實變函數(shù)論課件10.ppt

1、第10講 開集的可測性,目的：熟悉一些常見的可測集，了解Borel 集類與Lebesgue集類的差別。 重點與難點：,第10講 開集的可測性,基本內容： 一Borel集 問題1：按Lebesgue可測集的定義，我們所 熟悉的哪些集合是可測的？,第10講 開集的可測性,問題2：由Lebesgue測度的性質以及上面所熟悉的可測集，還能構造出哪些可測集？所有這些可測集構成什么樣的集類？,第10講 開集的可測性,（1） 開集與閉集的可測性 命題1 Rn中任意開長方體都是可測的，且 。 證明：我們在前一節(jié)已經(jīng)證明對任意開長方體I，有 ，所以只需證明I是可測的就行了，又由關于可測集定義的討論，我們只要證明

2、對任意開長方體J，有,第10講 開集的可測性,注意到 仍是個長方體， 故不難得知 （這與證明 類似）因此 從而I可測。證畢。,第10講 開集的可測性,定義1 Rn中的集合 稱為左開右閉長方體。 與直線上開集的構造有所不同，Rn中的開集未必可以表示成互不相交的開長方體的并，但可以表示成互不相交的左開右閉長方體之并，即,第10講 開集的可測性,引理1 Rn中的非空開集G都可表示成最多可數(shù)個互不相交的左開右閉的長方體之并，即 是左開右閉長方體。 證明：對每一正整數(shù)K,Rn可以分解成可數(shù)個形如 mi是正整數(shù)）的互不相交的左開右閉長方體之并。假設K=1時上述長方體中完全包含在G內的那些為,第10講 開集

3、的可測性,（有限或可數(shù)個）。對于k1，用 表示上述那些完全被G包含但與任何 不相交的長方體。這樣就得到可數(shù)多個左開右閉的長方體 且它們互不相交，并滿足 。如果 ，則存在 ，使 注意到 故當k充分大時，含x的形如Bk的長方體一定完全包含在 中，從而也包含在G ，所以 一定在某個 中，即,第10講 開集的可測性,于是， （2） G型集、F型集、Borel集 定理1 Rn中的任意開集、閉集、F型集、 G型集均為可測集。 證明：由命題1知任一左開右閉長方體J 可測且mJ=|J|，從而由引理1知任意開集可測，進一步閉集、F 型集、G 型集均可測。證畢。,第十講 開集的可測性,注：從定理1可知，可數(shù)個F6

4、型集或G8型集的并或交仍是可測的。事實上，由開集經(jīng)過可數(shù)次的交、并、差運算后，所得的集合仍然是可測集。于是，由Rn中所有開集經(jīng)過上述運算而得的域就是一個可測集類。我們將這個集類記作B（Rn）或B，稱為Rn中的Borel集類。B中元稱為Rn中的Borel集。因此我們又可以將剛才的結論敘述為：Rn中任一Borel集合是Lebesgue可測集。,第十講 開集的可測性,二Borel集類與Lebesgue集類的比較 問題3：根據(jù)Lebesgue外測度及可測集的定義，你認為Lebesgue可測集與Borel集差別有多大？,第十講 開集的可測性,問題4：對任意集合E，能否找到包含E的Borel集G，使得它們

5、有相同的外測度？ 問題5：對上述E，能否找到包含在E中的Borel集F，使得它們具有相同的外測度？如果E是可測集，情形又如何？,第十講 開集的可測性,Lebesgue可測集的結構 Borel集類已包含了我們經(jīng)常見到的Rn中的大多數(shù)集合，然而，的確仍有不少集合不是Borel集，如本章第一節(jié)中構造的不可測集顯然不可能是Borel集。那么，是否存在Lebesgue可測但卻不是Borel集的集合呢？有的，而且很多，我們已經(jīng)看到，如果一個集合的外測度為0，則它一定可測，但是外測度為0的集合卻未,第十講 開集的可測性,必是Borel集，要證明這件事并不困難，比如，可以證明直線上Borel集全體的勢為2c。

6、事實上，Lebesgue可測集的全體顯然有不大于2c的勢，只需證明其勢不小于2c就可以了，我們已經(jīng)知道Cantor集是一個零測集，且有勢c，因而它的一切子集也是零測集，且其子集全體有勢2c。由此立知，Lebesgue可測集全體,第十講 開集的可測性,遠比Borel集全體的勢力，上面的證明同時告訴我們，Cantor的一切子集中，確有很多不是Borel集，但它們都是Lebesgue可測集。 現(xiàn)在我們來看看，Lebesgue可測集與Borel集差別有多少，假設E是一個可測集，且不妨設 ，則對任意，存在可數(shù)個開長方體 ，使,第十講 開集的可測性,且 由此易知 事實上,由于 故由 及,第十講 開集的可測

7、性,易得 記 則Gn是開集，從而 是G型集，而且 ，由 立知 是Borel集與一個Lebesgue 零測集之差。類似的辦法可以證明，能找 到Borel集 ，使 ，即E也,第十講 開集的可測性,是Borel集與一個Lebesgue零測集之并。換言之，對任一Lebesgue可測集E，都可以找到包含于其中的Borel集，使它們有相同的測度，也可以找到包含E的Borel集，使它們也有相同的測度。因此，Borel集與Lebesgue可測集的差別在于零測集上。,第十講 開集的可測性,問題6：問題4中能否使G-E的外測度為零？為什么？舉例說明。,第十講 開集的可測性,即使 不是可測集，我們也可以找到Bore

8、l集，使它們有相同的外測度。這就是下面的 定理2 設 ，則存在Rn中的G8型集G，使 且 。 證明：若 ，則顯然可找到這樣的G，（比如Rn本身就是其中一個）。故不妨設 ，此時 類假剛才的討論， 可,第十講 開集的可測性,以找到開集Gn，使 且 令 ，令G即為所求。證畢。 應該指出的是，如果E是不可測集，雖 然可以找到Borel集 ，使 ， 但 的外測度不可能等于0，否則 E=G-（G-E）將是可測集。,第十講 開集的可測性,定理3 若 是可測集，則有Rn中的 Borel集F，使 且 證明：若E無界，則可作一列長方體 ， 使 且 ，于是 是一列有界可測集列，且 ，從而,第十講 開集的可測性,若對

9、每一En，可找到Borel集 ，使 且 則 令 ，則 ， 于是,第十講 開集的可測性,進而 ；另一方面，由于 故 。因此，我們 只需就E是有界可測集情形證明就可以了。 若E是有界的，則存在長方體 ，記 ，則S也是可測集，且 由定理2知存在Borel集G，使 ，且,第十講 開集的可測性,，令 ，則F仍 是Borel集，且 ，顯然 注意 故 。證畢。,第十講 開集的可測性,習題二 1、證明有理數(shù)全體是R1中可測集，且測 度為0。 2、證明若E是Rn中有界集，則 3、至少含有一個內點的集合之外測度能否 為零？ 4、在a,b上能否作一個測度為ba但又 異開a,b的閉集？,第十講 開集的可測性,5、若將

10、1定理6中條件 去掉， 等式 是否仍成立？ 6、設E1、E2、是0，1中具有下述性 質的可測集列：對任意 ，從這個 序列中可找到這樣的集Ek，使 證明，這些集合之并的測度等于1。 7、證明對任意可測集A，B，下式恒成立。,第十講 開集的可測性,8、設A1、A2是0，1中兩個可測集且滿足， 證明： 9、設A1、A2、A3 是0，1中三個可測集 且滿足 ,證明：,第十講 開集的可測性,10、證明存在開集G，使 11、設E是R1中的不可測集，A是R1中的 零測集，證明： 不可測。 12、若E是0，1中的零測集，其閉包 是否也為零測集？ 13、證明：若E是可測集，則對任意 存在 型集 ，使,第十講 開

11、集的可測性,14、證明：位于0 x軸上的任何集E（甚至 它在直線上為不可測集）在0 xy平面 上可測且其測度為零。 15、證明有界集E可測當且僅當對任意 ， 存在開集 ，閉集 ，使,第十講 開集的可測性,16、證明；若 是單調遞增集列（不 一定可測），則 17、證明Rn中的Borel集類B有連續(xù)勢。 18、證明對任意閉集F，都可找到完備集 ，使 19、證明只要 ，就一定可以找到 使對任意 都有,第十講 開集的可測性,（提示：利于閉集套定理） 20、如果 可測， ，記 證明 也可測，且 21、設 是零測集，證明 是零測集。,第十講 開集的可測性,22、設 可測， 是含x0的任 一開區(qū)間，若下列極限存在 ，則稱d是E 在點x0的密度，顯然 ，如果 稱x0 是E的全密點。 （i）點a是否是 的有密度的點？ （即d0）,第十講 開集的可測性,(ii)作一集合E，使它在