第2章 數(shù)值微分和數(shù)值積分教案

1、1 插值型數(shù)值求積公式 教學(xué)目的 1. 會(huì)求插值型數(shù)值求積公式及Gauss型數(shù)值求積公式并會(huì)討論它們的代數(shù)精度； 2. 理解復(fù)化梯形數(shù)值求積公式及復(fù)化Simpson數(shù)值求積公式和余項(xiàng)的推導(dǎo)的基礎(chǔ)上掌握它們； 3. 理解數(shù)值微分公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)上掌握一階、二階數(shù)值微分公式及余項(xiàng)； 4. 了解外推原理。教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 重點(diǎn)是插值型數(shù)值求積公式及Gauss型數(shù)值求積公式的求解及它們代數(shù)精度的討論；難點(diǎn)是Gauss型數(shù)值求積公式節(jié)點(diǎn)的求解方法的推導(dǎo)及求解方法。教學(xué)時(shí)數(shù) 12學(xué)時(shí) 教學(xué)過程 11一般求積公式及其代數(shù)精度設(shè)是上的權(quán)函數(shù)，是上具有一定光滑度的函數(shù)。用數(shù)值方逑下積分的最一般方法是用在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值

2、的某種線性組合來近似其中是獨(dú)立于函數(shù)的常數(shù)，稱為積分系數(shù)，而節(jié)點(diǎn)稱為求積節(jié)點(diǎn)。我們也可將（12）寫成帶余項(xiàng)的形式（12）和（13）都稱之為數(shù)值求積公式或機(jī)械求積公式。更一般些的求積公式還可以包含函數(shù)在某些點(diǎn)的低階導(dǎo)數(shù)值。在（1.3）中余項(xiàng)也稱為求積公式的截?cái)嗾`差。一個(gè)很自然的想法是數(shù)值求積公式要對(duì)低次多項(xiàng)式精確成立這就導(dǎo)出了求積公式數(shù)精度的概念。定義1 若求積公式（1.2）對(duì)任意不高于次的代數(shù)多項(xiàng)式都精確成立，而對(duì)不能精確成立，則稱該求積公式具有次代數(shù)精度。一個(gè)求積公式的代數(shù)精度越高，就會(huì)對(duì)越多的代數(shù)多項(xiàng)式精確成立。例1 確定求積公式的代數(shù)精度。解 。從而該求積公式的代數(shù)精度為。對(duì)給定節(jié)點(diǎn)，如

3、何選擇求積系數(shù)使求積公式代數(shù)精度盡可能高，對(duì)此可用插值型求積公式來實(shí)現(xiàn)。1 2 插值型求積公式對(duì)給定求積節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求積公式的一種簡單方法是利用插值多項(xiàng)式的準(zhǔn)許確積分來作為數(shù)值積分值。設(shè)是關(guān)于的Lagrange插值多項(xiàng)式其中為Lagrange基函數(shù)。取 其中。定義2 對(duì)給定互異求積節(jié)點(diǎn)，若求積系數(shù)是由（1.4）給出的，則稱該求積公式是插值型的。定理1 數(shù)值求積公式（1.2）或（1.3）是插值型的當(dāng)且僅當(dāng)它的代數(shù)精度。證明 假設(shè)求積公式（1.2）是插值型的，則上面我們假設(shè)了。從而當(dāng)為次數(shù)的代數(shù)多項(xiàng)時(shí)必精確成立，故有。假設(shè)。注意到多項(xiàng)式的次數(shù)為，對(duì)=數(shù)值求積精確成立，從而即其求積系數(shù)由（14）給出。推

4、論1 對(duì)給定求積節(jié)點(diǎn)，代精度最高的求積公式是插值型求積公式。例2 求插值型求積公式并確定其代數(shù)精度。解 。從而求積公式為且。對(duì)從而。若我們利用Hermite插值多項(xiàng)式的準(zhǔn)確積分作為數(shù)值積分值，我們可以類似地建立帶有函數(shù)在某些節(jié)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值的插值型求積分式。推論2 若是插值型求積公式，則有余項(xiàng)公式其中13 Newton-Cotes 求積公式在a,b上的插值型求積公式應(yīng)用最方便、最廣泛，稱之為Newton-Cotes求積公式。設(shè)令則求積系數(shù)為其中因此，Newton-Cotes公式為 其中 由（16）給出。求職系數(shù)獨(dú)平于區(qū)間a,b 稱之為Cotes系數(shù)。Cotes系數(shù)可以用（16）計(jì)算或查（見表4-1）

5、給出。 n=1,2 的Newton-Cotes求積是常用公式。n=1的公式稱為梯形公式，其幾何意義是用直邊梯形的面積來近似曲邊梯形面積（圖4-1）。即 表4-1 （1.8）的Newton-Cotes公式稱為Simpson公式: （1.9）Simpson公式的幾何意義是用以插值拋物線為曲邊的曲邊梯形面積來近似為曲邊的曲邊梯形面積（如圖42），因此Simpson求積公式也稱為拋物線公式。NewtonCotes公式分別為Simpson法則（公式）和Cotes公式。1.4 NewtonCotes求積公式的余項(xiàng)定理若，則梯形公式(1.8)的余項(xiàng)為 (1.10)證明由插值型求積公式的余項(xiàng)得利用在上不變的號(hào)

6、，由積分中值定理得定理若，則Simpson公式(1.9)的余項(xiàng)為 (1.11)證明由例知Simpson公式的代數(shù)的精度為。令為的三次Hermite插值多項(xiàng)式，滿足插值條件：對(duì)多項(xiàng)式，Simpson公式精確成立，即：從而利用上小于等于零，由積分中值定理給出可以證明，對(duì)一般的，只要充分光滑，NewtonCotes公式的余項(xiàng)為 （n 為奇數(shù)）（n為偶數(shù)） （12）其中。例3 用、2、3、4、5 相應(yīng)的NewtonCotes公式計(jì)算積分解 、2、3、4、5相應(yīng)NewtonCotes公式所得積分近似值見表4-2表4-2n積分近似值10.20.30.40.50.積分的準(zhǔn)確值是0.。容易發(fā)現(xiàn)的結(jié)果比有顯著改

7、進(jìn)，但相比較沒有實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展。對(duì)充分光滑的被積函數(shù)，為了既保證精度又節(jié)約時(shí)間，應(yīng)盡量選用n是偶數(shù)的情形。1.5 NewtonCotes公式的數(shù)值穩(wěn)定性和收斂性求積分式（1.2）的數(shù)值穩(wěn)定性是指的誤差對(duì)數(shù)值積分結(jié)果的影響。若影響很大，就稱該數(shù)值求積公式不穩(wěn)定。設(shè)的近似值。由近似值所得數(shù)值積分值為其誤差為。在的前提下，最大可達(dá)一般求積公式對(duì)準(zhǔn)確成立。因此有對(duì)Newton-Cotes公式來說， 從而當(dāng)時(shí)，是數(shù)值穩(wěn)定的。當(dāng)時(shí)，有正有負(fù)，而且有從而高階Newton-Cotes公式是數(shù)值不穩(wěn)定的。我們可以證明，存在上的連續(xù)函數(shù)，對(duì)Newton-Cotes公式來說，不成立。即Newton-Cotes公式當(dāng)時(shí)

8、，對(duì)連續(xù)函數(shù)的數(shù)值積分不能保證收斂?；谏鲜龇€(wěn)定性、收斂性原因，在職實(shí)際計(jì)算中，很少采用高階Newton-Cotes求積人以式，而是采用Gauss型求積公式或復(fù)化求積公式來提高數(shù)值積分的精度。2 Gauss型求積公式21最高代數(shù)精度求積公式由推論1知，插值型求積公式的代數(shù)精度完全由求積節(jié)點(diǎn)的分布所決定。節(jié)點(diǎn)數(shù)目固定后，節(jié)點(diǎn)分布不同，所達(dá)到的確良代數(shù)精度也不同。例4 求節(jié)點(diǎn)使插值型求積公式 （2.1）具有盡可能高的代數(shù)精度。解 首先有由于是插值型的，其代數(shù)精度。令，有，及故只要有，就有。進(jìn)一步取，有就有。上述方程的解為，對(duì)應(yīng)的求積公式為 對(duì)于。因此二個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式，代數(shù)精度最高為。 對(duì)于任意求

9、積節(jié)點(diǎn)，任意求積系數(shù)，求積公式的代數(shù)精度必小于。這是因?yàn)閷?duì)于有 而 是次代數(shù)多項(xiàng)式，從而。在例4中，這是最高能達(dá)到的代數(shù)精度了。下面我們利用正交多項(xiàng)式的根來構(gòu)造代數(shù)精度能達(dá)到最高的求積公式。引理1 若是上關(guān)于權(quán)函數(shù)的次正交多項(xiàng)式的根，則插值型求積公式具有代數(shù)精度。證明 設(shè)為任一次數(shù)的代數(shù)多項(xiàng)式，則有其是和為次數(shù)的多項(xiàng)式。于是 其中表示與在上帶權(quán)的內(nèi)積，由于是次正交多項(xiàng)式，次數(shù)小于等于，它們的內(nèi)積為0，而次數(shù)不高于。對(duì)于插值型求積公式（2.2）有從而對(duì)所有次數(shù)的代數(shù)多項(xiàng)式成立.定義3 個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式(2.2)稱為Gauss型求積公式,若其代數(shù)精度達(dá),即達(dá)最高.并稱其節(jié)點(diǎn)Gauss點(diǎn).2.2Ga

10、uss點(diǎn)與正交多項(xiàng)式的聯(lián)系利用正交多項(xiàng)式零點(diǎn)作插值型求積公式,可使其代數(shù)精度達(dá)到最高.下面我們給出Gauss點(diǎn)與正交多項(xiàng)式零點(diǎn)的聯(lián)系.定理4 求積公式(2.2)是Gauss型的,當(dāng)且僅當(dāng)Gauss點(diǎn)是上關(guān)于權(quán)的次正交多項(xiàng)式的根.證明 充分性即引理1的結(jié)論.下證必要性.置.任取次數(shù)的多項(xiàng)式有用內(nèi)積術(shù)語來描述,即對(duì)一切次數(shù)不高于的代數(shù)多項(xiàng)式成立,從而是上關(guān)于權(quán)的次正交多項(xiàng)式. Gauss點(diǎn)是次正交多項(xiàng)式的根.2.3Gauss求積公式的余項(xiàng)定理5 若,則Gauss求積公式(2.2)的余項(xiàng)為 (2.3)證明 取的Hermite插值多項(xiàng)式，滿足插值條件由得得利用由積分中值定理即得式（23）。24 Gau

11、ss求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性和收斂性設(shè)為Lagrange基函數(shù)。為次代數(shù)理化多項(xiàng)式。于是由知Gauss型求積公式是數(shù)值穩(wěn)定的。設(shè)上關(guān)于權(quán)的次正交多項(xiàng)式根為，對(duì)應(yīng)的Gauss求積公式為引理2 對(duì)于有限閉區(qū)間上的任何連續(xù)函數(shù)有證明 上的連續(xù)函數(shù)可以用代數(shù)多基式一致逼近。對(duì)任意給定的存在某個(gè)多項(xiàng)式，有當(dāng)時(shí)，有從而 上面應(yīng)用了 及 由的任意性得（21）。證畢。定理6 Gauss型求積公式是數(shù)值穩(wěn)定的；且對(duì)（有限閉區(qū)間上的）連續(xù)函數(shù)，Gauss求積的數(shù)值隨節(jié)點(diǎn)數(shù)目的增加而收斂到準(zhǔn)確積公值。Gauss型求積公式有很多優(yōu)點(diǎn)，但對(duì)一般的權(quán)函數(shù)，Gauss節(jié)點(diǎn)不容易求。Gauss求積系數(shù)多為無理數(shù)，因此不如Newt

12、on- Cotes 求積公式的等距節(jié)點(diǎn)和Cotes系數(shù)。當(dāng)函數(shù)賦值計(jì)算量大或計(jì)算的積公多，這時(shí)Gauss型求積公式常被優(yōu)先選取。25 幾個(gè)常用的Gauss型求積公式常用Gauss型求積公式有Gauss-Laguerre 求積公式和Gauss-Laguerre 求積公式等。Gauss-Laguerre 求積公式：-1，1上關(guān)于權(quán)的Gauss型求積公式對(duì)應(yīng)的Gauss點(diǎn)和求積系數(shù)列在表4-3中表4-3102521364 對(duì)于一般區(qū)間上帶權(quán)的Gauss權(quán)型求積公式，可通過變量變換，由Gauss-Legendre求積公式得到：例5 用二點(diǎn)、三點(diǎn)Gauss型求積公式計(jì)算 解 令用二節(jié)點(diǎn)、三節(jié)點(diǎn)計(jì)算結(jié)果列

13、在表4-4中。表4-4與Newton-Cotes公式相比較，近似值要精確得多。Gauss-Chebyshev求積公式： Gauss-Laguerre求積公式：表4.5 1116.0.20.3.0.0.40.1.4.9.0.0.0.0.30.2.0.0.Gauss-Hermite 求積公式：上關(guān)于權(quán)函數(shù)的Gauss型求積公式。對(duì)應(yīng)的Gauss點(diǎn)和求積系數(shù)列在表4-6中。表4-6 101.52.0.00.0.0.20.0.31.00.1.62.1.0.0.0.0.41.0.0.0.3 復(fù)化數(shù)值求積公式3.1 復(fù)化數(shù)值求積法無論用NewtonCotes求積公式或Causs型求積公式，提高數(shù)值積分精度

14、的一個(gè)途徑是增加求積節(jié)點(diǎn)數(shù)目。當(dāng)增大時(shí)，NewtonCotes公式的數(shù)值穩(wěn)定性變差，也不能保證能提高精度而Causs型救只公式的Causs點(diǎn)、求積系數(shù)通常是無理數(shù)，查找、計(jì)算都不方便。當(dāng)?shù)馁x值不太復(fù)雜時(shí)，提高數(shù)值積分精度的另一個(gè)途徑是利用復(fù)化求積公式。復(fù)化求積公式的幫派則是把求積區(qū)間進(jìn)行等距細(xì)分：在每個(gè)小區(qū)間上用相同的“基本”求積公式計(jì)算出的近似值。并取當(dāng)權(quán)函數(shù)時(shí)，不易構(gòu)造復(fù)化求積公式。下面講座一些常用復(fù)化求積公式。3.2 復(fù)化梯形公式記在上采用梯形公式得即復(fù)化梯形求積公式為 （3.1）設(shè)由得定理7 若，則復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)為 （3.2）及漸近估計(jì)式 （3.3）當(dāng)區(qū)間細(xì)分節(jié)點(diǎn)加密一倍時(shí)，得 其

15、中為復(fù)化中矩求積公式.3.3復(fù)化Simpson公式在每個(gè)小區(qū)間上采用Simpson公式,得復(fù)化Simpson求積公式 (3.4)利用復(fù)化梯形公式和復(fù)化中矩公式有 其中 對(duì)應(yīng)于復(fù)化Simpson公式有如下余項(xiàng)定理. 定理8 當(dāng)時(shí),復(fù)化Simpson公式的余項(xiàng)有表達(dá)式 (3.5)及漸近估計(jì)式(3.6)類似地我們可以建立復(fù)化Cotes公式,復(fù)化Causs-Legendre求積公式等,同時(shí)給出相應(yīng)的余項(xiàng)估計(jì).例7 利用9點(diǎn)函數(shù)值,用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式計(jì)算解 經(jīng)計(jì)算得T8=0.,S4=0.,C2=0.三種方法所用函數(shù)值個(gè)數(shù)一樣多,與積分準(zhǔn)確值0.相比較,復(fù)化Simpson公式的結(jié)果與復(fù)

16、化梯形公式的結(jié)果相比,復(fù)化Simpson公式的結(jié)果要準(zhǔn)確得多.故在實(shí)際使用中,復(fù)化Simpson公式應(yīng)用較廣泛.3.4復(fù)化求積公式的收斂階對(duì)上的任何連續(xù)函數(shù),.都有但對(duì)代數(shù)多項(xiàng)式因此復(fù)化求積公式不能用代數(shù)精度來決定其優(yōu)劣.對(duì)復(fù)化求積公式我們用收斂階來刻劃其收斂性.定義4 設(shè)是將等分,用某一基本求積公式生成的復(fù)化求積公式,我們稱該復(fù)化求積公式具有收斂階，若對(duì)充分光滑的被積函數(shù)，有 （3.7）其中獨(dú)立于,依賴于.根據(jù)定義,復(fù)化梯形公式的收斂階是2(當(dāng)時(shí)收斂階大于2);復(fù)化Simpson公式的收斂階是4(當(dāng)時(shí)大于4);復(fù)化節(jié)點(diǎn)Causs-Legendre求積公式的收斂階為.收斂階越高,當(dāng)區(qū)間劃分加密

17、時(shí),積分近似值就越精確. 4 外推方法在用復(fù)化梯形求積公式時(shí),記為,其中.利用定積分定義有在數(shù)值計(jì)算中,經(jīng)常會(huì)遇到類似情況:精確值是所要求的,但不能用有限計(jì)算量算出來,而對(duì)某些,卻可以很方便地計(jì)算出來.如何從已知的推出的近似值,為些介紹數(shù)值計(jì)算中的重要方法;外推方法.4.1外推原理定理9 若逼近有下述余項(xiàng)展開 (4.1)其中,設(shè)為相近的互異正數(shù),則可用 (4.2)來近似，其中滿足 （4.3）而且. 對(duì)于的情況,我們有：定理10 若逼近的余項(xiàng)能寫成漸近形式 （4.4）及是獨(dú)立于的常數(shù)，則由 （4.5）定義的序列隨增大以更快的速度收斂于： （4.6）其中 （4.7）定理10也稱Richardson

18、外推法。42復(fù)化梯形公式余項(xiàng)的漸近展開利用Euler-Maclaurin求和公式，可以證明復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)具有漸近展開。定理11 若則有 (4.8) 其中為數(shù)，而 （4.9）若記 從而可用Richardson外推法提高精度。43 Romberg算法在復(fù)化梯形公式中，選取記注意到得 （4.10）計(jì)算順序如表4-7所示。表4-7 0 1 2 3 0123Romberg算法：1輸入外推次數(shù)（一般取為3），控制精度；2置計(jì)算，??；3計(jì)算；4對(duì)進(jìn)行外推計(jì)算 ；5若，輸出數(shù)值積分值，停機(jī)；6置，7轉(zhuǎn)3。在Romberg算法中，第一列對(duì)應(yīng)于復(fù)化梯形序列，第二列對(duì)應(yīng)于復(fù)化Simpson序列，第三列對(duì)應(yīng)于Co

19、tes序列，第四列稱為Romberg序列。在實(shí)際使用中常常只計(jì)算到第4段列（即?。?，更高的列較少用。Romberg算法中止準(zhǔn)則，一般取同列或同行相鄰兩高值的的誤差絕以值小于事先給定的精度要求。Romberg算法是數(shù)值穩(wěn)定的，且對(duì)任意連續(xù)函數(shù)，都能保證數(shù)值積分收斂到準(zhǔn)確值。Romberg算法程序簡單，當(dāng)函數(shù)值不太復(fù)雜時(shí)，Romberg算法是常用的實(shí)用方法。5 自適應(yīng)求積方法51自適應(yīng)計(jì)算問題若要計(jì)算要求誤差不超過，我們可以用Newton-Cotes公式，Gauss型求積公式，復(fù)化求積公式,Romberg算法等來實(shí)現(xiàn)。當(dāng)充分光滑時(shí)，利用余項(xiàng)公式可以確定或區(qū)間等公數(shù)。這兒有些不足之外，首先高階導(dǎo)數(shù)不

20、易估計(jì)，即使給出了估計(jì)，估計(jì)式也把誤差放大到一個(gè)誤差限；其次上述求積公方法全是把被積函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上作整體處理的。函數(shù)在上性質(zhì)可能差異很大。例如在不等長分劃下，若每個(gè)小區(qū)間上用Simpson公式求積，有一個(gè)明顯的啟示是在取值小的區(qū)域，步長可以取大些，而在取值大的區(qū)域，步長應(yīng)當(dāng)取小些。本節(jié)介紹的自適算法，就是根據(jù)在不同子區(qū)間的性質(zhì)作不同的處理，使在較少的函數(shù)計(jì)算前提下達(dá)到誤差要求。在上面我們對(duì)每個(gè)小區(qū)間采用Simpson公式為基本求積公式，也可用其它的基本求積公式來實(shí)現(xiàn)。52自適應(yīng)算法將要計(jì)算的積公記為同理，上積分記為 （5.2）在上某一基本求積公式記為 ， （5.3）設(shè)基本求積公式的代數(shù)精度為

21、，則有 （5.4）其中是獨(dú)立于和具的常數(shù)。將等分成兩個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間，每個(gè)區(qū)間上用上述同一基本求積公式，得。其余項(xiàng)為（5.5）綜合（5.4），（5.5）得 （5.6）記，設(shè)預(yù)先規(guī)定誤差。階代數(shù)精度基本求積公式的自適應(yīng)算法從開始計(jì)算，分別計(jì)算出和，若，則取的近似值為，計(jì)算結(jié)束。8 數(shù)值微分列表函數(shù)的數(shù)值微分多取插值函數(shù)微分；非列表函數(shù)的數(shù)值微分多取差分近似。數(shù)值微分的數(shù)值穩(wěn)定性差，經(jīng)常利用外推法來提高精度。當(dāng)同時(shí)計(jì)算等距節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)，隱式方法具有較高的精度。81插值函數(shù)法設(shè)是的Lagrange插值多項(xiàng)式或Hermite插值多項(xiàng)式，在插值區(qū)間內(nèi)，一種很直觀的數(shù)值微分公式是取 （8.1）1二點(diǎn)公式設(shè)于是 (8.2)其中。利用廣義的均差微公公式（證明從略）我們有當(dāng)時(shí)，有特別地 （8.3）2.三點(diǎn)公式設(shè)充分光滑，利用關(guān)于三點(diǎn)的Lagrange插值多項(xiàng)式,我們可建立數(shù)值微分公式 （8.4） （8.5）當(dāng)時(shí)：（8.6）及 (8.7)從