初中數(shù)學(xué)相似三角形的判定定理

1、相似三角形的判定 教學(xué)目標(biāo)1知道相似三角形的定義及有關(guān)概念，知道相似比為1的相似三角形是全等三角形；會讀、會用 “”符號；能準(zhǔn)確寫出相似三角形的對應(yīng)角與對應(yīng)邊的比例式；2、掌握相似三角形判定的預(yù)備定理及相似三角形的判定定理1；3、綜合運(yùn)用所學(xué)兩個定理，來判定三角形相似，計算相似三角形的邊長.4、了解判定定理1的證題方法與思路，應(yīng)用判定定理l. 一、復(fù)習(xí)1什么叫做全等三角形？它在形狀上、大小上有何特征？ 2兩個全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角有什么關(guān)系？ 3、復(fù)習(xí)平行線分線段成比例定理（文字表述及基本圖形）本節(jié)學(xué)習(xí)相似三角形的定義及相關(guān)判定定理. 二、學(xué)習(xí)新課相似三角形的概念： 我們把對應(yīng)角相等、對應(yīng)

2、邊成比例的兩個三角形，叫做相似三角形.相似三角形的概念作為相似三角形的判定方法之一.說明相似三角形的本質(zhì)特征是“具有相同形狀”，它們的大小不一定相等，這是和全等三角形的重要區(qū)別兩個三角形形狀相同，就是他們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例相似比的概念 ：相似三角形對應(yīng)邊的比，叫做相似比（或相似系數(shù)） 說明兩個相似三角形的相似比具有順序性 全等三角形的相似比為1，這也說明了全等三角形是相似三角形的特殊情形注：在證兩個三角形相似時，通常把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)位置上類似地，如果兩個邊數(shù)相等的多邊形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形的對應(yīng)邊的比，叫做相似比.如圖，是相

3、似三角形，則相似可記作.由于，則與的相似比，則與的相似比.猜測兩個三角形全等與相似的區(qū)別與聯(lián)系：當(dāng)兩個相似三角形的相似比時，這兩個相似三角形就成為全等三角形，因此全等三角形是相似三角形的特例.想一想：如果，那么與相似嗎？利用相似三角形的定義說理.得到相似三角形具有傳遞性（性質(zhì)）如果兩個三角形分別與同一個三角形相似，那么這兩個三角形也相似.思考問題：（l）所有等腰三角形都相似嗎？所有等邊三角形呢？為什么？ （2）所有直角三角形都相似嗎？所有等腰直角三角形呢？為什么？ 練習(xí)一：選擇題下列四組圖形，必是相似形的是（）、有一個角為的兩個等腰三角形； 、有一個角為的兩個等腰梯形；、鄰邊之比都為2:3的兩

4、個平行四邊形； 、有一個角為的兩個等腰三角形.新授2：相似三角形的預(yù)備定理 課本通過探討的方法，根據(jù)題設(shè)中有平行線的條件，結(jié)合定理的結(jié)論，再根據(jù)三角形的定義，從而得出了這兩個三角形相似的結(jié)論，這里要強(qiáng)調(diào)的是： （1）本定理的導(dǎo)出不僅復(fù)習(xí)了相似三角形的定義，而且為后面的證明打下了基礎(chǔ)。 （2）由本定理的題設(shè)所構(gòu)成的三角形有三種可能，基本圖形在“平行線分線段成比例”出現(xiàn)過（3）根據(jù)兩個三角形相似寫對應(yīng)邊的比例式時，每個比的前項(xiàng)是同一個三角形的三邊，而比的后項(xiàng)是另一個三角形的三條對應(yīng)邊，它們的位置不能寫錯，做題時務(wù)必要認(rèn)真仔細(xì)，如本定理的比例式，防止出現(xiàn)錯誤（4）根據(jù)兩個三角形相似寫對應(yīng)邊的比例式時

5、，這兩個三角形中相等的角所對的邊就是對應(yīng)邊，對應(yīng)邊應(yīng)寫在對應(yīng)位置 （5）有平行就有成比例線段，有平行就有相似三角形 我們稱由預(yù)備定理得到的相似三角形為“平行線型”的相似三角形.新授3：相似三角形的判定定理1：如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似（兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似）.1.判定兩個三角形全等的方法有哪幾種？ SAS、ASA、AAS、SSS、HL 2.全等三角形判定中的“對應(yīng)角相等”及“對應(yīng)邊相等”的語句，用到三角形相似的判定中應(yīng)如何說？ “對應(yīng)角相等”不變，“對應(yīng)邊相等”說成“對應(yīng)邊成比例” 3.我們知道，一條邊是寫不出比的，那么你能否由“ASA”或“

6、AAS”，采用類比的方法，引出一個關(guān)于三角形相似判定的新的命題呢？ 如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似4.如圖在ABC和 中，ABC和是否相似？ 5.我們現(xiàn)在已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾個判定三角形相似的方法？ 相似三角形的定義，預(yù)備定理 6.根據(jù)本命題條件，探討時應(yīng)采用哪種方法？為什么？預(yù)備定理，因?yàn)橛枚x條件明顯不夠 7.采用預(yù)備定理，必須構(gòu)造出怎樣的圖形？ 8.應(yīng)如何添加輔助線，才能構(gòu)造出上一問的圖形？ （1）在ABC邊AB（或延長線）上，截取 ，過D作DEBC交AC于E“作相似證全等” （2）在ABC邊AB（或延長線上）上，截取，在邊AC（或延長線上）截取AE

7、=，連結(jié)DE，“作全等，證相似”（教師向?qū)W生解釋清楚“或延長線”的情況） 三、鞏固練習(xí)1、已知：在ABC和DEF中，A=40, B=80, E=80, F=60.(1)求證: ABCDEF;(2)寫出對應(yīng)邊成比例的式子.2、（1）已知:如圖5-58,直線BE,DC交于A, E=C.求證:DAAC=BAAE. （2）若圖形作以下變化，結(jié)論是否依然成立，請證明.3、已知:如圖,RtABC中, ABC=90,BDAC于D.(1) 圖中有幾個直角三角形?它們相似嗎?為什么?(2) 用語言敘述第(1)題的結(jié)論:直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似.(3)寫出相似三角形對應(yīng)邊成比例的表

8、達(dá)式.四、小結(jié)1、相似三角形的定義，相似比的概念 2、三角形相似與全等的判定方法的類比.3、三角形相似的判定定理1，并強(qiáng)調(diào)判定相似需且只需兩個獨(dú)立條件.4、常用的找對應(yīng)角的方法：已知角相等;已知角度計算得出相等的對應(yīng)角;公共角;對頂角;同角的余(補(bǔ))角相等.六、說明 1、相似三角形的概念是本節(jié)的重點(diǎn)也是本節(jié)的難點(diǎn).相似三角形是研究相似形的最重要和最基本的圖形，是在全等三角形知識的基礎(chǔ)上的拓廣和發(fā)展，全等形是相似形的特殊情況，研究相似三角形比研究全等三角形更具有一般性.2、相似三角形的預(yù)備定理和相似三角形的判定定理的證明，類比全等三角形學(xué)習(xí).3、理解常見圖形，掌握常用的找對應(yīng)角的方法.相似三角形

9、的判定 教學(xué)目標(biāo)1掌握相似三角形的判定定理2;2、會運(yùn)用所學(xué)的兩個定理判定三角形相似，計算相似三角形的邊長等.3、了解判定定理2的證題方法與思路, 應(yīng)用判定定理2.一、復(fù)習(xí)引入 1問題1：什么叫做相似三角形？它們在形狀上、大小上有何特征？什么叫做相似比?結(jié)合圖形復(fù)述相似三角形的預(yù)備定理和判定定理1. 2兩個全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角有什么關(guān)系？ 3.類比全等三角形的“邊角邊”，我們來看問題2.本節(jié)學(xué)習(xí)相似三角形判定定理2.問題2：如上圖，在和中，如果,那么和相似嗎？分析：（SAS），再利用三角形一邊的平行線判定定理，得到DE/BC，可以轉(zhuǎn)化為相似三角形預(yù)備定理中的平行線. 二、新課 新授1：相

10、似三角形的判定定理2的推導(dǎo)及文字和符號表述.通過問題2，得到相似三角形的判定定理2：如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似.簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似.新授2：相似三角形的判定定理2的應(yīng)用例題1 已知如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，OA=1，0B=1.5,0C=3,OD=2.求證:與是相似三角形.分析：判斷是否有成比例的線段,再利用判定定理2.議一議:圖中是否還有相似三角形?答：問題:(1)兩條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形是否相似?為什么?(2)等腰三角形ABC與等腰三角形DEF有一角相等,這兩個三角形

11、是否相似?為什么?例題2 已知如圖,點(diǎn)D是的邊AB上的一點(diǎn),且.求證:.分析:已知條件是一個乘積式,將它改寫成比例式,得到,觀察這個比例式中的四條線段結(jié)合圖形,可以依據(jù)相似三角形的判定定理2推出結(jié)論.這是比較困難的技巧問題,也是證題的關(guān)鍵步驟. 三、鞏固練習(xí)練習(xí)1:書后練習(xí)24.4(2)/1練習(xí)2：（1）書后練習(xí)24.4(2)/2（2）D在的ABC邊AB上,且 =ADAB，則ABCACD,理由是 .（3）一個直角三角形的兩邊長分別為3和6,另一個直角三角形的兩邊長分別為2和4,那么這兩個直角三角形 相似.(填“一定”、“不一定”或“一定不”)（4）如圖，在中，若，則下列比例式正確的是： 練習(xí)3

12、:補(bǔ)充(1)在和中,則當(dāng)DF=時, .(2)如圖,P為AB上一點(diǎn)(ABAC),要使,可添加一個條件.(3) 如圖，D是ABC一邊BC上的一點(diǎn)，ABCDBA的條件是( ) (C) (D) （4）如圖，在中，AB=AC，D點(diǎn)是CB的延長線上一點(diǎn)，E是BC延長線上的一點(diǎn)，且滿足 =DBCE.求證：（1）ADB EAC （2）若BAC=，求DAE的度數(shù).四、課堂小結(jié)1、三角形相似與全等的判定方法的類比.2、三角形相似的判定定理2，并強(qiáng)調(diào)判定相似需且只需兩個獨(dú)立條件.,強(qiáng)調(diào)對應(yīng)邊成比例.五、作業(yè)布置書后練習(xí)1-3，練習(xí)冊24.4（2）五、教學(xué)設(shè)計說明 1、相似三角形的判定定理2是本節(jié)的重點(diǎn)也是本節(jié)的難點(diǎn)

13、，證明的導(dǎo)出過程多多理解，重點(diǎn)理解“角”是“兩條對應(yīng)邊的夾角”.2、例題及練習(xí)是相似三角形的判定定理2的應(yīng)用，由淺入深，圖形由簡單到復(fù)雜.（3）相似三角形的判定 教學(xué)目標(biāo)1、掌握相似三角形的判定定理3；2、會綜合運(yùn)用所學(xué)的三個定理判定三角形相似，進(jìn)行相關(guān)證明與計算.4. 了解判定定理3的證題方法與思路, 應(yīng)用判定定理3，如網(wǎng)格問題.一、復(fù)習(xí)引入1復(fù)述已經(jīng)學(xué)習(xí)過的判定三角形相似的定理. (1)定義法：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例；(2)預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形和原三角形相似.(3)判定定理1：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似；(4)判定定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾

14、角相等，兩個三角形相似.下面學(xué)習(xí)相似三角形判定定理3 二、學(xué)習(xí)新課新授1：相似三角形的判定定理3的推導(dǎo)及文字和符號表述.問題3：類比三角形全等的判定，思考猜測問題3.如圖在和中，如果，那么和相似嗎？ 分析： 同樣可以利用相似三角形預(yù)備定理來證明.通過問題3，又得到相似三角形的判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似.簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似.新授2：相似三角形的判定定理3的應(yīng)用例題3 已知如圖，D、E、F分別是的邊BC、CA、AB的中點(diǎn).求證：.（分析：利用中位線的性質(zhì)，可得兩個三角形三邊對應(yīng)成比例，根據(jù)相似三角形的判定定理3，可得

15、兩個三角形相似）證明：例題4（補(bǔ)充）如圖，在正方形網(wǎng)格上有兩個三角形和求證： .分析 由條件可考慮三邊是否對應(yīng)成比例.可設(shè)小正方形邊長為1，由勾股定理可求出各自邊長，再進(jìn)行證明.證明：設(shè)小正方形邊長為1，則由勾股定理可求得：，又2，5.，. 三、鞏固練習(xí)練習(xí)1:書后練習(xí)24.4(3)/1練習(xí)2：（1）書后練習(xí)24.4(3)/2（2）書后練習(xí)24.4(3)/3（3）以下各圖放置的小正方形的邊長都相同，分別以小正方形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，則與ABC相似的三角形圖形為（ ） ABCD（4）如圖，是一個正方形網(wǎng)絡(luò)，里面有許多三角形在下面所列出的各三角形中，與不相似的是.BCDAEFGHK（A）BDE；

16、 （B）BCD；（C）FGH； （D）BFG.四、課堂小結(jié)1、三角形相似與三角形全等的判定方法的類比.2、三角形相似的判定定理3，并強(qiáng)調(diào)用判定3證明相需三個條件,強(qiáng)調(diào)對應(yīng)邊成比例.3、得到判定三角形相似的方法有：(1)定義法：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例；(2)預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形和原三角形相似.(3)判定定理1：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似；(4)判定定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似(5) 判定定理3：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似.五、說明1.相似三角形的判定定理3是本節(jié)的重點(diǎn)，證明的導(dǎo)出過程要掌握，重點(diǎn)理解三邊對應(yīng)成比例.2.例題

17、及練習(xí)的教學(xué)是相似三角形的判定定理3的應(yīng)用，建議由淺入深，圖形由簡單到復(fù)雜，對于網(wǎng)格問題應(yīng)注意解題方法3.總結(jié)所得到判定三角形相似的方法.24.4（4）相似三角形的判定 教學(xué)目標(biāo)1了解直角三角形相似定理的證明方法并會應(yīng)用2通過了解定理的證明方法，提高利用已學(xué)知識證明新命題的能力3. 了解判定定理的證題方法與思路, 應(yīng)用判定定理.一、復(fù)習(xí)引入 1我們學(xué)習(xí)了幾種判定三角形相似的方法？（5種）2敘述預(yù)備定理、判定定理1、2、3，其中判定定理1、2、3的證明思路是什么？（作相似，證全等；作全等，證相似）3什么是“勾股定理”？什么是比例的合比性質(zhì)?直角三角形全等有特殊的判定定理.同樣我們要探討判定直角三

18、角形相似的特殊定理.下面學(xué)習(xí)直角三角形相似的判定定理. 二、學(xué)習(xí)新課問題4：如圖,在中，如果，那么相似嗎？分析： 將已知條件與相似三角形判定定理3的條件比較.新授1：直角三角形相似的判定定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似 簡述為：斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似.注：直角三角形的判定除了用此判定定理外，還可以用前面所學(xué)的判定定理.新授2：直角三角形相似的判定定理的應(yīng)用.例題4 已知如圖，在四邊形ABCD中，求證： .例題5 已知如圖，,垂足為點(diǎn)D，DE/AC.則圖中共有幾對相似三角形？請證明. 三、鞏固練

19、習(xí)練習(xí)1：如圖，在中，于D，下列條件:（1）（2）（3） （4），其中一定能判定是直角三角形的共有 （ ）A、3個 B、2個 C、1個 D、0個練習(xí)4：在中，求證：練習(xí)5：已知，在中，E是BC的中點(diǎn)，DE交AC的延長線于點(diǎn)F.求證：.四、小結(jié) 直角三角形相似的判定除了本節(jié)定理外，前面判定任意三角形相似的方法對直角三角形同樣適用六、教學(xué)設(shè)計說明 1、直角三角形的判定定理是本節(jié)的重點(diǎn)也是本節(jié)的難點(diǎn)，證明的導(dǎo)出過程掌握2、例題及練習(xí)的教學(xué)是直角三角形的判定定理的應(yīng)用，建議由淺入深，圖形由簡單到復(fù)雜.24.4（5）相似三角形的判定 教學(xué)目標(biāo)綜合運(yùn)用所學(xué)判定定理結(jié)合相似三角形的定義進(jìn)行判定或計算.根據(jù)圖

20、形特征和已知條件選擇判定定理進(jìn)行證明和計算.一、復(fù)習(xí)引入 主要內(nèi)容是相似三角形的判定定理(其中有任意三角形相似的三個判定定理和直角三角形相似的判定定理). 二、學(xué)習(xí)新課新授1:1.關(guān)于三角形的判定方法(1)定義法：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例；(2)預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和它兩邊(或兩邊延長線)相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似；(3)判定定理1.兩角對應(yīng)相等兩三角形相似；(4)判定定理2.兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；(5)判定定理3.三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似；(6)直角三角形相似的判定方法.以上各種判定方法均適用;如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和直角對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似.2.判定定理的適用范圍(1)已知有一角相等時，可選擇判定定理1與判定定理2.(2)有兩邊對應(yīng)成比例時，可選擇判定定理2與判定定理3.(3)直角三角形判定先考慮判定直角三角形相似的方法.還可以考慮一般三角形相似的方法.說明一般不用定義來判定三角形的相似.3.相似三角形與全等三角形判定方法的聯(lián)系全等的判定SASSSSAAS(ASA)直角三角形相似的判定兩邊成比例夾角相等三邊對應(yīng)成比例兩角相等一直角邊與斜邊對應(yīng)成比例4、相似三角形的判定定理的作用