頂點(diǎn) 無(wú)回路,第 18 頁(yè),7.2 圖的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu),一、數(shù)組表示法（鄰接矩陣表示） 鄰接矩陣：G的鄰接矩陣是滿足如下條件的n階矩陣：,在數(shù)組表示法中，用鄰接 矩陣表示頂點(diǎn)間的關(guān)系,第 19 頁(yè),7.2 圖的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu),二、鄰接表：圖的鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu) 1、無(wú)向圖的鄰接表 頂點(diǎn)：通常按編號(hào)順序?qū)㈨旤c(diǎn)數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在一維數(shù)組中； 關(guān)聯(lián)同一頂點(diǎn)的邊：用線性鏈表存儲(chǔ)。,第 20 頁(yè),typedef struct tnode /表頭結(jié)點(diǎn) int vexdata; ArcNode

8、 * firstarc; VNode, AdjList MAX_VERTEX_NUM ;,7.2 圖的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu),typedef struct ArcNode/鏈表結(jié)點(diǎn) int adjvex; struct ArcNode *next; ArcNode;,typedef struct/圖 AdjList vertices; int vexnum, arcnum; / 頂點(diǎn)數(shù)和弧數(shù) int kind; / 圖的種類 ALGraph;,第 21 頁(yè),7.2 圖的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu),無(wú)向圖的鄰接表的特點(diǎn) 1）在G鄰接表中，同一條邊對(duì)應(yīng)兩個(gè)結(jié)點(diǎn)； 2）頂點(diǎn)v的度：等于v對(duì)應(yīng)線性鏈表的長(zhǎng)度； 3）判定兩頂點(diǎn)v ，u

9、是否鄰接：要看v對(duì)應(yīng)線性鏈表中有無(wú)對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)。 4）在G中增減邊：要在兩個(gè)單鏈表插入、刪除結(jié)點(diǎn)； 5）設(shè)存儲(chǔ)頂點(diǎn)的一維數(shù)組大小為 m（m圖的頂點(diǎn)數(shù)n），圖的邊數(shù)為 e，G占用存儲(chǔ)空間為：m+2*e。G占用存儲(chǔ)空間與G的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)均有關(guān)；適用于邊稀疏的圖。,第 22 頁(yè),7.2 圖的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu),2、有向圖的鄰接表 頂點(diǎn)：用一維數(shù)組存儲(chǔ)（按編號(hào)順序） 以同一頂點(diǎn)為起點(diǎn)的?。河镁€性鏈表存儲(chǔ),adjvex,next,類似于無(wú)向圖的鄰接表，所不同的是： 以同一頂點(diǎn)為起點(diǎn)的?。河镁€性鏈表存儲(chǔ)。,第 23 頁(yè),7.2 圖的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu),3、有向圖的逆鄰接表 頂點(diǎn)：用一維數(shù)組存儲(chǔ)（按編號(hào)順序） 以同一頂點(diǎn)為終點(diǎn)的

10、弧：用線性鏈表存儲(chǔ)。,類似于有向圖的鄰接表，所不同的是： 以同一頂點(diǎn)為終點(diǎn)?。河镁€性鏈表存儲(chǔ),章,第 24 頁(yè),7.3 圖的遍歷,連通圖的深度遍歷（DFS） 從圖中某頂點(diǎn)v出發(fā)： 1）訪問頂點(diǎn)v； 2）對(duì)v的每個(gè)未被訪問的鄰接點(diǎn)wj，從wj出發(fā)，繼續(xù)對(duì)圖進(jìn)行深度優(yōu)先遍歷。,深度遍歷： V1,V2,V4,V5,V8,V3,V6,V7,例,深度遍歷： V1,V3,V6,V7,V2,V5,V8,V4,第 25 頁(yè),7.3 圖的遍歷,圖的深度遍歷（DFS）,V,w1,SG1,SG2,SG3,w2,w3,w2,W1、W2和W3 均為 V 的鄰接點(diǎn)，SG1、SG2 和 SG3 分別為含頂點(diǎn)W1、W2和W3

11、 的子圖。,訪問頂點(diǎn) V ： for (W1、W2、W3 ) 若該鄰接點(diǎn)W未被訪問， 則從它出發(fā)進(jìn)行深度優(yōu)先搜索遍歷。,第 26 頁(yè),7.3 圖的遍歷,圖的深度遍歷（DFS）,V,w1,SG1,SG2,SG3,w2,w3,w2,從圖解可見：,1. 從深度優(yōu)先搜索遍歷連通圖的過程類似于樹的先根遍歷；,解決的辦法是：為每個(gè)頂點(diǎn)設(shè)立一個(gè) “訪問標(biāo)志 visitedw”。,2. 如何判別V的鄰接點(diǎn)是否被訪問？,第 27 頁(yè),7.3 圖的遍歷,Boolean visitedMAX; / 訪問標(biāo)志數(shù)組 Status (*VisitFunc)(int v); / 訪問函數(shù) void DFS ( Graph

12、G, int v) / 從頂點(diǎn)v出發(fā)，深度優(yōu)先搜索遍歷連通圖 G visitedv = TRUE; VisitFunc(v); for ( w=FirstAdjVex(G, v);w=0; w=NextAdjVex(G,v,w) ) if ( !visitedw ) DFS(G, w); / 對(duì)v的尚未訪問的鄰接頂點(diǎn)w / 遞歸調(diào)用DFS / DFS,第 28 頁(yè),7.3 圖的遍歷,非連通圖的深度優(yōu)先搜索遍歷 首先將圖中每個(gè)頂點(diǎn)的訪問標(biāo)志設(shè)為 FALSE，之后搜索圖中每個(gè)頂點(diǎn)，如果未被訪問，則以該頂點(diǎn)為起始點(diǎn)，進(jìn)行深度優(yōu)先搜索遍歷，否則繼續(xù)檢查下一頂點(diǎn)。,第 29 頁(yè),7.3 圖的遍歷,voi

13、d DFSTraverse ( Graph G, Status (*Visit) (int v) / 對(duì)圖 G 作深度優(yōu)先遍歷。 VisitFunc = Visit; for ( v=0; vG.vexnum; +v ) visitedv = FALSE; / 訪問標(biāo)志數(shù)組初始化 for ( v=0; vG.vexnum; +v ) if (!visitedv) DFS(G, v); / 對(duì)尚未訪問的頂點(diǎn)調(diào)用DFS ,第 30 頁(yè),7.3 圖的遍歷,例如：,a,b,c,h,d,e,k,f,g,F F F F F F F F F,T,T,T,T,T,T,T,T,T,a,c,h,d,k,f,e,b

14、,g,a,c,h,k,f,e,d,b,g,訪問標(biāo)志:,訪問次序:,a b c d e f g h k,0 1 2 3 4 5 6 7 8,第 31 頁(yè),7.3 圖的遍歷,圖的深度遍歷（DFS）,深度遍歷：V1,V3 ,V7 ,V6 ,V2 ,V4 ,V8 ,V5,第 32 頁(yè),7.3 圖的遍歷,圖的廣度遍歷（BFS） 從圖中的某個(gè)頂點(diǎn)V0出發(fā)，并在訪問此頂點(diǎn)之后依次訪問V0的所有未被訪問過的鄰接點(diǎn)，之后按這些頂點(diǎn)被訪問的先后次序依次訪問它們的鄰接點(diǎn)，直至圖中所有和V0有路徑相通的頂點(diǎn)都被訪問到。,若此時(shí)圖中尚有頂點(diǎn)未被訪問，則另選圖中一個(gè)未曾被訪問的頂點(diǎn)作起始點(diǎn)，重復(fù)上述過程，直至圖中所有頂點(diǎn)

15、都被訪問到為止。,第 33 頁(yè),7.3 圖的遍歷,圖的廣度遍歷（BFS） 從圖中某頂點(diǎn)v出發(fā)： 1) 訪問頂點(diǎn)v 2) 訪問v的所有未被訪問的鄰接點(diǎn)w1,w2,wk 3) 依次從這些鄰接點(diǎn)出發(fā)，訪問它們的所有未被訪問的鄰接點(diǎn)，直到圖中所有訪問過的頂點(diǎn)的鄰接點(diǎn)都被訪問到。,V1,V2,V3,V4,V8,V5,V6,V7,V1,V3,V2,V6,V7,V4,V5,V8,第 34 頁(yè),7.3 圖的遍歷,void BFSTraverse ( Graph G, Status (*Visit) (int v) ) for ( v=0; vG.vexnum; +v ) visitedv = FALSE; / 初始化訪問標(biāo)志 InitQueue(Q); / 置空的輔助隊(duì)列Q for ( v=0; vG.vexnum; +v ) if ( !visitedv) / v 尚未訪問 /見下頁(yè) /if / BFSTraverse,第 35 頁(yè),7.3 圖的遍歷,/上頁(yè)中的 if 部分 visitedv = TRUE; Visit(v); / 訪問v EnQueue(Q, v); / v入隊(duì)列 while (!QueueEmpty(Q) DeQueue(Q, u); / 隊(duì)頭元素出隊(duì)并置為u f