暑期集體備課--行程、工程

1、精品 料推薦行程問題串講（1）行程要素基本關(guān)系和常見方法知識點撥本節(jié)課我們學(xué)習(xí)5 個基礎(chǔ)的行程類型并嘗試深刻理解行程三要素之間的對應(yīng)關(guān)系。行程問題之所以難， 因為孩子們無法參與進來， 即使讀懂了題目， 清楚題目描述的行程過程，但仍舊無法有效的將這些信息聯(lián)系起來理不清已知信息之間的變化和關(guān)系。行程常用的三個技巧：1、方程高效地設(shè)未知數(shù)，直接正面列關(guān)系等式建立方程。因是直接正面找等量關(guān)系所以好想。2、比例行程三要素間有嚴格對應(yīng)的比例關(guān)系，解釋一下什么叫嚴格對應(yīng)：相同的速度下可視為一個行程過程， 不同的速度視為不同的行程過程， 即速度發(fā)生變化時當分開討論計算。3、設(shè)數(shù)設(shè)具體的數(shù)據(jù)，參與行程過程，能解

2、決不少問題或幫助解決問題，即體驗行程過程中量之間的關(guān)系。讀完行程問題， 清楚題目描述的行程過程后，第一件事情是畫圖。一般情況是邊讀題邊畫圖。美觀的示意圖有助于理清行程量之間的關(guān)系。比如畫線段表示 50 千米，再畫線段表示 100 千米時盡量畫成前一線段長度的兩倍。1精品 料推薦【行程問題串講總覽】1. 行程要素基本關(guān)系和常見方法2. 相遇和追及3. 多次相遇和追及4. 多人相遇和追及5. 比例解行程問題以上是五種模型和常見行程問題的分析方法以下是上面的方法和模型在特殊場地的應(yīng)用6. 火車問題7. 流水行船8. 獵狗追兔9. 環(huán)形跑道10. 走走停停11. 變速問題12. 扶梯問題13. 發(fā)車間

3、隔14. 接送問題15. 時鐘問題2精品 料推薦例題精講【行程三要素及通過平均速度加深對三要素之間關(guān)系的理解】一、 s 、 v 、 t 探源我們經(jīng)常在解決行程問題的過程中用到s 、 v 、 t 三個字母，并用它們來分別代表路程、速度和時間。 那么，為什么分別用這三個字母對應(yīng)這三個行程問題的基本量呢？今天我們就一起了解一下。表示時間的t ，這個字母t 代表英文單詞time ，翻譯過來就是時間的意思。表示速度的字母v ，對應(yīng)的單詞同學(xué)們可能不太熟悉，這個單詞是velocity ，而不是我們常用來表示速度的speed 。 velocity 表示物理學(xué)上的速度。與路程相對應(yīng)的英文單詞，一般來說應(yīng)該是

4、distance，但這個單詞并不是以字母s 開頭的。關(guān)于為什么會用s 來代表路程，有一個比較讓人接受的說法，就是在行程問題的公式中，代表速度的v 和代表時間的t 在字母表中比較接近，所以就選取了跟這兩個字母位置都比較接近的s 來表示速度。二、關(guān)于 s、 v、 t 三者的基本關(guān)系速度 時間 =路程路程 速度 =時間路程 時間 =速度可簡記為： s = vt可簡記為： t = s v可簡記為： v = s t三、平均速度平均速度的基本關(guān)系式為：平均速度總路程總時間；總時間總路程平均速度；總路程平均速度總時間。1.郵遞員早晨7 時出發(fā)送一份郵件到對面山里，從郵局開始要走12 千米上坡路， 8 千米下

5、坡路。他上坡時每小時走4 千米，下坡時每小時走5 千米，到達目的地停留1 小時以后，又從原路返回，郵遞員什么時候可以回到郵局?2.一個人站在鐵道旁,聽見行近來的火車汽笛聲后,再過 57 秒鐘火車經(jīng)過他面前.已知火車汽笛時離他1360 米 ;(軌道是筆直的)聲速是每秒鐘340 米 ,求火車的速度?(得數(shù)保留整數(shù))3.四年級一班在劃船比賽前討論了兩個比賽方案.第一個方案是在比賽中分別以2 米 / 秒和 3 米 / 秒的速度各劃行賽程的一半；第二個方案是在比賽中分別以2 米 / 秒和 3 米 / 秒的速度各劃行比賽時間的一半.你認為這兩個方案哪個好？4.甲從 a 地出發(fā)去80 千米外的b 地，前一半

6、時間速度為60 千米 / 時，后一半時間速度為100 千米，問：甲走前一半路程用了多少時間？5.甲從 a 地出發(fā)去80 千米外的b 地，前一半路程速度為60 千米 / 時，后一半路程速度為100 千米，問：甲走后一半時間走了多少路程？3精品 料推薦6. （ 2007年 4 月 “希望杯 ”四年級 2 試）趙伯伯為了鍛煉身體，每天步行3小時，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回假設(shè)趙伯伯在平路上每小時行4千米，上山每小時行3 千米，下山每小時行6 千米，在每天鍛煉中，他共行走多少千米？7.甲乙兩地相距60 千米，小汽車8 點整從甲地出發(fā)到乙地去，前一半時間每分鐘行1 千米，后一半時間每分鐘行0

7、.8 千米。小汽車到達乙地的時間是幾點？(一題三解，方程、比例、平均速度）8.小紅上山時每走 30 分鐘休息 10 分鐘，下山時每走 30 分鐘休息 5 分鐘已知小紅下山的速度是上山速度的 1.5 倍，如果上山用了 3 小時 50 分，那么下山用了多少時間？9.(華杯賽試題 )某人由甲地去乙地，如果他從甲地先騎摩托車行12 小時，再換騎自行車行 9 小時，恰好到達乙地， 如果他從甲地先騎自行車21 小時， 再換騎摩托車行 8 小時，也恰好到達乙地，問：全程騎摩托車需要幾小時到達乙地？10.一輛汽車從甲地開往乙地，如果把車速提高20%，那么可比原定時間提前1 小時到達；如果以原速行駛 100 千

8、米后再將速度提高30%，那么也比原定時間提前一小時到達。求甲乙兩地距離。行程問題串講（2）相遇與追及例題精講1、 a、b 兩地相距 4800 米，甲乙兩人分別從a、b 兩地同時出發(fā)，相向而行，如果甲每分鐘走 60 米，乙每分鐘走 100 米，請問：（ 1）甲從 a 走到 b 需要多長時間？（ 2）兩個人從出發(fā)到相遇需要多長時間？2、在第 2 題中，如果甲、乙兩人的速度大小不變，但甲出發(fā)時方向改變，即兩人同時同向出發(fā)。請問：乙出發(fā)后多久可追上甲？3、甲乙兩地相距 350 千米，一輛汽車早上 8 點從甲地出發(fā)，以每小時 40 千米的速度開往乙地。 2 小時后另一輛汽車以每小時 50 千米的速度從乙

9、地開往甲地。什么時候兩車在途中相遇？4、小悅和東東分別從相距720 米的兩地出發(fā)同向而行，且東東比小悅先出法2 分鐘。已知小悅的速度是每分鐘 60 米，東東的速度是每分鐘 50 米。問，當小悅追上東東的時候，東東已經(jīng)走了多少米？4精品 料推薦5、一輛公共汽車和一輛小轎車和相距350 千米的兩地同時出發(fā)，同向而行。公共汽車在前每小時行 40 千米，小轎車在后，每小時行60 千米。問，（1）2 小時后兩車相距多少千米？（2）經(jīng)過幾小時后兩車相距50 千米？6、甲乙兩人分別在a 地和 b 地，甲從 a 地到 b 地需要 20 分鐘，乙從 b 地到 a 地需要 30 分鐘。如果兩個人同時出發(fā)相向而行，

10、多長時間可以相遇？7、甲、乙兩車分別從a、 b 兩地同時出發(fā)相向而行。已知甲車每小時行駛40 千米，兩車 6小時后相遇，相遇后他們繼續(xù)前進，又過了3 個小時，甲車到達 b 地。問，乙車還需要多久到 b 地？8、甲、乙兩車分別從a、 b 兩地同時出發(fā)相向而行。已知甲每分鐘走50 米，已走完全程需要 18 分鐘。出發(fā) 3 分鐘后，甲、乙仍相距 450 米。問，還需要多少分鐘甲、乙兩人才能相遇？9、甲、乙兩人分別從a、 b 兩地同時出發(fā)，6 小時后相遇在中點。如果甲延遲1 小時出發(fā)，乙每小時少走4 千米，兩人仍在中點相遇。問，甲、乙兩地相距多少千米？10、甲、乙兩車分別從a、b 兩站同時出發(fā)，相向而

11、行。已知，甲的速度是乙車的2 倍，甲、乙到達途中c 點的時間依次為5:00 和 17:00 。問，兩車是幾點相遇的？11、甲、乙兩人分別由 a、b 兩地同時出發(fā)，如果相向而行， 1 小時后兩人相遇。如果同向而行，且乙先出發(fā) 2 小時，那么甲 3 小時后追上乙。問，甲的速度是乙的幾倍？行程問題串講（3）多次相遇和追及知識點撥4、學(xué)會畫圖解行程題5、能夠利用柳卡圖解決多次相遇和追及問題6、能夠利用比例解多人相遇和追及問題例題精講1. 甲乙兩名同學(xué)在周長為 300 米圓形跑道上從同一地點同時背向練習(xí)跑步，甲每秒鐘跑3.5米，乙每秒鐘跑 4 米，問：他們第十次相遇時，甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點？5精

12、品 料推薦2.甲乙兩人在相距90 米的直路上來回跑步， 甲的速度是每秒3 米，乙的速度是每秒2 米如果他們同時分別從直路兩端出發(fā)，10 分鐘內(nèi)共相遇幾次？3. 甲乙二人以均勻的速度分別從a、 b 兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點離a 地 6 千米，相遇后二人繼續(xù)前進，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距b 地 4 千米處第二次相遇，求兩人第5 次相遇地點距b 多遠 .4.甲乙兩人分別從 a 、 b 兩地同時出發(fā)相向而行，乙的速度是甲的2 ，二人相遇后繼續(xù)3行進，甲到 b 地、乙到 a 地后立即返回已知兩人第二次相遇的地點距第三次相遇的地點是 100 千米，那么， a 、 b 兩地相距千米5

13、.ab 是圓的直徑的兩端，小張在a 點，小王在b 點同時出發(fā)反向行走，他們在c 點第一次相遇， c 離 a點 80 米；在d 點第二次相遇，d 點離 b 點 6o米. 求這個圓的周長 .6.(2008 年國際小學(xué)數(shù)學(xué)競賽) a 、 b 兩地相距950m ，甲、乙兩人同時從a 地出發(fā)，往返 a 、 b 兩地跑步 90 分鐘甲跑步的速度是每分鐘40m ；乙跑步的速度是每分鐘150m 在這段時間內(nèi)他們面對面相遇了數(shù)次，請問在第幾次相遇時他們離b 點的距離最近？最近距離是多少？b 級挑戰(zhàn)題?a 、 b 兩地間有條公路，甲從a 地出發(fā)，步行到b 地，乙騎摩托車從b 地出發(fā)，不停地往返于 a 、 b 兩地

14、之間，他們同時出發(fā)，80 分鐘后兩人第一次相遇，100 分鐘后乙第一次追上甲，問：當甲到達b 地時，乙追上甲幾次？a 級挑戰(zhàn)題? (仁華入學(xué)試題 )甲、乙兩車同時從同一點 a 出發(fā)，沿周長 6 千米的圓形跑道以相反的方向行駛甲車每小時行駛65 千米，乙車每小時行駛55 千米一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面追上乙車，則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第11 次相遇的地點距離a 點有多少米？ (每一次甲車追上乙車也看作一次相遇)6精品 料推薦行程問題串講（4）多人相遇和追及知識點撥7、能夠?qū)W(xué)過的簡單相遇和追及問題進行綜合運用8、根據(jù)題意能夠畫出多人相遇和追及的示意圖9、能將復(fù)雜的多人

15、相遇問題轉(zhuǎn)化多個簡單相遇和追及環(huán)節(jié)進行解題。例題精講1.李華步行以每小時 4 千米的速度從學(xué)校出發(fā)到20.4千米處的冬令營報到。半小時后，營地老師聞訊前往迎接，每小時比李華多走1.2 千米。又過了 1.5小時， 張明從學(xué)校騎車去營地報到。結(jié)果三人同時在途中某地相遇。問騎車人每小時行駛多少千米？2.有甲、乙、丙 3 人，甲每分鐘走 100 米，乙每分鐘走80 米，丙每分鐘走 75 米現(xiàn)在甲從東村，乙、丙兩人從西村同時出發(fā)相向而行，在途中甲與乙相遇6 分鐘后，甲又與丙相遇 . 那么，東、西兩村之間的距離是多少米?3.甲乙丙三人，甲每分鐘走40 米，丙每分鐘走60 米，甲、乙兩人從a、 b 地同時出

16、發(fā)相向而行，他們出發(fā) 15 分鐘后，丙從 b 地出發(fā)追趕乙。此后甲、乙在途中相遇，過了7分鐘甲又和丙相遇，又過了63 分鐘丙才追上乙，那么a、 b 兩地相距多少米？4. 甲乙丙三輛車同時從 a 地出發(fā)到 b 地去，甲、乙兩車的速度分別為 60 千米時和 48千米時。有一輛迎面開來的卡車分別在他們出發(fā)后5 時、 6 時、 8 時先后與甲、乙、丙三輛車相遇。求丙車的速度。5.甲乙丙在湖邊散步，三人同時從同一點出發(fā)，繞湖行走， 甲速度是每小時5.4 千米， 乙速度是每小時4.2 千米，她們二人同方向行走，丙與她們反方向行走，半個小時后甲和丙相遇，在過5 分鐘，乙與丙相遇。那么繞湖一周的行程是多少？6

17、. （仁華學(xué)校期末考試四年級試題）甲、乙、丙、丁 4 人在河中先后從同一個地方同速同向游泳，現(xiàn)在甲距起點 78 米，乙距起點 27 米，丙距起點 23 米，丁距起點 16 米那么當甲、乙、丙、丁各自繼續(xù)游泳米時，甲距起點的距離剛好為乙、丙、丁3人距起點的距離之和7精品 料推薦7.ab兩地相距 336 千米，有甲、乙、丙3 人，甲、乙從 a 地，丙從b 地同時出發(fā)相向而行，已知甲每小時行36 千米，乙每小時行 30 千米，丙每小時行24 千米，問幾個小時后，丙正好處于甲、乙之間的中點？8.（ 2007年“希望杯”第一試）a 、 b 兩地相距 203米，甲、乙、丙的速度分別是4 米 /分、 6 米

18、 / 分、 5 米/ 分。如果甲、乙從a ，丙從 b 地同時出發(fā)相向而行。問，多少分鐘后，丙與乙的距離是丙與甲的距離的2 倍。9.甲乙丙三輛車先后從a 地開往 b 地，乙比丙晚出發(fā) 5 分，出發(fā)后45 分追上丙；甲比乙晚出發(fā) 15 分，出發(fā)后1 時追上乙。甲和丙的速度比是多少？10. 甲乙丙三車同時從 a 地沿同一公路開往 b 地，途中有個騎摩托車的人也在同方向行進，這三輛車分別用7分鐘、 8 分鐘、 14 分鐘追上騎摩托車人。已知甲車每分鐘行1000 米，丙車每分鐘行800米，求乙速車的速度是多少？c 級挑戰(zhàn)題(2008年三帆中學(xué)考題) 甲、乙、丙三人沿湖邊一固定點出發(fā)，甲按順時針方向走，乙

19、與丙按逆時針方向走 甲第一次遇到乙后又走了 1 分 15 秒遇到丙，再過 3 分 45 秒第二次遇到乙 已知甲、乙的速度比是 3: 2 ，湖的周長是 600 米，求丙的速度b 級挑戰(zhàn)題( 仁華測試題）甲、乙兩人從相距490 米的 a 、 b 兩地同時步行出發(fā)，相向而行，丙與甲同時從 a 出發(fā)，在甲、乙二人之間來回跑步 ( 遇到乙立即返回， 遇到甲也立即返回 ) 已知丙每分鐘跑 240 米，甲每分鐘走 40 米，當丙第一次折返回來并與甲相遇時， 甲、乙二人相距 210米，那么乙每分鐘走_米；甲下一次遇到丙時，甲、乙相距_米a 級挑戰(zhàn)題(2009年迎春杯復(fù)賽高年級組) 一條路上有東、西兩鎮(zhèn)一天，甲

20、、乙、丙三人同時出發(fā)，甲、乙從東鎮(zhèn)向西而行，丙從西鎮(zhèn)向東而行，當甲與丙相遇時，乙距他們20 千米，當乙與丙相遇時， 甲距他們30 千米當甲到達西鎮(zhèn)時，丙距東鎮(zhèn)還有20 千米， 那么當丙到達東鎮(zhèn)時，乙距西鎮(zhèn)千米丙甲乙afcedb8精品 料推薦工程問題知識點撥工程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點，是分數(shù)應(yīng)用題的引申與補充，是培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維能力的重要工具。工程問題是把工作總量看成單位“ 1 ”的應(yīng)用題，它具有抽象性，學(xué)生認知起來比較困難。在教學(xué)中，讓學(xué)生建立正確概念是解決工程應(yīng)用題的關(guān)鍵。一 工程問題的基本概念定義： 工程問題是指用分數(shù)來解答有關(guān)工作總量、工作時間和工作效率之間相互關(guān)系的問題。

21、工作總量：一般抽象成單位“1”工作效率：單位時間內(nèi)完成的工作量三個基本公式：工作總量=工作效率工作時間，工作效率 =工作總量工作時間，工作時間 =工作總量工作效率；二、為了學(xué)好分數(shù)、百分數(shù)應(yīng)用題，必須做到以下幾方面： 具備整數(shù)應(yīng)用題的解題能力，解決整數(shù)應(yīng)用題的基本知識，如概念、性質(zhì)、法則、公式等廣泛應(yīng)用于分數(shù)、百分數(shù)應(yīng)用題； 在理解、掌握分數(shù)的意義和性質(zhì)的前提下靈活運用； 學(xué)會畫線段示意圖線段示意圖能直觀地揭示“量”與“百分率”之間的對應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)量與百分率之間的隱蔽條件，可以幫助我們在復(fù)雜的條件與問題中理清思路，正確地進行分析、綜合、判斷和推理； 學(xué)會多角度、多側(cè)面思考問題的方法分數(shù)、百分數(shù)

22、應(yīng)用題的條件與問題之間的關(guān)系變化多端，單靠統(tǒng)一的思路模式有時很難找到正確解題方法因此，在解題過程中， 要善于掌握對應(yīng)、假設(shè)、轉(zhuǎn)化等多種解題方法，不斷地開拓解題思路三、利用常見的數(shù)學(xué)思想方法：如代換法、比例法、列表法、方程法等拋開“工作總量”和“時間”，抓住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化出與所求相關(guān)的工作效率， 最后再利用先前的假設(shè) “把整個工程看成一個單位” ，求得問題答案 一般情況下，工程問題求的是時間9精品 料推薦例題精講1.一項工程，甲單獨做需要 28 天時間，乙單獨做需要 21 天時間，如果甲、乙合作需要多少時間？2. 一項工程，甲單獨做需要 30 天時間，甲、乙合作需要 12

23、 天時間，如果乙單獨做需要多少時間？3.甲乙兩人共同加工一批零件，8 小時可以完成任務(wù)如果甲單獨加工，便需要12小時完成現(xiàn)在甲、乙兩人共同生產(chǎn)了2 2 小時后，甲被調(diào)出做其他工作，由乙繼續(xù)生產(chǎn)了5420 個零件才完成任務(wù)問乙一共加工零件多少個?4.一項工程，甲、乙合作需要20 天完成，乙、丙合作需要 15 天完成，由乙單獨做需要30天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成這項工程需要多少天？5.一池水，甲、乙兩管同時開，5 小時灌滿；乙、丙兩管同時開，4 小時灌滿現(xiàn)在先開乙管 6 小時，還需甲、丙兩管同時開2 小時才能灌滿乙單獨開幾小時可以灌滿？6.( 2007 年四中考題 ) 某水池可以用甲、乙

24、兩個水管注水，單開甲管需12 小時注滿，單開乙管需 24 小時注滿，若要求10 小時注滿水池，且甲、乙兩管同時打開的時間盡量少，那么甲、乙最少要同時開放小時7.有 10 根大小相同的進水管給a 、 b 兩個水池注水，原計劃用4 根進水管給 a 水池注水，其余 6 根給 b 水池注水，那么5 小時可同時注滿因為發(fā)現(xiàn)a 水池以一定的速度漏水，所以改為各用5 根進水管給水池注水，結(jié)果也是同時注滿(1) 如果用 10根進水管給漏水的 a 水池注水，需要多少分鐘注滿?(2) 如果增加 4根同樣的進水管，a 水池仍然漏水，并且要求在注水過程中每個水池的進水管的數(shù)量保持不變，那么要把兩個水池注滿最少需要多少

25、分鐘?( 結(jié)果四舍五入到個位 )8.甲乙兩輛清潔車執(zhí)行東、西城間的公路清掃任務(wù)甲車單獨清掃需10 小時，乙車單獨清掃需 15 小時，兩車同時從東、 西城相向開出， 相遇時甲車比乙車多清掃 12千米問：東、西兩城相距多少千米？9. 一項工程，甲單獨完成需要 12 天，乙單獨完成需要 9 天若甲先做若干天后乙接著做，共用 10 天完成，問甲做了幾天？10.（ 2009 年十三分小升初入學(xué)測試題）一項工程，甲單獨做40 天完成，乙單獨做60 天完成現(xiàn)在兩人合作，中間甲因病休息了若干天，所以經(jīng)過了27 天才完成問甲休息了幾天？10精品 料推薦11.一件工作，甲獨做要 12 天，乙獨做要 18 天，丙獨

26、做要24 天 . 件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的 2 倍， 于做完了 件工作 . 共用了多少天？12.一些工人做一 工程，如果能 來16 人，那么10 天可以完成；如果只 來4 人，就要 20 天才能完成，那么 走 2人后，完成 工程需要天例題精講1. （ 2009 年十三分小升初入學(xué) ）甲、乙兩人同 加工同 多的零件，甲每小 加工 40 個，當甲完成任 的1 ，乙完成了任 的1 差 40個 乙開始提高工作22效率，又用了 7.5 小 完成了全部加工任 甲 剩下20 個零件沒完成求乙提高工效后每小 加工零件多少個？2. （ 2009 年第七屆“希望杯”六年 第1 ）甲、乙兩個工程 分 兩 工程晴天，甲完成工程需要 10 天，乙完成工程需要 16 天；雨天，甲和乙的工作效率分 是晴天 的 30% 和 80% 情況是兩 同 開工、同 完工那么在施工期 ，下雨的天數(shù)是天3. 甲乙兩 合作挖一條水渠要30 天完成，若甲 先挖 4天后，再由乙 獨挖 16 天，共挖了 條水渠的2 如果 條水渠由甲、乙兩 獨挖，各需要多少天？54.甲乙丙三 要完成a ， b 兩 工程， b 工程的工作量是 a 工程工作量再增加1，如果a 工程所需要的