二項式系數(shù)與各項的系數(shù)辨析

1、全方位課外輔導(dǎo)體系 Comprehensive Tutoring Operation System 二項式系數(shù)與各項的系數(shù)辨析一、基礎(chǔ)知識1、二項式系數(shù)與各項的系數(shù)的區(qū)別：二項展開式中各項的二項式系數(shù)為 ，它只與各項的項數(shù)有關(guān)，而與的值無關(guān)；而各項的系數(shù)則不僅與各項的項數(shù)有關(guān)，而且也與的值有關(guān)，當(dāng)然，在某些二項展開式（如是系數(shù)為1的單項式）中，各項的系數(shù)與二項式系數(shù)是相等的。2、二項式系數(shù)性質(zhì)：(1)對稱性：與首末兩端等距的兩項，二項式系數(shù)相同，即；(2)單調(diào)性：二項式系數(shù)先單增，后單減；當(dāng)為偶數(shù)時，中間項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大(3)所有二項式系數(shù)之和為，即(4

2、)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和，均為；即；二、有關(guān)二項式系數(shù)的性質(zhì)及計算的問題：例1、的展開式中第6項與第7項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項。分析：根據(jù)已知條件可求出，再根據(jù)的奇偶性；確定二項式系數(shù)最大的項.解：，依題意有的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為；設(shè)第項系數(shù)最大，則有.系數(shù)最大的項為.【評注】：、求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大；為偶數(shù)時中間一項的二項式系數(shù)最大。、求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需根據(jù)各項系數(shù)的正、負變化情況，一般采用列不等式，解不等式的方法求得。例2、在的展開式中的

3、系數(shù)為（ ）A、160 B、240 C、360 D、800分析：本題考查二項式定理的通項公式的運用.應(yīng)想辦法將三項式化為二項式求解.解：由 ，知的展開式中x的系數(shù)為，常數(shù)項為1，的展開式中的系數(shù)為，常數(shù)項為.因此原式中x的系數(shù)為?！驹u注】：多項展開通常轉(zhuǎn)化為二項展開，轉(zhuǎn)化的方式通常是配方，因式分解等.例3、已知，求(1) ；(2) ；(3) 分析：由對于而言是一個恒等式，于是通過的取值可進行求解解：(1)，令，得。令 得，。(2)令，得；由上式得；(3) ?！驹u注】：在解決與系數(shù)有關(guān)的問題時，常用“賦值法”，這種方法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法例4、設(shè)，若其展開式中關(guān)于的一次項的系數(shù)和為11，問為何值時，含項的系數(shù)取最小值？并求這個最小值。分析：根據(jù)已知條件得到的系數(shù)關(guān)于的二次表達式，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)探討最小值問題。解： ，項的系數(shù)取最小值，最小值為25?！驹u注】：二次函數(shù)的對稱軸方程為，即x=5.5，由于5、6距5.5等距離，且對， 距5.5最近，所以的最小