高三數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)課件第6章第四講數(shù)列的綜合應(yīng)用

1、目 錄 Contents,考情精解讀,A.題型全突破,考法1,考法2,考法4,考法3,考情精解讀,考綱解讀,命題趨勢(shì),命題規(guī)律,數(shù)學(xué),能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.,第六章第三講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和,考綱解讀,命題規(guī)律,命題趨勢(shì),數(shù)學(xué),第六章第三講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和,考綱解讀,命題規(guī)律,返回目錄,1.熱點(diǎn)預(yù)測(cè)(1)預(yù)計(jì)高考仍會(huì)對(duì)本講重點(diǎn)考查,多為等差、等比數(shù)列基本運(yùn)算的綜合題以及相互之間的轉(zhuǎn)化.(2)適度創(chuàng)新的數(shù)列綜合題與數(shù)列應(yīng)用題可能會(huì)成為高考命題的新熱點(diǎn).題型為解答題,分值約為12分. 2.趨勢(shì)分析數(shù)列的應(yīng)用及數(shù)列與函數(shù)等的綜合命題趨

2、勢(shì)較強(qiáng),2018年高考復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以高度關(guān)注.,命題趨勢(shì),數(shù)學(xué),第六章第三講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和,題型全突破,考法一等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法指導(dǎo)1.在解決等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題時(shí),經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識(shí)”“需要什么,就求什么”,往往能取得與“巧用性質(zhì)”相同的解題效果. 2.等差數(shù)列與等比數(shù)列之間是可以相互轉(zhuǎn)化的,即an為等差數(shù)列 (a0且a1)為等比數(shù)列;an為正項(xiàng)等比數(shù)列l(wèi)ogaan(a0且a1)為等差數(shù)列.,數(shù)學(xué) 第六章第四講 數(shù)列的綜合應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第六章第四講 數(shù)列的綜合應(yīng)用,考法示例1數(shù)列an的前n

3、項(xiàng)和記為Sn,a1=1,an+1=2Sn+1 (n1). (1)求an的通項(xiàng)公式; (2)等差數(shù)列bn的各項(xiàng)為正,其前n項(xiàng)和為Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數(shù)列,求Tn. 思路分析(1)根據(jù)已知的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式;(2)根據(jù)等比關(guān)系列方程求公差,則前n項(xiàng)和易求. 解析(1)由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1 (n2), 兩式相減得an+1-an=2an,則an+1=3an (n2). 又a2=2S1+1=3,所以a2=3a1. 故an是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,所以an=3n-1. (2)設(shè)bn的公差為d.,繼續(xù)學(xué)習(xí),由T3=15,即b1+b

4、2+b3=15,可得b2=5, 故b1=5-d,b3=5+d. 又a1=1,a2=3,a3=9, 由a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數(shù)列可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2, 解得d=2或d=-10. 因?yàn)榈炔顢?shù)列bn的各項(xiàng)為正,所以d0. 所以d=2,b1=3,所以Tn=3n+ (1) 2 2=n2+2n. 點(diǎn)評(píng)對(duì)等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題的分析,應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和;分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系,往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.,數(shù)學(xué) 第六章第四講 數(shù)列的綜合應(yīng)用,數(shù)學(xué) 第六章第四講 數(shù)列的綜合應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法示例2在等差數(shù)列an中,a10=30,a

5、20=50. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)令bn= 2 10 ,證明:數(shù)列bn為等比數(shù)列; (3)求數(shù)列nbn的前n項(xiàng)和Tn. 思路分析 (1)設(shè)出數(shù)列an的通項(xiàng)公式 -結(jié)合已知條件列方程組即可求解 (2)由(1)寫出bn的表達(dá)式 -利用定義法證明 (3)寫出Tn的表達(dá)式- 考慮用錯(cuò)位相減法求解 解析(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,則an=a1+(n-1)d,由a10=30,a20=50,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第六章第四講 數(shù)列的綜合應(yīng)用,得方程組 1 +9=30, 1 +19=50, 解得 1 =12, =2. 所以an=12+(n-1)2=2n+10. (2)由(1),得bn= 2 10 =

6、22n+10-10=22n=4n, 所以 +1 = 4 +1 4 =4. 所以bn是首項(xiàng)為4,公比為4的等比數(shù)列. (3)由nbn=n4n,得Tn=14+242+n4n, 4Tn=142+(n-1)4n+n4n+1, -,得-3Tn=4+42+4n-n4n+1= 4(1 4 ) 3 -n4n+1. 所以Tn= (31) 4 +1 +4 9 .,【突破攻略】,在等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題中,如果等比數(shù)列的公比不能確定,則要看其是否有等于1的可能,在數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示也要注意.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第六章第四講 數(shù)列的綜合應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法指導(dǎo) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式,

7、(1)若已知遞推關(guān)系,則其解法詳見高考幫P162【思想方法】?jī)?nèi)容;(2)若已知an和Sn的關(guān)系,其解法詳見高考幫P160考法2的考法指導(dǎo);(3)若數(shù)列是等差或等比數(shù)列,則可以通過(guò)數(shù)列的基本運(yùn)算求解.關(guān)于數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解,前幾講已經(jīng)詳細(xì)介紹,這里以數(shù)列的求和為主,常用的數(shù)列求和方法有錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法等. 1.錯(cuò)位相減法求和 一般地,如果數(shù)列an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí),可采用錯(cuò)位相減法求和,一般是在等式的兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比,然后作差求解.若bn的公比為參數(shù)(字母),則應(yīng)對(duì)公比分等于1和不等于1兩種情況分別求和.,數(shù)學(xué) 第六章第四講 數(shù)

8、列的綜合應(yīng)用,考法二數(shù)列的通項(xiàng)與求和,2.裂項(xiàng)相消法求和 (1)把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,相加過(guò)程中消去中間項(xiàng),只剩有限項(xiàng)再求和,分式數(shù)列的求和多用此法. (2)利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),也有可能前面剩兩項(xiàng),后面也剩兩項(xiàng).有些情況下,裂項(xiàng)時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等. (3)常見的拆項(xiàng)公式 1 (+1) = 1 - 1 +1 ; 1 (+) = 1 ( 1 - 1 + ); 1 (21)(2+1) = 1 2 ( 1 21 - 1 2+1 );,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第六章第四講 數(shù)列的綜合應(yīng)用, 1 + +1 = +1 - ;

9、 1 (+1)(+2) = 1 2 1 (+1) - 1 (+1)(+2) ; 2 ( 2 1)( 2 +1 1) = 1 2 1 - 1 2 +1 1 ; 若an為等差數(shù)列,公差為d(d0),則 1 +1 = 1 ( 1 - 1 +1 ). 3.分組求和法求和 數(shù)列的通項(xiàng)較復(fù)雜時(shí),把原數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)(或多項(xiàng))的和或差,從而將原數(shù)列分解成兩個(gè)(或多個(gè))數(shù)列的和或差,而這兩個(gè)(或多個(gè))數(shù)列或者是等差數(shù)列、等比數(shù)列,或者是已知其和,求出這兩個(gè)(或多個(gè))數(shù)列的和,再相加或相減,得到原數(shù)列和的方法便是分組求和法.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第六章第四講 數(shù)列的綜合應(yīng)用,考法示例3已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列a

10、n,bn(bn0,nN*)滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. (1)令cn= ,求數(shù)列cn的通項(xiàng)公式; (2)若bn=3n-1,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn. 解析(1)因?yàn)閍nbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn0(nN*), 所以 +1 +1 - =2,即cn+1-cn=2. 所以數(shù)列cn是首項(xiàng)c1=1,公差d=2的等差數(shù)列,故cn=2n-1. (2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1, 于是數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=130+331+532+(2n-1)3n-1, 3Sn=131+332+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n, -,得-2Sn=

11、1+2(31+32+3n-1)-(2n-1)3n=-2-(2n-2)3n, 所以Sn=(n-1)3n+1.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第六章第四講 數(shù)列的綜合應(yīng)用,考法示例4已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項(xiàng)和為Sn,且S1,S2,S4成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)令bn=(-1)n-1 4 +1 ,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn. 解析(1)因?yàn)镾1=a1,S2=2a1+ 21 2 2=2a1+2, S4=4a1+ 43 2 2=4a1+12, 由題意得(2a1+2)2=a1(4a1+12), 解得a1=1,所以an=2n-1.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第六章第四講 數(shù)列的綜合應(yīng)用,(2)bn=

12、(-1)n-1 4 +1 =(-1)n-1 4 (21)(2+1) =(-1)n-1( 1 21 + 1 2+1 ). 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), Tn=(1+ 1 3 )-( 1 3 + 1 5 )+( 1 23 + 1 21 )-( 1 21 + 1 2+1 )=1- 1 2+1 = 2 2+1 . 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn=(1+ 1 3 )-( 1 3 + 1 5 )+-( 1 23 + 1 21 )+( 1 21 + 1 2+1 )=1+ 1 2+1 = 2+2 2+1 . 所以Tn= 2+2 2+1 ,為奇數(shù), 2 2+1 ,為偶數(shù). (或Tn= 2+1+(1 ) 1 2+1 ),繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第

13、六章第四講 數(shù)列的綜合應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第六章第四講 數(shù)列的綜合應(yīng)用,考法示例5已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= 2 + 2 ,nN*. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn= 2 +(-1)nan,求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和. 解析(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1; 當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1= 2 + 2 - (1 ) 2 +(1) 2 =n. 故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n. (2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn.記數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和為T2n,則T2n=(21+22+22n)+(-1+2-3+4-+2n). 記A=21+22+22n,B=-1+2-3+4-+2n,則A= 2

14、(1 2 2 ) 12 =22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+-(2n-1)+2n=n.故數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2n=A+B=22n+1+n-2.,考法指導(dǎo) 1.數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)的一類函數(shù),數(shù)列的通項(xiàng)公式相當(dāng)于函數(shù)的解析式,所以我們可以用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)研究數(shù)列.例如,要研究數(shù)列的單調(diào)性、周期性,可以通過(guò)研究其通項(xiàng)公式所對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、周期性來(lái)實(shí)現(xiàn).但要注意數(shù)列與函數(shù)的不同,數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù),在解決問(wèn)題時(shí)要注意這一特殊性. 2.數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn).考查方式主要有三種: 一是判斷數(shù)列問(wèn)題中的一些不等關(guān)系,可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小,或

15、者借助數(shù)列對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性比較大小; 二是以數(shù)列為載體,考查不等式的恒成立問(wèn)題,此類問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題; 三是考查與數(shù)列問(wèn)題有關(guān)的不等式的證明問(wèn)題,此類問(wèn)題常通過(guò)構(gòu)造函數(shù)證明,或者直接利用放縮法證明.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第六章第四講 數(shù)列的綜合應(yīng)用,考法3 數(shù)列與函數(shù)、不等式等的綜合應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法示例6設(shè)f(x)= (+2) ,且f(x)=x有唯一解,f(x1)= 1 1 003 ,xn+1=f(xn)(nN*). (1)求實(shí)數(shù)a的值; (2)求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式; (3)若an= 4 -4 009,數(shù)列b1,b2-b1,b3-b2,bn-bn-1是首項(xiàng)為1,公比為 1 3 的等比

16、數(shù)列,記cn=anbn,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn. 解析(1)由題意知 (+2) =x有唯一解, 方程ax2+(2a-1)x=0有唯一解x=0,a= 1 2 . (2)由已知得xn+1= 2 +2 , 1 +1 = 1 + 1 2 , 又f(x1)= 1 1 003 ,即 1 1 = 2 005 2 ,數(shù)學(xué) 第六章第四講 數(shù)列的綜合應(yīng)用, 1 = 1 1 + 1 2 (n-1)= +2 004 2 , xn= 2 +2 004 . (3)由(2)可得an=2n-1, 又bn=b1+(b2-b1)+(bn-bn-1)= 3 2 (1- 1 3 ), cn=anbn= 3 2 (2n-1- 21

17、3 ), 數(shù)列2n-1的前n項(xiàng)和T1=1+3+5+2n-1=n2, 數(shù)列 21 3 的前n項(xiàng)和T2= 1 3 + 3 3 2 + 21 3 =1- +1 3 ,Sn= 3 2 (n2-1+ +1 3 ).,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第六章第四講 數(shù)列的綜合應(yīng)用,數(shù)學(xué) 第六章第四講 數(shù)列的綜合應(yīng)用,返回目錄,考法示例7已知an是由正數(shù)組成的數(shù)列,a1=1,且點(diǎn)( ,an+1)(nN*)在函數(shù)y=x2+1的圖象上. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列bn滿足b1=1,bn+1=bn+ 2 ,求證:bnbn+2 +1 2 . 思路分析 (1)由點(diǎn)在函數(shù)圖象上即可得出an+1與an的關(guān)系 寫出通項(xiàng)公式

18、(2)結(jié)合(1)找出bn+1與bn的關(guān)系式,從而可得bn 利用作差法比較大小 解析(1)由已知,得an+1=an+1,即an+1-an=1, 又a1=1,所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列. 故an=1+(n-1)1=n.,(2)由(1),知an=n,從而bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+2+1= 1 2 12 =2n-1. 因?yàn)閎nbn+2- +1 2 =(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-22n+1+1)=-52n+42n=-2n0,所

19、以bnbn+2 +1 2 .,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第六章第四講 數(shù)列的綜合應(yīng)用,考法指導(dǎo) 現(xiàn)實(shí)生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤(rùn)、人口增長(zhǎng)、產(chǎn)品產(chǎn)量等問(wèn)題,常?？紤]用數(shù)列的知識(shí)去解決. 1.數(shù)列實(shí)際應(yīng)用中的常見模型 (1)等差模型:如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的數(shù),則該模型是等差模型,這個(gè)固定的數(shù)就是公差; (2)等比模型:如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù),則該模型是等比模型,這個(gè)固定的數(shù)就是公比; (3)遞推數(shù)列模型:如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定,隨項(xiàng)的變化而變化,則應(yīng)考慮是第n項(xiàng)an與第n+1項(xiàng)an+1的遞推關(guān)系還是前n項(xiàng)和Sn與前n+1項(xiàng)和Sn+1之間的遞推關(guān)系.

20、,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第六章第四講 數(shù)列的綜合應(yīng)用,考法4 等差、等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第六章第四講 數(shù)列的綜合應(yīng)用,2.解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題的步驟 (1)審題:仔細(xì)閱讀材料,認(rèn)真理解題意; (2)建模:將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語(yǔ)言,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題; (3)求解:求出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)解; (4)還原:將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問(wèn)題中. 在實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)列模型時(shí),一般有兩種途徑:一是從特例入手,歸納猜想,再推廣到一般結(jié)論;二是從一般入手,找到遞推關(guān)系,再進(jìn)行求解.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第六章第四講 數(shù)列的綜合應(yīng)用,考法示例8某企業(yè)為了進(jìn)行技術(shù)改造,設(shè)計(jì)了兩種方案,甲方案:一次性貸款10萬(wàn)元,第一年便可獲利1萬(wàn)元,以后每年比前一年增加30%的利潤(rùn);乙方案:每年貸款1萬(wàn)元,第一年可獲利1萬(wàn)元,以后每年比前一年增加5千元.兩種方案的使用期都是10年,到期一次性歸還本息.若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計(jì)算,試比較兩種