立體幾何——二面角問題方法歸納

1、二面角的求法一、 定義法： 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角, 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個(gè)半平面叫做二面角的面，在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。例1（全國(guó)卷理）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點(diǎn)m在側(cè)棱上，=60（i）證明：m在側(cè)棱的中點(diǎn) （ii）求二面角的大小。練習(xí)1（山東）如圖，已知四棱錐p-abcd，底面abcd為菱形，pa平面abcd，,e，f分別是bc, pc的中點(diǎn).（）證明：aepd; （）若h為pd上的動(dòng)點(diǎn)，eh與平面pad所成最大角的正切值為，求二面角eafc的余弦值.二、三垂線法三垂線定理：在平面

2、內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直通常當(dāng)點(diǎn)p在一個(gè)半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d 例2(山東卷理) 如圖，在直四棱柱abcd-abcd中，底面abcd為等腰梯形，ab/cd，ab=4, bc=cd=2, aa=2, e、e、f分別是棱ad、aa、ab的中點(diǎn)。(1)證明：直線ee/平面fcc； (2)求二面角b-fc-c的余弦值。 練習(xí)2（天津）如圖，在四棱錐中，底面是矩形已知（）證明平面； （）求異面直線與所成的角的大??；（）求二面角的大小三補(bǔ)棱法本法是針對(duì)在解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒有明確

3、交線的求二面角題目時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當(dāng)二平面沒有明確的交線時(shí)，一般用補(bǔ)棱法解決abcedp 例3（湖南）如圖所示，四棱錐p-abcd的底面abcd是邊長(zhǎng)為1的菱形，bcd60，e是cd的中點(diǎn)，pa底面abcd，pa2. （）證明：平面pbe平面pab;（）求平面pad和平面pbe所成二面角（銳角）的大小.練習(xí)3已知斜三棱柱abca1b1c1的棱長(zhǎng)都是a，側(cè)棱與底面成600的角，側(cè)面bcc1b1底面abc。（1）求證：ac1bc；（2）求平面ab1c1與平面 abc所成的二面角（銳角）的大小。四、射影面積法（）凡二面

4、角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos）求出二面角的大小。例4（北京理）如圖，在三棱錐中，acbp，（）求證：；（）求二面角的大??；a1d1b1c1edbca圖5練習(xí)4： 如圖5，e為正方體abcda1b1c1d1的棱cc1的中點(diǎn)，求平面ab1e和底面a1b1c1d1所成銳角的余弦值.五、向量法向量法解立體幾何中是一種十分簡(jiǎn)捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時(shí)，通常要建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標(biāo)法表示的向量，進(jìn)行向量計(jì)算解題。例4：（天津卷理）如圖

5、，在五面體abcdef中，fa 平面abcd, ad/bc/fe，abad，m為ec的中點(diǎn)，af=ab=bc=fe=ad (i) 求異面直線bf與de所成的角的大小；(ii) 證明平面amd平面cde；求二面角a-cd-e的余弦值。 練習(xí)5、（湖北）如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?（）求證：；（）若直線與平面所成的角為,二面角的大小為，試判斷與的大小關(guān)系，并予以證明.二面角大小的求法的歸類分析一、定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；例1 在四棱錐p-abcd中，abcd是正方形，pa平面abcd，pa=ab=a，

6、求二面角b-pc-d的大小。二、三垂線法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；例2 在四棱錐p-abcd中，abcd是平行四邊形，pa平面abcd，pa=ab=a，abc=30，求二面角p-bc-a的大小。三、 垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；例3 在四棱錐p-abcd中，abcd是正方形，pa平面abcd，pa=ab=a，求b-pc-d的大小。四、射影面積法（）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用

7、射影面積公式（cos）求出二面角的大小，其中為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫出平面角；例4 在四棱錐p-abcd中，abcd為正方形，pa平面abcd，paaba，求平面pba與平面pdc所成二面角的大小。五、補(bǔ)棱法:對(duì)于一類沒有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。例5、在四棱錐p-abcd中，abcd為正方形，pa平面abcd，paaba，求平面pba與平面pdc所成二面角的大小。（補(bǔ)形化為定義法）六、向量法：向量法解立體幾何中是一種十分簡(jiǎn)捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時(shí)，通常

8、要建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標(biāo)法表示的向量，進(jìn)行向量計(jì)算解題。例6、（湖北）如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?（）求證：；（）若直線與平面所成的角為,二面角的大小為，試判斷與的大小關(guān)系，并予以證明.由此可見，二面角的類型和求法可用框圖展現(xiàn)如下：二面角大小的求法答案定義法：本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角samb中半平面abm上的一已知點(diǎn)（b）向棱am作垂線，得垂足（f）；在另一半平面asm內(nèi)過該垂足（f）作棱am的垂線（如gf），這兩條垂線（bf、gf）便形成該二面角的一個(gè)平面角，再在該平面角內(nèi)建立一個(gè)可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正

9、弦定理與余弦定理解題。fg例1（2009全國(guó)卷理）證（i）略 解（ii）：利用二面角的定義。在等邊三角形中過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則點(diǎn)為am的中點(diǎn)，過f點(diǎn)在平面asm內(nèi)作，gf交as于g，連結(jié)ac，adcads，as-ac，且m是sc的中點(diǎn)，amsc， gfam，gfas，又為am的中點(diǎn)，gf是ams的中位線，點(diǎn)g是as的中點(diǎn)。則即為所求二面角. ，則，又，,，是等邊三角形，, 在中，,二面角的大小為練習(xí)1（2008山東）分析：第1題容易發(fā)現(xiàn)，可通過證aead后推出ae平面apd，使命題獲證，而第2題，則首先必須在找到最大角正切值有關(guān)的線段計(jì)算出各線段的長(zhǎng)度之后，考慮到運(yùn)用在二面角的棱af上找到可計(jì)算二

10、面角的平面角的頂點(diǎn)s，和兩邊se與sc，進(jìn)而計(jì)算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值為）二、三垂線法本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（例2）過二面角b-fc-c中半平面bfc上的一已知點(diǎn)b作另一半平面fc1c的垂線，得垂足o；再過該垂足o作棱fc1的垂線，得垂足p，連結(jié)起點(diǎn)與終點(diǎn)得斜線段pb，便形成了三垂線定理的基本構(gòu)圖（斜線pb、垂線bo、射影op）。再解直角三角形求二面角的度數(shù)。e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d f1 o p 例2(2009山東卷理) 證（1）略解（2）因?yàn)閍b=4, bc=cd=2, 、f是棱ab的中點(diǎn),所以bf=bc=cf,bcf為正三角

11、形,取cf的中點(diǎn)o,則obcf,又因?yàn)橹彼睦庵鵤bcd-abcd中,cc1平面abcd,所以cc1bo,所以ob平面cc1f,過o在平面cc1f內(nèi)作opc1f,垂足為p,連接bp,則opb為二面角b-fc-c的一個(gè)平面角, 在bcf為正三角形中,在rtcc1f中, opfcc1f, 在rtopf中,所以二面角b-fc-c的余弦值為.練習(xí)2（2008天津）分析：本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明ad平面pab后，容易發(fā)現(xiàn)平面pab平面abcd，點(diǎn)p 就是二面角p-bd-a的半平面上的一個(gè)點(diǎn)，于是可過點(diǎn)p作棱bd的垂線，再作平面abcd的垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容

12、，從而可得本解法。（答案：二面角的大小為）abcedpfgh3 補(bǔ)棱法例3（2008湖南）分析：本題的平面pad和平面pbe沒有明確的交線，依本法顯然要補(bǔ)充完整（延長(zhǎng)ad、be相交于點(diǎn)f，連結(jié)pf.）再在完整圖形中的pf.上找一個(gè)適合的點(diǎn)形成二面角的平面角解之。（）證略解: （）延長(zhǎng)ad、be相交于點(diǎn)f，連結(jié)pf.過點(diǎn)a作ahpb于h，由（）知,平面pbe平面pab,所以ah平面pbe.在rtabf中，因?yàn)閎af60，所以，af=2ab=2=ap.在等腰rtpaf中，取pf的中點(diǎn)g，連接ag.則agpf.連結(jié)hg，由三垂線定理的逆定理得，pfhg.所以agh是平面pad和平面pbe所成二面角的

13、平面角（銳角）.在等腰rtpaf中， 在rtpab中， acbb1c1a1l所以，在rtahg中， 故平面pad和平面pbe所成二面角（銳角）的大小是練習(xí)3提示：本題需要補(bǔ)棱，可過a點(diǎn)作cb的平行線l（答案：所成的二面角為45o）四、射影面積法（）例4（2008北京理）分析：本題要求二面角bapc的大小，如果利用射影面積法解題，不難想到在平面abp與平面acp中建立一對(duì)原圖形與射影圖形并分別求出s原與s射于是得到下面解法。解：（）證略（），又，又，即，且，平面取中點(diǎn)連結(jié)，是在平面內(nèi)的射影，acbepace是abe在平面acp內(nèi)的射影，于是可求得：，則，,設(shè)二面角的大小為，則二面角的大小為練習(xí)4

14、：分析 平面ab1e與底面a1b1c1d1交線即二面角的棱沒有給出，要找到二面角的平面角，則必須先作兩個(gè)平面的交線，這給解題帶來(lái)一定的難度。考慮到三角形ab1e在平面a1b1c1d1上的射影是三角形a1b1c1，從而求得兩個(gè)三角形的面積即可求得二面角的大小。（答案：所求二面角的余弦值為cos=）.五、向量法例4：（2009天津卷理）現(xiàn)在我們用向量法解答：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)依題意得 （i） 所以異面直線與所成的角的大小為.（ii）證明： ， （iii） 又由題設(shè)，平面的一個(gè)法向量為練習(xí)5、（2008湖北）分析：由已知條件可知：平面abb1 a1平面bcc1 b1平面

15、abc于是很容易想到以b 點(diǎn)為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，并將相關(guān)線段寫成用坐標(biāo)表示的向量，先求出二面角的兩個(gè)半平面的法向量，再利用兩向量夾角公式求解。（答案：，且）總之，上述五種二面角求法中，前三種方法可以說是三種增添輔助線的一般規(guī)律，后兩種是兩種不同的解題技巧，考生可選擇使用。1.、ab=ad=a，, 過b作bhpc于h，連結(jié)dhdhpc故bhd為二面角b-pc-d的平面角因pb=a,bc=a,pc=a,pbbc=spbc=pcbh則bh=dh又bd=, 在bhd中由余弦定理，得：cosbhd, 又0bhd 則bhd=，二面角b-pc-d的大小是。2解：（三垂線法）如圖pa平面bd，過a作ahbc于h，連結(jié)ph，則phbc又ahbc，故pha是二面角p-bc-a的平面角，在rtabh中，ah=absinabc=asin30=, 在rtpha中，tanpha=pa/ah=，則pha=arctan2.3解（垂面法）如圖pa平面bdbdac bdbc過bd作平面bdhpc于hpcdh、bhbhd為二面角b-pc-d的平面角，因pb=a,bc=a,pc=a,pbbc=spbc=pc