圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理.ppt

1、2.2 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 與判定定理,圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。,同弧或等弧所對的圓周角相等; 同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧也相等.,半 圓(或直徑)所對的圓周角是直角; 90的圓周角所對的弦是直徑.,圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的 圓心角的一半。,圓周角定理,圓心角定理,推論1,推論2,【溫故知新】,二.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理,圓內(nèi)接多邊形-所有頂點都在一個圓上的多邊形.,這個圓稱多邊形的外接圓.,思考: 任意三角形都有外接圓.那么 任意正方形有外接圓嗎?為什么? 任意矩形有外接圓嗎? 等腰梯形呢? 一般地, 任意四邊形都有外接圓嗎?,如果一個四邊形內(nèi)接于圓,那么它

2、有何特征?,如圖（1）連接OA,OC.則B= . D=,性質(zhì)定理1 圓內(nèi)接多邊形的對角互補,將線段AB延長到點E,得到圖（2）,（1）,性質(zhì)定理2 圓內(nèi)接多邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角。,性質(zhì)定理1 圓內(nèi)接四邊形的對角互補,性質(zhì)定理2 圓內(nèi)接邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角。,如果一個四邊形的對角互補,那么它的四個頂點共圓.,如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么它的四個頂點共圓.,性質(zhì)定理的逆命題成立嗎？,假設(shè)：四邊形ABCD中，B+D=180 求證：A,B,C,D在同一圓周上（簡稱四點共圓）.,C,A,B,D,E,O,A,B,C,D,E,O,證明：(1)如果點D在O外部。則,（1）,（2

3、）,AEC+B=180因B+D=180,得 D=AEC與“三角形外角大于任意,不相鄰的內(nèi)角”矛盾。故點D不可能在圓外。,(2)如果點D在O內(nèi)部。則B+E=180,B+ADC=180E=ADC,同樣矛盾。點D不可能在O內(nèi)。,綜上所述，點D只能在圓周上，四點共圓。,圓內(nèi)接四邊形判定定理,如果一個四邊形的對角互補,那么它的四個頂點共圓.,當(dāng)問題的結(jié)論存在多種情形時,通過對每一種情形分別論證,最后獲證結(jié)論的方法-窮舉法,推論 如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么它的四個頂點共圓.,例1 如圖， 都經(jīng)過A,B兩點。經(jīng)過點A的直線CD與 交于點C,與 交與點經(jīng)過點B的直線EF與 交于點E,與 交與

4、點F.,證明：連接AB,BAD=E.,BAD+F=180,E+F=180,CE/DF .,求證：CE/DF.,四邊形ABEC是 的內(nèi)接四邊形。,四邊形ADFB是 的內(nèi)接四邊形。,例2 如圖，CF是ABC的AB邊上的高，F(xiàn)PBC, FQAC.,求證：A,B,P,Q四點共圓,證明：連接PQ。,在四邊形QFPC中，,FPBC FQAC.,FQA=FPC=90.,Q,F,P,C四點共圓。,QFC=QPC.,又CFAB,QFC與QFA互余.,而A與QFA也互余.,A=QFC.,A=QPC.,A,B,P,Q四點共圓,習(xí)題2.2,1.AD,BE是ABC的兩條高， 求證：CED=ABC.,2.求證：對角線互相

5、垂直的四邊形中，各邊中點在同一個圓周上。,o,3.如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓，延長AB和DC相交于E,EG平分E,且與BC,AD分別相交于F,G. 求證： CFG=DGF.,2.3 圓的切線的性質(zhì) 及判定定理,三. 圓的切線的性質(zhì)及判定定理,圓與直線的位置關(guān)系:,相交-有兩個公共點,相切-只有一個公共點,相離-沒有公共點,切線的性質(zhì)定理:,O,切線的性質(zhì)定理逆命題是否成立?,M,反證法,推論1:,經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.,推論2:,經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.,這與線圓相切矛盾.,思考:,圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑,假設(shè)不垂直,作OM,因“垂線段最短”,故OAO

6、M,即圓心到直線距離小于半徑.,A,切線的判定定理:,經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.,A,O,B,.直線與圓只有一個公共點,是切線.,在直線上任取異于A的點B.,連OB.,則在RtABO中,OBOA=r,故B在圓外,例1 如圖,AB是O的直徑, O過BC的中點D, DEAC.求證:DE是O是切線.,證明:連接OD. BD=CD,OA=OB,OD是ABC的中位線,OD/AC.,又DEC=90,ODE=90,又D在圓周上,DE是O是切線.,例2 如圖. AB為O的直徑,C為O上一點,AD和過C點的切線互相垂直,垂足為D.,求證:AC平分DAB.,證明:連接OC,OCCD.,又ADCD,OC/AD.由此得 ACO=CAD.,OC=OA., CAO=ACO., CAD=CAO.,故AC平分DAB.,CD是O的切線,習(xí)題2.3,1.如圖,ABC為等腰三角形,O是底邊BC的中點, O與腰AB相切于點D.,求證:AC與O相切.,2.已知:OA和OB是O的半徑,并且OAOB,P是OA 上任意一點,BP的延長線交O于Q.過Q作O的切 線交OA的延長線于R,.,求證:RP=RQ,B,O,P,A,R,Q,AQO= APQ,3.AB是O的直徑,BC是O的切線,切點為B,OC平行于弦AD.,求證:DC是O的切線.,A,O,B,C,D,1,3,2,4,COD與COB全