第 根軌跡.ppt

1、G(s) H (s) = 2,裝,訂,線(xiàn),K1 (s + 1) s (s + 2),例. 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。,裝,線(xiàn),解: 系統(tǒng)在s平面的原點(diǎn)有二重開(kāi)環(huán)極點(diǎn),因此-1 0這段實(shí)軸不是根軌跡,而-2-1這一段是根軌跡。,n-m=2，故系統(tǒng)的根軌跡有兩條漸近線(xiàn),它們與正,實(shí)軸的夾角分別為 90o ，與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是: 2 ( 1 ) 3 1 分離點(diǎn)為0,系統(tǒng)的根軌跡如圖1所示。 訂,根軌跡圖1,該系統(tǒng)負(fù)實(shí)軸上的零、極點(diǎn)位置分布不同時(shí)， 將使系統(tǒng)的根軌跡走勢(shì)發(fā)生很大變化。如當(dāng)極點(diǎn) 由-2變?yōu)?9時(shí)，求得實(shí)軸上分離點(diǎn)為0和-3，漸近 線(xiàn)與實(shí)軸的交點(diǎn)變?yōu)?4，其根軌跡如圖2

2、所示。,根軌跡圖2,當(dāng)極點(diǎn)由-2變?yōu)?10時(shí)，求得實(shí)軸上分離點(diǎn)為 0、-2.5和-4，漸近線(xiàn)與實(shí)軸的交點(diǎn)變?yōu)?4.5，其根 軌跡如圖3所示。,根軌跡圖3,-4.5,裝,訂,線(xiàn),j 0,j 0,j 0,（a）,（b）,（c）,j,j,j,0,0 （d）,0 （e）,（f）,常見(jiàn)開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)分布及其根軌跡,裝,訂,線(xiàn),j,0,0,（i）,（j）,j,0,0,（h）,j,j （g）,裝,訂,線(xiàn),0,j,j,（l） 廣義根軌跡,在負(fù)反饋系統(tǒng)中,根跡增益從0變化時(shí)的 根軌跡稱(chēng)為常規(guī)根軌跡，而系統(tǒng)其它參數(shù)變化時(shí),的根軌跡稱(chēng)為參量根軌跡或廣義根軌跡。如果系 統(tǒng)的兩個(gè)參數(shù)同時(shí)變化，則可以得到根軌跡族。,裝,線(xiàn)

3、,C(s),R(s),-,K s(s + 2) 1+Kts,數(shù)(如開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)、時(shí)間常數(shù)和反饋系數(shù)等)變,化時(shí)對(duì)系統(tǒng)性能的影響,因此需要繪出以該參數(shù) 為參變量的根軌跡。下面舉例說(shuō)明這種根軌跡 的繪制方法。 訂,1. 參量根軌跡 在分析或校正系統(tǒng)時(shí),有時(shí)需要研究其它參,例1 . 設(shè)隨動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) 如右圖所示,圖中參數(shù)Kt是 速度反饋系數(shù)。試分析Kt 對(duì)系統(tǒng)性能的影響，圖中 前向通路的增益K=10。,1 + 2,裝,訂,線(xiàn),解: 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 （K=10）,s 2 + 2s + 10K t s + 10 = 0 為了繪制以Kt為參變量的根軌跡,構(gòu)造一個(gè)新 系統(tǒng),使新系統(tǒng)具有和原系統(tǒng)相同的閉

4、環(huán)特征方程, 而新系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益恰好為原系統(tǒng)的參數(shù)Kt。 將上式左邊分為兩部分,可變參數(shù)Kt只包含在 第二部分中: (s 2 + 2s + 10) + 10K t s = 0,= 0,10 K t s s + 2s + 10,然后用第一部分除全式,得,C(s),R(s),-,s(s + 2) 1+Kts,K,2. 延遲系統(tǒng)根軌跡,(略),3. 正反饋和零度根軌跡 在復(fù)雜的控制系統(tǒng)中,可能會(huì)遇到具有正反饋的內(nèi),回路,如下圖所示。一般來(lái)說(shuō)，這種系統(tǒng)要通過(guò)主回路,來(lái)加以穩(wěn)定。局部正反饋部分的根軌跡繪制與前述的,繪制規(guī)則有所區(qū)別。,G1(s),G (s),H (s) H1(s),-,+,R(s),C(

5、s),具有正反饋的內(nèi)環(huán)傳遞函數(shù)為：,G(s) 1 G(s) H (s), (s) =,其根軌跡方程為：,1 G(s) H (s) = 0 G(s) H (s) = 1,幅值條件：,G(s) H (s) = 1,o o 所以稱(chēng)為零度根軌跡;而負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡遵循 180o 2k 的相角條件，通常稱(chēng)為常規(guī)或 180o 軌跡。,2. 根軌跡漸近線(xiàn)與正實(shí)軸的夾角為,k = 0,1,2L,2k n m, a = ,3. 根軌跡的出射角和入射角,繪制零度根軌跡的法則應(yīng)作如下一些變化： 1. 實(shí)軸上的根軌跡 實(shí)軸上的根軌跡區(qū)段,其右側(cè)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù),之和為偶數(shù)（包含0）。,繪制零度根軌跡的其它法則均同

6、常規(guī)根軌跡。,P = 2k +(Z P ),Z = 2k (Z P ),4.4,控制系統(tǒng)的根軌跡分析,1. 閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與系統(tǒng)性能的關(guān)系 人們總是希望控制系統(tǒng)的輸出量盡可能地復(fù)現(xiàn)給,定輸入量, 動(dòng)態(tài)過(guò)程快速、平穩(wěn)。要達(dá)到這些要求,閉,環(huán)零、極點(diǎn)的分布應(yīng)滿(mǎn)足下述要求:,1） . 要求系統(tǒng)穩(wěn)定,則必須使所有閉環(huán)極點(diǎn)位于S左 半平面。 2）. 要求系統(tǒng)快速性好,應(yīng)使系統(tǒng)階躍響應(yīng)表達(dá)式中的 每一個(gè)瞬態(tài)分量都衰減得快,各閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)遠(yuǎn)離虛軸。,裝,線(xiàn),3） . 要求系統(tǒng)平穩(wěn)性好,則復(fù)數(shù)極點(diǎn)最好設(shè)置在s,平面上與負(fù)實(shí)軸成 45 o夾角線(xiàn)的附近( = 45 o )。 這是因?yàn)橛啥A系統(tǒng)的分析可知,當(dāng) =

7、45o 時(shí),阻 尼比 = cos = 0.707，為最佳阻尼比,這時(shí)系統(tǒng)的 平穩(wěn)性( % 5% )和快速性(ts)都比較理想。,o 訂 4） . 合理配置主導(dǎo)極點(diǎn)及閉環(huán)零點(diǎn)的位置 一般情況下高階系統(tǒng)具有振蕩性，所以主導(dǎo) 極點(diǎn)常常是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。找到了一對(duì)共軛復(fù)數(shù),主導(dǎo)極點(diǎn)，高階系統(tǒng)就可以近似地當(dāng)作二階系統(tǒng) 來(lái)分析，在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，相應(yīng)的性能指標(biāo)都可以 按二階系統(tǒng)得到估算。,裝,訂,在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)可以有意識(shí)地在系統(tǒng)中,加入適當(dāng)?shù)牧泓c(diǎn),以抵消對(duì)動(dòng)態(tài)過(guò)程有不利 影響的極點(diǎn),使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能得到改善。 2. 閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的分布與系統(tǒng)階躍響應(yīng),的關(guān)系 線(xiàn) 63,裝,訂,線(xiàn),t,0,C(t) 1.0,b)對(duì)應(yīng)

8、的階躍響應(yīng)曲線(xiàn),j,a) 兩條負(fù)實(shí)軸上的根軌跡,2,有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn) s1、 = n n 2 1 對(duì)單位階躍輸入的響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)分量加上兩個(gè)衰減的 指數(shù)曲線(xiàn)項(xiàng)。當(dāng)較大時(shí)，一個(gè)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸它的 影響較小，可以忽略不計(jì)，衰減的快慢主要由靠近 虛軸的極點(diǎn)決定，這時(shí)系統(tǒng)近似于一個(gè)慣性環(huán)節(jié)。,1). 當(dāng)主導(dǎo)極點(diǎn)根軌跡在負(fù)實(shí)軸上時(shí)： 如下圖所示，此時(shí)系統(tǒng)處于過(guò)阻尼狀態(tài)（1），,(1 + n t),c(t) = 1 e,裝,訂,線(xiàn),t,0,C(t) 1.0,b)對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線(xiàn),a) 兩條負(fù)實(shí)軸上的根軌跡相重時(shí),j,2). 當(dāng)主導(dǎo)極點(diǎn)根軌跡在負(fù)實(shí)軸上重疊時(shí)： 如下圖所示，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài),（

9、 =1 ）,它有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn) （ s1、2 = n )，對(duì)單位階躍輸入的響應(yīng)為 nt 此時(shí)系統(tǒng)正好無(wú)超調(diào)也無(wú)振蕩。,裝,訂,線(xiàn),3). 當(dāng)主導(dǎo)極點(diǎn)根軌跡具有一對(duì)實(shí)部為負(fù)的 復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)：,2,如下圖所示，此時(shí)系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)（01） 它有兩個(gè)不相等的復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn): s1、 = n jn 1 2,a)進(jìn)入復(fù)平面具有負(fù)實(shí) 部的根軌跡,等頻率線(xiàn),等調(diào)節(jié)時(shí)間線(xiàn) 等阻尼線(xiàn),j,b)對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線(xiàn),1.0,等峰值時(shí)間線(xiàn) C(t),t,0,裝,訂,線(xiàn),b)對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線(xiàn),t,1.0 0,對(duì)單位階躍輸入的暫態(tài)響應(yīng)是振幅隨時(shí)間 按指數(shù)函數(shù)規(guī)律衰減的周期函數(shù)。根軌跡處于,復(fù)平面某一點(diǎn)時(shí)通過(guò)該點(diǎn)可

10、以做出4條線(xiàn)，分別 叫等阻尼線(xiàn)、等頻率線(xiàn)、等調(diào)節(jié)時(shí)間線(xiàn)、等峰,值時(shí)間線(xiàn)。,a)進(jìn)入復(fù)平面具有負(fù)實(shí) 部的根軌跡,等頻率線(xiàn),等調(diào)節(jié)時(shí)間線(xiàn) 等阻尼線(xiàn),j,等峰值時(shí)間線(xiàn) C(t),S, n,離為 ，只要無(wú)阻尼自然振蕩頻率 n 相同，,裝,訂,線(xiàn),(a)等阻尼線(xiàn)：,通過(guò)該閉環(huán)極點(diǎn)與原點(diǎn)的連線(xiàn)。等阻尼線(xiàn) 與負(fù)實(shí)軸的夾角 = cos1 。 相同，則極點(diǎn) 都分布在與負(fù)實(shí)軸夾角為 由原點(diǎn)射出的同 一條射線(xiàn)上，越靠近實(shí)軸的等阻尼線(xiàn)越大， 所對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)平穩(wěn)性就越好。 (b)等頻率線(xiàn)： 通過(guò)該閉環(huán)極點(diǎn)，以該極點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 為半徑所畫(huà)出的弧線(xiàn)。由原點(diǎn)至該極點(diǎn)間的距 極點(diǎn)都在該弧線(xiàn)上。,裝,訂,線(xiàn),(c)等調(diào)節(jié)時(shí)間

11、線(xiàn)：,通過(guò)該閉環(huán)極點(diǎn)與虛軸平行的直線(xiàn)。等調(diào)節(jié) 時(shí)間線(xiàn)與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為 n ，等調(diào)節(jié)時(shí)間線(xiàn) 離虛軸越遠(yuǎn)，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間 t s = 3.5 / n 越短。只 要系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間相等，極點(diǎn)都在這條豎線(xiàn)上。 (d)等峰值時(shí)間線(xiàn)： 通過(guò)該閉環(huán)極點(diǎn)與實(shí)軸平行的直線(xiàn)。等峰 值時(shí)間線(xiàn)與虛軸的交點(diǎn)為 d = n 1 2 ，等峰 值時(shí)間線(xiàn)離實(shí)軸越遠(yuǎn)，系統(tǒng)峰值時(shí)間 tp = /d 越 小。只要系統(tǒng)峰值時(shí)間相等，極點(diǎn)都在這條橫 線(xiàn)上。,裝,訂,線(xiàn),4). 當(dāng)主導(dǎo)極點(diǎn)根軌跡與虛軸相交具有一對(duì)純虛 數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)時(shí)：,如下圖所示，此時(shí)系統(tǒng)處于無(wú)阻尼狀態(tài)（=0）， 它有一對(duì)純虛數(shù)極點(diǎn)（ s1、2 = jn ），對(duì)單位 階躍輸入的響

12、應(yīng)為一等幅振蕩周期函數(shù)。,c(t ) = 1 cos n t j 0 a)根軌跡與虛軸相交,臨界穩(wěn)定歸入不穩(wěn)定系統(tǒng) C(t) 1.0 0 t b)對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線(xiàn),裝,訂,線(xiàn),C(t),t,1.0 0,b)對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線(xiàn),j,a)根軌跡進(jìn)入s右半平面,5）.當(dāng)主導(dǎo)極點(diǎn)根軌跡具有一對(duì)實(shí)部為正 的復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)：,如下圖示，此時(shí)系統(tǒng)處于負(fù)阻尼狀態(tài)（-10）， 它有兩個(gè)不相等的復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn),2, s1、2 = n j n 1 ,系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入的暫態(tài)響應(yīng)隨時(shí)間增長(zhǎng)而振 蕩發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,裝,訂,線(xiàn),t,0,C(t) 1.0,b)對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線(xiàn),6). 當(dāng)主導(dǎo)極點(diǎn)根軌跡在正實(shí)軸上時(shí)：,如下

13、圖示，此時(shí)系統(tǒng)處于負(fù)阻尼狀態(tài)（ -1）， 它有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)對(duì)單 位階躍輸入的暫態(tài)響應(yīng)隨時(shí)間增長(zhǎng)而單調(diào)發(fā)散。,a) 兩條正實(shí)軸上的根軌跡,j 0,系統(tǒng)不穩(wěn)定,裝,訂,線(xiàn),-S2,j 9.2,-4,0,-S1 -Z1,-S3 ,-9.2,閉環(huán)零極點(diǎn)分布圖,試估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)。,(0.59s + 1) (0.67 s + 1)(0.01s 2 + 0.08s + 1), (s) =,例1 . 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,(0.01s + 0.08s + 1),= 2,% = e,裝,訂,解: 系統(tǒng)有三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn) s1 = 1.5, - s2,3 = 4 j9.2 和,一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn) z

14、1 = 1.7 。圖中用符號(hào)“”表示閉環(huán) 極點(diǎn)。極點(diǎn)-s1與零點(diǎn)組成閉環(huán)偶極子,故主導(dǎo)極點(diǎn) 不是-s1而是共軛極點(diǎn) - s 2,3 ，系統(tǒng)可以近似為二階 系統(tǒng)。,1,2,100 s + 8s +100,(s) , / 1 2,= 25%,.,tS 3 / n = 075秒,其中=0.4， n = 10秒-1 , 對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)為 線(xiàn),即,裝,訂,線(xiàn),K1 s(s + 1)(s + 2),G (s) H (s) =,例2. 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：,其中H(s)=1,試用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并計(jì) 算閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)具有阻尼比=0.5時(shí)的性能指標(biāo)。, o,解: 本例的根軌跡如下圖所示。由圖可知,當(dāng)

15、系 統(tǒng)開(kāi)環(huán)根跡增益K1 6 時(shí),有兩條根軌跡進(jìn)入右半 s平面,系統(tǒng)將不穩(wěn)定。所以使系統(tǒng)穩(wěn)定的開(kāi)環(huán)根 跡增益范圍是 0 K1 6 。為確定閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn), 在s平面上畫(huà)出=0.5時(shí)的等阻尼線(xiàn),使其與實(shí)軸負(fù) 方向的夾角為 = cos 1 = 60 , 等阻尼比線(xiàn)與根軌 跡的交點(diǎn)為 s1 = 0.33 + j0.58 。因此主導(dǎo)極點(diǎn) 為 s1, 2 = 0.33 j0.58,76,訂,線(xiàn),由幅值條件可得： 裝 K1 = s1 s1 + p2 s1 + p3 = 0.667 0.8861.77,1.05 (s + 0.33 j0.58)(s + 0.33+ j0.58)(s + 2.34),(s) =,

16、= 1.05 系統(tǒng)的n-m2，因此閉環(huán)極點(diǎn)之和應(yīng)等于開(kāi)環(huán) 極點(diǎn)之和，由此可得第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為 s3 = 0 + (1) + (2) (s1 s2 ) = 2.34 即閉環(huán)傳遞函數(shù)為,(s) 2,s + 2n s + n,(s + 0.33 j0.58)(s + 0.33+ j0.58) s + 0.667s + 0.445,77,裝,訂,線(xiàn),-s3離虛軸的距離是-s1,2離虛軸距離的7倍，所以-s1,2 是主導(dǎo)極點(diǎn)，可將三階系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)來(lái)處理。,這里的近似是對(duì)根跡增益 K1 = 1.05 的閉環(huán)系統(tǒng)而 言的。將系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)寫(xiě)為二階主導(dǎo)極點(diǎn)形式:,2,=,(n )2 + n2 (1 2

17、 ) (s + s1 )(s + s2 ),n2,= 2,0.332 + 0.582 0.445,=,= 16.3% ,tS = 3 / n = 9.0 s, % = e, / 1 2,因此，系統(tǒng)的 n = 0.445, = 0.5 ，在單位 階躍信號(hào)作用下的性能指標(biāo)約為,78,3. 增加零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡和系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性 能的影響 當(dāng)原系統(tǒng)的性能指標(biāo)不能滿(mǎn)足要求時(shí)， 可引入適當(dāng)裝置，改變或增加系統(tǒng)零、極點(diǎn)， 使其根軌跡形狀發(fā)生變化，從而使改變后的 根軌跡能通過(guò)期望的主導(dǎo)極點(diǎn)。,例3. 系統(tǒng)原開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,K1 s(s + 1),G(s) H (s) =,試分析增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)-z1=-2對(duì)系統(tǒng)性能的影響。,解：附加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)以前，系統(tǒng)的根軌跡如圖,中虛線(xiàn)所示,79,增加了開(kāi)環(huán)零點(diǎn)-z1=-2后，根軌跡變?yōu)榱舜?實(shí)線(xiàn)，其非實(shí)數(shù)部分是以開(kāi)環(huán)零點(diǎn)為園心的園。,原系統(tǒng)的根軌跡靠 近虛軸,系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性 較差。引入附加開(kāi)環(huán)零 點(diǎn)后,兩條根軌跡在負(fù)實(shí),軸上分離后在復(fù)平面的,根軌跡向左彎曲,分離點(diǎn) 位置左移，且過(guò)原點(diǎn)作 園的切線(xiàn),量得切線(xiàn)與負(fù),實(shí)軸的夾角, = 45o 。,-2,例3 根軌跡,0,-1,j ,80,點(diǎn)后,系統(tǒng)階躍響應(yīng)的,動(dòng)態(tài)過(guò)程加快，超調(diào) 量減小，系統(tǒng)的快速 性和平穩(wěn)性都得