4_2能控性定義及其判別準(zhǔn)則

1、1,定義：若存在一個(gè)任意的控制向量 , 能在有限的時(shí)間 內(nèi)，把系統(tǒng)從初始狀態(tài) (t0可為0)轉(zhuǎn)移到終止?fàn)顟B(tài) ，則稱(chēng)系統(tǒng)狀態(tài)在t0時(shí)刻是能控的；若系統(tǒng)對(duì)任意一個(gè)初始狀態(tài)都能控，則稱(chēng)系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控的，或簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)是能控的.,第二節(jié) 能控性定義及其判別準(zhǔn)則,線性定常能控性的定義,設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：,2,由定義可知： 1) 系統(tǒng)能控性定義中的初始狀態(tài)x(t0)是狀態(tài)空間中任意的非零有限點(diǎn)，控制的目標(biāo)是狀態(tài)空間的原點(diǎn). 2) 如果在時(shí)間區(qū)間t0,t1內(nèi)存在控制向量u(t)，使系統(tǒng)從狀態(tài)空間坐標(biāo)原點(diǎn)推向預(yù)先指定的狀態(tài)x(t1)，則稱(chēng)狀態(tài)能達(dá)。系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性是等價(jià)的。,3,1) 對(duì)于線性時(shí)

2、變系統(tǒng)，由于A(t)，B(t)是時(shí)變矩陣，系統(tǒng)狀態(tài)向量 的轉(zhuǎn)移，與初始時(shí)刻 的選取有關(guān)。,注意：,2)在上述定義中提到的控制向量u(t)是任意的，其選擇并非唯一的，關(guān)心的只是能否將系統(tǒng)狀態(tài)從x(t0)轉(zhuǎn)移到x(t1)，并不關(guān)心轉(zhuǎn)移的運(yùn)動(dòng)軌跡。,4,2. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性判別準(zhǔn)則,判別線性系統(tǒng)能控性的問(wèn)題實(shí)際是判別狀態(tài)方程式解的存在問(wèn)題。根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)方程和任意指定的初始狀態(tài)，能否求得任意的控制向量，把初始狀態(tài) 在有限的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間的原點(diǎn)。,狀態(tài)方程的解的表達(dá)式為：,（1）卡爾曼（Kalman）準(zhǔn)則：,5,6,若對(duì)任意給定的初始狀態(tài) ，都能解出 ，則系統(tǒng)具有能控性。要求矩陣 的秩為

3、n。（n為系統(tǒng)階次，系統(tǒng)矩陣A的維數(shù)）,能控性矩陣,7,A,B稱(chēng)為能控對(duì)。 參考例題可看到： 能控標(biāo)準(zhǔn)型的能控性矩陣是三角陣，可證明系統(tǒng)是完全能控的。,8,例:以三階系統(tǒng)為例，證明具有能控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)方程的系統(tǒng)必定是狀態(tài)完全能控的。,9,上式是一個(gè)三角形矩陣，其對(duì)角線元素為1，可以證明，無(wú)論 為何值，此矩陣均為滿(mǎn)秩，故給定系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控的。,10,（2）吉伯特(Gilbert)準(zhǔn)則：,卡爾曼能控性準(zhǔn)則物理含義不很明顯，下面介紹Gilbert準(zhǔn)則。當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)方程可化為對(duì)角線型或亞當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，此方法比較方便。,下面給出將狀態(tài)方程化為對(duì)角線型或亞當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的方法，同時(shí)根據(jù)能控性定義，給出吉伯特準(zhǔn)則

4、。,11,設(shè)矩陣A的各特征值互不相同，則有一個(gè)nn維非奇異陣V將A化為對(duì)角線矩陣 ,首先考慮單變量系統(tǒng)（線性定常），其狀態(tài)方程為：,即,12,用這種相似變換后得到的狀態(tài)方程中狀態(tài)變量是彼此解耦的，即每個(gè)狀態(tài)變量都不受其它狀態(tài)變量的影響，而只受控制作用的直接控制，顯然，系統(tǒng)狀態(tài)能控的條件是控制矩陣每個(gè)元素均不為零, 即,13,推廣到多變量系統(tǒng)，變換后，狀態(tài)方程為:,14,以上能控性條件只適用于特征值不同的系統(tǒng)，一般說(shuō)來(lái)，這種系統(tǒng)狀態(tài)方程能化為對(duì)角線型。 注意：某些具有重根特征值的矩陣也可變換為對(duì)角線陣。此時(shí)，上述條件不適用。,吉伯特準(zhǔn)則： 對(duì)于一個(gè)具有不同特征值的控制系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣A 化為對(duì)角線

5、矩陣以后，狀態(tài)完全能控的條件是， 矩陣中的行向量不為0。,15,若系統(tǒng)矩陣A有重特征值，并且可以用一個(gè)非奇異矩陣V將其變換為亞當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣時(shí)，有：,16,在這種情況下，Gilbert提出的系統(tǒng)狀態(tài)完全 能控的條件為： V-1B中與每個(gè)亞當(dāng)塊最后一行相對(duì)應(yīng)的行向量不為0； V-1B中與不同特征值相對(duì)應(yīng)的各行中元素不全為0；,解釋?zhuān)?第二個(gè)條件完全和無(wú)重特征值情況一致； 第一個(gè)條件只考察與亞當(dāng)塊最后一行對(duì)應(yīng)的那一行，其它行可以為零。,17,以上述亞當(dāng)矩陣J為例，假設(shè)是單變量系統(tǒng)，來(lái)說(shuō)明第一個(gè)條件的合理性。,狀態(tài)方程的前三個(gè)式子（對(duì)應(yīng)于三重特征值 ）為：,解耦,18,因此對(duì)于重根，只需 V-1B 陣中對(duì)應(yīng)亞當(dāng)塊的最后一行不全為0，就可保證該亞當(dāng)塊的其它狀態(tài)變量能控。,若 ，則從第三式可知， 受 直接控制，第二式中 不受 控制，但包含 ， 能控則 能控， 也是同理。,19,例: 用Gilbert準(zhǔn)則判斷系統(tǒng)的能控性。,20,選擇范德蒙矩陣（Vandmont）為變換矩