中考針對(duì)性訓(xùn)練-幾何探究壓軸題(有答案詳解)

1、針對(duì)性訓(xùn)練-幾何探究題1.如圖1,在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P滿足AP=AB，PB=PC，連結(jié)AC、PD.ABDCP圖1（1）求證:APBDPC；（2）求證:PAC=BAP；（3）若將原題中的正方形ABCD變?yōu)榈妊菪蜛BCD(如圖2),ADBC,且BA=AD=DC,形內(nèi)一點(diǎn)P仍滿足AP=AB，PB=PC,試問(wèn)(2)中結(jié)論還成立嗎?若成立請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由. PCDAB圖22如圖1，在中，為銳角，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，以為一邊且在的右側(cè)作正方形（1）如果，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（與點(diǎn)不重合），如圖2，線段所在直線的位置關(guān)系為 _ ，線段的數(shù)量關(guān)系為 ；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，中的結(jié)

2、論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；FD圖3ABDCE圖1ABDFEC圖2ABDECF（2）如果，是銳角，點(diǎn)在線段上，當(dāng)滿足什么條件時(shí)，（點(diǎn)不重合），并說(shuō)明理由 (3）若AC=4，BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，求線段CP長(zhǎng)的最大值。3.如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DFBE（1）求證：CECF；（2）在圖1中，若G在AD上，且GCE45，則GEBEGD成立嗎？為什么？（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)， 完成下題：如圖2，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90，ABBC12，E是AB上一點(diǎn)，且DC

3、E45，BE4，求DE的長(zhǎng)4如圖，在RtABC中，A90，AB6，AC8，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DE方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQBC于Q，過(guò)點(diǎn)Q作QRBA交AC于R，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)設(shè)BQx，QRy（1）求點(diǎn)D到BC的距離DH的長(zhǎng)；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；（3）是否存在點(diǎn)P，使PQR為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由ABCDERPHQABCDERPHQABCDERPHQ5如圖17，點(diǎn)A是ABC和ADE的公共頂點(diǎn)，BACDAE180，ABkAE，ACkAD，點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，直線AM交直線

4、BC于點(diǎn)N探究ANB與BAE的關(guān)系，并加以證明說(shuō)明：如果你經(jīng)過(guò)反復(fù)探索沒(méi)解決問(wèn)題，可以從下面中選取一個(gè)作為已知條件，再完成你的證明，選取比選原題少得2分，選取比選原題少得5分 如圖18，k1；如圖19，ABAC若ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中的結(jié)論是否發(fā)生變化？如果沒(méi)有發(fā)生變化，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)可以推廣的命題；如果有變化，請(qǐng)畫(huà)出變化后的一個(gè)圖形，并直接寫(xiě)出變化后ANB與BAE的關(guān)系6.已知，是經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)的一條直線，分別是直線上兩點(diǎn)，且（1）若直線經(jīng)過(guò)的內(nèi)部，且在射線上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：如圖9-1，若，則 ； （填“”，“”或“”）；如圖9-2，若，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于與關(guān)系的條件 ，使

5、中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立（2）如圖9-3，若直線經(jīng)過(guò)的外部，請(qǐng)?zhí)岢鋈龡l線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）ABCEFDDABCEFADFCEB圖9-1圖9-2圖9-37在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時(shí) ； （II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明；

6、 （III） 如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=，則Q= （用、L表示）參考答案1. (1)略（2）略（3）設(shè)， 得即2（1）垂直，相等；1分當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)的結(jié)論仍成立2分由正方形ADEF得 ADAF ，DAF90BAC90，DAFBAC ， DABFAC，又ABAC ，DABFAC ， CFBD ， ACFABDBAC90， ABAC ，ABC45，ACF45，BCFACB+ACF90 即 CFBD.5分（2）當(dāng)ACB45時(shí)，CFBD（如圖） 6分 理由：過(guò)點(diǎn)A作AGAC交CB或CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則GAC90， ACB45,AGC90ACB45，ACBAGC

7、，ACAG，點(diǎn)D在線段BC上，點(diǎn)D在線段GC上，由（1）可知CFBD. 7分（3）如圖：作AQBC于Q ACB=45 AC=4 CQ=AQ=4PCD=ADP=90ADQ+CDP=CDP+CPD=90ADQDPC =設(shè)CD為x（0x3）則DQ=CQCD=4x 則= PC=(x2+4x)=(x2)2+11 當(dāng)x=2時(shí)，PC最長(zhǎng)，此時(shí)PC=1 3.（1）證明：如圖1，在正方形ABCD中，BCCD，BCDF，BEDF， CBECDF CECF.3分（2）GEBEGD成立理由是：CBECDF， BCEDCFBCEECDDCFECD即ECFBCD90，B CA D E G 又GCE45，GCFGCE45C

8、ECF，GCEGCF，GCGC，ECGFCG .4分GEGF GEDFGDBEGD.5分（3）解：過(guò)C作CGAD，交AD延長(zhǎng)線于G在直角梯形ABCD中，ADBC AB90又CGA90，ABBC， 四邊形ABCG 為正方形 6分AGBC12 已知DCE45，根據(jù)（1）（2）可知，EDBEDG.7分設(shè)DEx，則DGx4， ADAGDG=12（x4）=16x 在RtAED中， ，即解這個(gè)方程，得：x10 DE10 4.（1）， 點(diǎn)為中點(diǎn)， ，-2分（2）， ，即關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為： -5分ABCDERPHQM21（3）存在，分三種情況：當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，則，ABCDERPHQ， -8分ABCDERPH

9、Q當(dāng)時(shí)， -10分當(dāng)時(shí)，則為中垂線上的點(diǎn)，于是點(diǎn)為的中點(diǎn)， -13分綜上所述，當(dāng)為或6或時(shí)，為等腰三角形 -14分5（1）ANB+BAE=1801分證明：（法一）如圖1，延長(zhǎng)AN到F，使MF=AM，連接DF、EF. 2分MADNEBCF圖1點(diǎn)M是DE 的中點(diǎn)，DM=ME， 四邊形ADFE是平行四邊形 ，3分ADEF，AD=EF， DAE+AEF =180， BAC+DAE=180，BAC=AEF ，4分 AB=kAE，AC=kAD， 6分ABCEAF B=EAF 8分ANB+B+BAF =180 ANB+EAF+BAF =180即ANB+BAE=180，10分MADNEBCFKH圖2（法二）如

10、圖2，延長(zhǎng)DA到F，使AF=AD，連接EF.2分BAC+DAE=180，DAE +EAF =180，BAC=EAF，3分 AB=kAE，AC=kAD， ，4分ABCAEF，5分B=AEF，6分 點(diǎn)M是DE 的中點(diǎn)，DM=ME，圖3ABCDEMN又AF=AD， AM是DEF的中位線，AMEF，7分 NAE=AEF， B=NAE，8分 ANB+B+BAN=180，ANB+NAE+BAN =180，即ANB+BAE=18010分ABCDEMNF圖4(2)變化如圖3（僅供參考），ANB=BAE12分選?。ǎ?，如圖4.證明：延長(zhǎng)AM到F，使MF=AM，連接DF、EF. 點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，DM=ME四邊形

11、ADFE是平行四邊形，4分ADFE，AD=EF， DAE+AEF =180，BAC+DAE=180， BAC=DAE， 6分AB=kAE，AC=kAD， AB=AE ，AC=AD，AC=EF，7分 ABCEAF， B=EAF， 8分ANB+B+BAF=180， ANB+EAF+BAF=180，即ANB+BAE=18010分選取（），如圖5.ABCDMN圖5E證明：AB=AC，B=（180-BAC），3分BAC+DAE=180， DAE=180-BAC，B=DAE， AB=kAE，AC=kAD，AE=AD， AM是ADE的中線，AB=AC，EAM=DAE， B=EAM，4分ANB+B+BAM=1

12、80， ANB+EAM +BAM=180，即ANB+BAE=1805分6.（1）； 2分 所填的條件是： 4分證明：在中，又，又， ， 又， 7分（2） 7.（I）如圖1， BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系 BM+NC=MN 此時(shí) （II）猜想：結(jié)論仍然成立證明：如圖，延長(zhǎng)AC至E，使CE=BM，連接DE ,且又是等邊三角形，在與中：(SAS) DM=DE, 在與中： (SAS) MN=NE=NC+BM 的周長(zhǎng)Q=AM+AN+MN=AB+AC =2AB而等邊的周長(zhǎng)L=3AB . （III）如圖3，當(dāng)M、N分別在AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=，則Q=2+（用、L表示）8.如圖241，正方形ABC

13、D和正方形QMNP， M是正方形ABCD的對(duì)稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E（1）猜想：ME 與MF的數(shù)量關(guān)系（2）如圖242，若將原題中的“正方形”改為“菱形”，且M =B，其它條件不變，探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明（3）如圖243，若將原題中的“正方形”改為“矩形”，且AB:BC=1:2，其它條件不變，探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由（4）如圖244，若將原題中的“正方形”改為平行四邊形，且M =B ，AB:BC = m，其它條件不變，求出ME：MF的值。（直接寫(xiě)出答案）8.（1）ME=MF 1分 （2）ME=MF 2分 證明：過(guò)點(diǎn)M作MHAD于H，MGA

14、B于G，連結(jié)AM M是菱形ABCD的對(duì)稱中心，O是菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，AM平分BAD，MH=MGM=B，M+BAD=180，又MHA=MGF=90，HMG+BAD=180EMF=HMG，EMH=FMGMHE=MGF， MHEMGF，ME=MF4分（3）ME:MF=1:25分 證明：過(guò)點(diǎn)M作MHAD于H，MGAB于G， M=B，A=EMF=90，又MHA=MGA=90，HMG=90EMF=HMG，EMH=FMG MHE=MGF，MHEMGF， -6分又M是矩形ABCD的對(duì)稱中心，O是矩形ABCD對(duì)角線的中點(diǎn)， 又MGAB，MGBC，同理可得，ME:MF=1:2 7分(4) ME:MF=m

15、8分9.在ABC中,AC=BC=2,C=90o，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處,將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),三角板的兩直角邊分別交射線AC，CB于D，E兩點(diǎn),如圖1,2,3是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3 種情況，研究：三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖2加以證明。三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，PBE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫(xiě)出PBE為等腰三角形時(shí)CE的長(zhǎng)）；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB上的M處,且AM:MB=1:3，和前面一樣操作,試問(wèn)線段MD和ME之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖4加以證明。P圖1ABCDEP圖2ABCDE

16、P圖3ABCDEM圖4ABCDE9、（1）PD=PE （提示：連結(jié)PC，證PDCPEB可得）（2）能，CE的長(zhǎng)： （3）MD：ME=1：310圖1是邊長(zhǎng)分別為4和3的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和CDE疊放在一起（C與C重合）。（1）操作：固定ABC，將CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30得到CDE，連結(jié)AD、BE，CE的延長(zhǎng)線交AB于F（圖2）；探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論。（2）操作：將圖2中的CDE，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，平移后的CDE設(shè)為PQR（圖3）；請(qǐng)問(wèn)：經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，PQR與ABC重疊部分的面積恰好等于？（3）操作：圖1中CDE

17、固定，將ABC移動(dòng)，使頂點(diǎn)C落在CE的中點(diǎn)，邊BC交DE于點(diǎn)M，邊AC交DC于點(diǎn)N，設(shè)AC C=（3090，圖4）；探究：在圖4中，線段CNEM的值是否隨的變化而變化？如果沒(méi)有變化，請(qǐng)你求出CNEM的值，如果有變化，請(qǐng)你說(shuō)明理由。10.（1）BE=AD 證明：ABC與DCE是等邊三角形 ACB=DCE=60 CA=CB，CE=CDBCE=ACD BCEACD BE=AD（也可用旋轉(zhuǎn)方法證明BE=AD）TS（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒重疊部分的面積是，如圖在CQT中 TCQ=30 RQP=60QTC=30 QTC=TCQ QT=QC=x RT=3x RTSR=90 RST=90由已知得32 （3x）2=x1

18、，x5，因?yàn)?x3，所以x=1（3）CNEM的值不變 證明：ACB=60MCENCC=120CNCNCC=120 MCE=CNCE=C EMCCCN CNEM=CCEC=11請(qǐng)閱讀下列材料：已知：如圖（1）在RtABC中，BAC=90，AB = AC，點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動(dòng)點(diǎn)，若DAE=45.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是：把AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到ABE，連結(jié)ED，使問(wèn)題得到解決.請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問(wèn)題：（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，直接寫(xiě)出你的猜想； 圖（1）（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線段CB

19、延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖（2），其它條件 不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明. 圖（2）（3）已知：如圖(3)，等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E在邊AB上，且DCE=30，請(qǐng)你找出一個(gè)條件，使線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù)； 11.（1） DE2=BD2+EC2 1分 圖（3） （2）關(guān)系式DE2=BD2+EC2仍然成立 5分證明：將ADB沿直線AD對(duì)折，得AFD，連FE AFDABD 6分 AF=AB，F(xiàn)D=DBFAD=BAD，AFD=ABD又AB=AC，AF=ACFAE=FADDAE=FAD45 EAC=BACBAE=90(DAED

20、AB)= 45DAB FAE=EAC 又 AE=AE AFEACE FE=EC , AFE=ACE=45 AFD=ABD=180ABC=135 DFE=AFDAFE=13545=907分在RtDFE中 DF2FE2=DE2 即DE2=BD2+EC2 8分（2）當(dāng)AD=BE時(shí)，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形.如圖，與（1）類(lèi)似，以CE為一邊，作ECF=ECB，在CF上截取CF=CB，可得CFECBE，DCFDCA.AD=DF，EF=BE. 圖DFE12AB120. 5分若使DFE為等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE.當(dāng)AD=BE時(shí)，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形. 6分

21、且頂角DFE為120.京模12.如圖1，在ACB和AED中，AC=BC，AE=DE，ACBAED90,點(diǎn)E在AB上， F是線段BD的中點(diǎn)，連結(jié)CE、FE.（1）請(qǐng)你探究線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫(xiě)出結(jié)果，不需說(shuō)明理由）；（2）將圖1中的AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AED的一邊AE恰好與ACB的邊AC在同一條直線上（如圖2），連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)F，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由； （3）將圖1中的AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意的角度（如圖3），連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)F，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由 12（1）線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系是CE=FE2分（2）（1）中的

22、結(jié)論仍然成立如圖2，連結(jié)CF，延長(zhǎng)EF交CB于點(diǎn)G DEBC EDF=GBF又，DF=BF， EDFGBF EF=GF，BGDEAE AC=BC， CE=CG EFC=90，CF=EF CEF為等腰直角三角形CEF=45CE=FE 5分（3）（1）中的結(jié)論仍然成立如圖3，取AD的中點(diǎn)M,連結(jié)EM，MF,取AB的中點(diǎn)N,連結(jié)FN，CN，CFDF=BF， AE=DE，AED=90, AM=EM，AME=90.CA=CB,ACB=90,，ANC=90.，F(xiàn)M=AN =CN.四邊形MFNA為平行四邊形.FN=AM=EM，AMF=FNA.EMF=FNC. EMFFNC.FE = CF，EFM=FCN.由，ANC=90，可得CPF=90.FCNPFC=90. EFMPFC=90.EFC=90. CEF為等腰直角三角形CEF=45. CE