第13章 平面彎曲桿件的變形與剛度.ppt

1、第13章平面彎曲桿件的變形與剛度計算,主要內(nèi)容,撓曲線撓度和轉角 撓曲線的近似微分方程 積分法求梁的變形 疊加法求梁的變形 梁的剛度條件與合理剛度設計 用變形比較法解簡單超靜定梁,撓度曲線（簡稱撓曲線） 直梁在荷載的作用下，其軸線由直線變?yōu)榍€，受彎后的梁軸彎曲成連續(xù)、光滑的曲線。,w,梁變形后橫截面發(fā)生兩種位移 截面形心的線位移 截面的角位移,撓度：橫截面形心在垂直于梁初始軸線方向的位移。 撓度用w表示，常用的單位是毫米（mm）； 與w軸正向一致的撓度為正，反之為負。 轉角：橫截面相對于變形前的位置轉過的角度示。 轉角用q 表示，常用的單位是弧度（rad）； 撓曲線上某點處的斜率為正時，則該

2、處橫截面的轉角為正，反之為負。,撓曲線方程,w =w (x),撓度與轉角的關系,x,w(x),C,q (x),C1,w,小變形,O,x,撓曲線的近似微分方程,小變形,撓曲線近似微分方程,撓曲線微分方程,積分法求梁的變形, 位移邊界條件：, 連續(xù)性條件：,例13-1 懸臂梁，彎曲剛度為EI，在自由端受集中力F作用。求梁的撓曲線方程和轉角方程，并確定最大撓度和最大轉角。,建立坐標系并寫出彎矩方程,建立撓曲線近似微分方程并積分,解：,x, 應用位移邊界條件求積分常數(shù), 梁的轉角方程和撓曲線方程, 繪出梁的撓曲線示意圖，得最大撓度及最大轉角,例13-2簡支梁受均布荷載q作用，彎曲剛度為EI，求梁的最大

3、撓度及兩端截面的轉角。,建立坐標系并寫出彎矩方程,建立撓曲線近似微分方程并積分,解：, 應用位移邊界條件求積分常數(shù), 梁的轉角方程和撓曲線方程, 繪出梁的撓曲線示意圖，得最大撓度及最大轉角,例13-3 簡支梁，彎曲剛度為EI，在D處受集中力F作用，求梁的撓曲線方程和轉角方程，并確定最大撓度和最大轉角。,建立坐標系并寫出彎矩方程,解：,w,B,建立撓曲線近似微分方程并積分,連續(xù)性條件：, 確定積分常數(shù),位移邊界條件：, 梁的轉角方程和撓曲線方程,求最大轉角, 繪出梁的撓曲線示意圖，得最大撓度及最大轉角,當abl/2時，,求得 的位置。,求最大撓度,當abl/2時，,abl/2,疊加法求梁的變形,

4、疊加法：梁在幾項荷載同時作用下，某一截面的撓度及轉角就等于每項荷載單獨作用下該截面的撓度的疊加及轉角的疊加。,各種支承下靜定梁在各簡單荷載作用下的變形（表13-1）,例13-4 簡支梁，彎曲剛度為EI，承受均布荷載及集中力偶作用。用疊加法求梁跨中截面C處撓度和右端支座B處的轉角。,=,+,解：載荷分解如圖,由梁的簡單載荷變形表， 得簡單載荷引起的變形。,疊加,例13-5 簡支梁，彎曲剛度為EI。用疊加法求梁跨中截面C處撓度和兩端截面的轉角。,=,+,解：載荷分解如圖,由梁的簡單載荷變形表得變形。,疊加,練習 求A點轉角和C點撓度。,解：載荷分解如圖,由梁的簡單載荷變形表， 查簡單載荷引起的變形

5、。,q,F,F,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,疊加,梁的剛度條件與合理剛度設計,梁的剛度條件,稱為許用轉角；w/l稱為許用撓跨比。, 校核剛度, 設計截面尺寸 設計載荷,土建工程,機械制造,傳動軸在支座處,通常依此條件進行如下三種剛度計算：,例13-8由No.40a工字鋼制成的吊車大梁。已知起吊的最大重量FP=30kN，梁跨度l=10m，材料的許用應力=140MPa，彈性模量E=200GPa，梁的許用撓度與跨度之比值為w/l=1/500?？紤]梁自重的影響，試校核梁的強度和剛度。,解：,進行校核的計算簡圖,由型鋼規(guī)格表,（）校核梁的正應力強度,應用疊加法求得梁的最大彎矩值,（）校核

6、梁的剛度,應用疊加法求得梁跨中截面 處的最大撓度,該梁滿足強度要求和剛度要求。,梁的合理剛度設計,梁的彎曲變形和剛度與梁的受力、支承條件、跨度長短及梁的彎曲剛度EI有關。,梁跨度的選取 合理安排梁的約束與加載方式 合理選擇截面形狀 合理選擇材料,（1）適當減小梁的跨度，可以有效地減小梁的彎曲 變形，顯著地提高梁的剛度。,如：受均布荷載作用的簡支梁，其最大撓度與跨度的4次方成正比，若跨度縮短10，最大撓度相應減小34.4。,（2）合理安排梁的約束與加載方式，可以顯著降 低梁內(nèi)的最大彎矩，減小梁的變形。,集中載荷盡量靠近支座 將集中荷載分散 簡支梁兩端支座內(nèi)移,（）合理選擇截面形狀 用較小的面積，

7、獲得較大的慣性矩 工字形、槽形、 形截面等都比面積相等的矩形截面有更大的慣性矩 要考慮提高全長或較長范圍內(nèi)的截面慣性矩,（）合理選擇材料 選擇彈性模量高的材料，可以有效地減小梁的彎曲 變形，顯著地提高梁的剛度。 在設計中，當選用普通鋼材已能滿足強度要求時，若只是為了進一步提高梁的剛度而改用優(yōu)質鋼材，不但不經(jīng)濟，而且也達不到預期效果。,用變形比較法解簡單超靜定梁,超靜定梁：梁的支座約束力數(shù)目超過平衡方程式的數(shù)目，只憑靜力平衡方程式不能解出全部未知約束力。 多余約束: 在超靜定梁中超過維持靜力平衡所必須的約束。 多余約束力: 多余約束所對應的約束力。 超靜定次數(shù): 超靜定梁未知約束力的數(shù)目與靜力平

8、衡方程式數(shù)目的差數(shù)。等于多余約束力數(shù)。 求解超靜定梁的未知約束力，除列出靜力平衡方程外，還需根據(jù)結構的變形協(xié)調(diào)條件和力與變形間的物理關系，建立補充方程，且使補充方程的數(shù)目等于多余約束力數(shù)，才能求得全部約束力。,建立靜定基,確定超靜定次數(shù)，解除約束，用相應的多余約束力代之，把原超靜定梁在形式上轉變?yōu)殪o定系統(tǒng)（基本靜定基或靜定基）。 靜定基一般不唯一。,A,B,簡單超靜定梁的求解方法,變形協(xié)調(diào)方程,+,=,物理方程變形與力的關系,補充方程,求解其它約束力,變形協(xié)調(diào)方程,物理方程變形與力的關系,補充方程,求解其它約束力,求解其它問題,變形比較法: 變形協(xié)調(diào)條件是通過比較靜定基與原超靜定梁的變形而建立的。 （）確定超靜定次數(shù)，選擇靜定基，解除多余約束，用相應的多余約束力代替多余約束的作用。 （）求出在原荷載和多余約束力的共同作用下所引起靜定基在解除多余約束處的變形。 （）根據(jù)靜定基在解除多余約束處的變形與原超靜定梁在該處的相應變形協(xié)調(diào)的條件，并利用力與變形關系，建立補充方程。 （）由補充方程求解多余約束力。 （）由平衡方程求解其他支座約束力。,例13-9 AB梁如圖，F(xiàn)=35kN。梁和桿用同樣的鋼材制成，材料彈性模量為E，梁橫截面的慣性矩I=210-4m4，梁長l=3m，桿截面直徑d=12mm，桿長l1=2.4m。求鋼桿BC所