向量及其代數(shù)運算

1、數(shù)量關系 ,第八章,第一部分 向量代數(shù),第二部分 空間解析幾何,在三維空間中:,空間形式 點, 線, 面,基本方法 坐標法; 向量法,坐標,方程（組）,空間解析幾何與向量代數(shù),四、利用坐標作向量的線性運算,第一節(jié),一、向量的概念,二、向量的線性運算,三、空間直角坐標系,五、向量的模、方向角、投影,向量及其線性運算,第八章,表示法:,向量的模 :,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又稱矢量).,既有大小, 又有方向的量稱為向量,向徑 (矢徑):,自由向量:,與起點無關的向量.,起點為原點的向量.,單位向量:,模為 1 的向量,零向量:,模為 0 的向量,有向線段 M1 M2 ,或 a ,規(guī)定

2、: 零向量與任何向量平行 ;,記作,因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱,兩向量共線 .,若 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 ,則稱此 k,個向量共面 .,二、向量的線性運算,1. 向量的加法,三角形法則:,平行四邊形法則:,運算規(guī)律 :,交換律,結(jié)合律,三角形法則可推廣到多個向量相加 .,2. 向量的減法,三角不等式,3. 向量與數(shù)的乘法, 是一個數(shù) ,規(guī)定 :,可見,總之:,運算律 :,結(jié)合律,分配律,因此,定理1.,設 a 為非零向量 , 則,( 為唯一實數(shù)), 取 ,且,再證數(shù) 的唯一性 .,則,取正號, 反向時取負號,則,例1. 設 M 為,解:,三、空間直角坐標系

3、,由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則,組成一個空間直角坐標系.,坐標原點,坐標軸,x軸(橫軸),y軸(縱軸),z 軸(豎軸),過空間一定點 o ,坐標面,卦限(八個),zox面,1. 空間直角坐標系的基本概念,向徑,在直角坐標系下,坐標軸上的點 P, Q , R ;,坐標面上的點 A , B , C,點 M,特殊點的坐標 :,有序數(shù)組,(稱為點 M 的坐標),原點 O(0,0,0) ;,坐標軸 :,坐標面 :,2. 向量的坐標表示,在空間直角坐標系下,設點 M,則,沿三個坐標軸方向的分向量.,的坐標為,四、利用坐標作向量的線性運算,設,則,平行向量對應坐標成比例:,例2. 已知兩點,在AB直線上求

4、一點 M , 使,解: 設 M 的坐標為,如圖所示,及實數(shù),得,即,說明: 由,得定比分點公式:,點 M 為 AB 的中點 ,于是得,中點公式:,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模與兩點間的距離公式,則有,由勾股定理得,因,得兩點間的距離公式:,對兩點,與,例3. 在 z 軸上求與兩點,等距,解: 設該點為,解得,故所求點為,及,思考:,(1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點的軌跡方程?,(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程 ?,離的點 .,提示:,(1) 設動點為,利用,得,(2) 設動點為,利用,得,且,例4. 已知兩點,和,解:,求,2. 方向角與方向余弦,設有兩非零向量,任取空間一點 O ,稱 =AOB (0 ) 為向量,的夾角.,類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 .,與三坐標軸的夾角 , , ,為其方向角.,方向角的余弦稱為其方向余弦.,方向余弦的性質(zhì):,例5. 已知兩點,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,計算向量,例6. 設點 A 位于第一卦限,解: 已知,角依次為,求點 A 的坐標 .,則,因點 A 在第一卦限 ,故,于是,故點 A 的坐標為,向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾,練習題,解: 因,1. 設,求向量,在 x 軸上的投影及在 y,軸上的分向量.,在