第四章 頻域濾波.ppt

1、第四章 頻域圖像增強,2,4.1 背景,法國數(shù)學家Jean Baptiste Joseph Fourier在1807年和1822年提出傅立葉變換 60年代出現(xiàn)快速傅立葉變換 傅立葉變換域也稱為頻域,3,4.2 傅立葉變換傅立葉積分, 調(diào)諧信號：,其中j2=-1,4,傅立葉變換的定義(一維),f(x)為連續(xù)可積函數(shù)，其傅立葉變換定義為：,其反變換為：,F(u)=R(u)+jI(u),幅度譜： 相位譜：,能量譜（譜密度）,5,變換分析的直觀說明,把一個信號的波形分解為許多 不同頻率正弦波之和。,6,一維傅立葉變換舉例,方波信號：,經(jīng)過傅立葉變換后：,7,一維離散傅立葉變換(DFT),一維離散傅立葉

2、變換公式為：,逆變換為：,8,二維傅立葉變換,二維傅立葉變換由一維傅立葉變換推廣而來：,逆變換：,幅度譜： 相位譜：,F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v),9,二維傅立葉變換舉例,對于二維方波信號,傅立葉變換為：,幅度：,10,二維離散傅立葉變換,對于二維傅立葉變換，其離散形式為：,逆變換為：,幅譜(頻譜)、相譜：,11,12,13,二維離散傅立葉變換的性質(zhì),1. 線性性質(zhì)：,2. 比例性質(zhì)：,3. 可分離性：,14,15,4. 空間位移：,5. 頻率位移：,圖像中心化：,當u0=v0=N/2時，,16,6. 周期性： F(u,v)=F(u+aN,v+bN), f(x,y)=f(x+aN

3、,y+bN),7. 共軛對稱性：,8. 旋轉(zhuǎn)不變性：,9. 平均值：,如果f(x,y)為實數(shù),說明圖像的譜是對稱的,17,10. 卷積定理： f(x,y)*h(x,y) F(u,v)H(u,v) f(x,y)h(x,y) F(u,v)*H(u,v),11. 相關(guān)定理： 互相關(guān)：f(x,y)Og(x,y) F *(u,v)G (u,v) f *(x,y)g (x,y) F(u,v) OG(u,v) 自相關(guān)：f(x,y)Of(x,y) |F(u,v)|2 |f(x,y)|2 F(u,v) OF(u,v),20,12. 帕塞瓦定理（能量定理）：,若f1(x,y)=f2(x,y)=f(x,y)，則有：

4、,信號在空域的總能量等于其頻域的總能量。,21,頻率位移性質(zhì),當圖像在頻率域移動時需要用到頻率位移性質(zhì)：,圖像中心化,把圖像進行傅立葉變換后，往往要把中心移到u0=v0=N/2的位置上,22,周期性和共軛對稱性,周期性不難證明。共軛對稱性：,f *(x,y)的傅立葉變換：,23,周期性和共軛對稱性的應用,1. 圖形的頻譜分析和顯示,2. 圖像中心化,24,25,26,平均值,平均值定義：,由傅立葉變換定義：,因此，f(x,y)的平均值與傅立葉變換系數(shù)的關(guān)系為：,27,卷積, 卷積積分：如果函數(shù) y(t) 滿足下列關(guān)系式,則稱函數(shù) y(t) 為函數(shù) x(t) 和 h(t) 的卷積, 卷積積分的圖

5、解表示：,1,1,28, 卷積積分的圖解表示（續(xù)）：,位移,h(t1- ),2,y(t),1,t,積分,29, 卷積積分的步驟：,1 折迭：把 h() 相對縱軸作出其鏡像,2 位移：把 h(-) 移動一個 t 值,3 相乘：將位移后的函數(shù) h(t-) 乘以 x(),4 積分： h(t-) 和 x() 乘積曲線下的面積即為 t 時刻的卷積值,30, 包含脈沖函數(shù)的卷積：即 x(t) 或 h(t) 中有一個為脈沖函數(shù)，則它們的卷積是一種最簡單的卷積,-T0,T0,h(t)*x(t),t,A,A,31, 卷積定理：如果 x(t) 和 h(t) 的富里葉變換分別為 X(f) 和 H(f) ,則x(t)

6、 * h(t) 的富里葉變換為 X(f)H(f)。即, 卷積定理的簡單推導：,=,=,=,=,令 =t-,32,35,38,頻域濾波,在傅立葉變換域，變換系數(shù)反映了圖像的某些特征。 頻譜的低頻分量對應于圖像的平滑區(qū)域，而外界疊加噪聲、邊緣對應于頻譜中頻率較高的部分等。,39,基本步驟,圖像乘以,計算,圖像 乘以濾波器函數(shù),計算,的反變換,得到實數(shù)部分,將結(jié)果乘以,濾波后圖像,40,41,基本濾波器及其性質(zhì),構(gòu)造一個低通濾波器，使低頻分量順利通過而有效地阻止高頻分量，即可濾除頻域中高頻部分的噪聲，再經(jīng)逆變換就可以得到平滑圖像。 高通濾波與低通濾波的作用相反，它使高頻分量順利通過，而使低頻分量受到

7、削弱。 陷波濾波器：使圖像的均值為0。,43,44,45,4.3 頻域平滑濾波器,頻域基本的濾波模型為 H(u,v) : A Filter transfer function. F(u,v) : Fourier transform of the image G(u,v) : Objective image,46,4.3.1 理想低通濾波器,D(u,v) is the distance from point (u,v) to the origin of the frequency rectangle. Image size is M*N.,二維理想低通濾波器的傳遞函數(shù),47,48,在每個點 (u

8、,v)處的能量,49,51,ILPF的模糊和振鈴現(xiàn)象可以用卷積定理來解釋。,in spatial domain,in frequency domain,52,53,4.3.2 Butterworth低通濾波器,階數(shù)為n、截止頻率為D0 的Butterworth 低通濾波器(BLPF)被定義為,54,55,57,4.3.3 Gaussian低通濾波器,二維高斯低通濾波器(GLPFs)的傳遞函數(shù)為 令 , 則,58,60,61,62,4.3.4 低通濾波器的附加例子,64,高分辨率輻射計圖像,65,4.4 頻域銳化濾波器,圖像的銳化可以通過高通濾波過程實現(xiàn)，減弱傅立葉變換的低頻成份，而不改變高頻信息。 是低通濾波的相反過程。,68,4.4.1 理想高通濾波器,2-D ideal highpass filter (IHPF) is defined as,69,4.4.2 Butterworth高通濾波器,70,4.4.3 Gaussian高通濾波器,71,4.4.4 頻域的Laplacian變換,73,4.4.4 The Laplacian in the Frequency Domain,We form an enhanced image g(x,y) by subtracting the Laplacian from the or