福建農(nóng)林大學-數(shù)學建模培訓-mcm2006B艾滋病療法的評價.ppt

1、艾滋病療法的評價 及療效的預測,全國大學生數(shù)學建模競賽 2006年B題,艾滋病是當前人類社會最嚴重的瘟疫之一，從1981年發(fā)現(xiàn)以來的20多年間，它已經(jīng)吞噬了近3000萬人的生命。 艾滋病的醫(yī)學全名為“獲得性免疫缺損綜合癥”，英文簡稱AIDS，它是由艾滋病毒（醫(yī)學全名為“人體免疫缺損病毒”, 英文簡稱HIV）引起的。這種病毒破壞人的免疫系統(tǒng)，使人體喪失抵抗各種疾病的能力，從而嚴重危害人的生命。人類免疫系統(tǒng)的CD4細胞在抵御HIV的入侵中起著重要作用，當CD4被HIV感染而裂解時，其數(shù)量會急劇減少，HIV將迅速增加，導致AIDS發(fā)作。 艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量，同時產(chǎn)生更多的

2、CD4，至少要有效地降低CD4減少的速度，以提高人體免疫能力。,迄今為止人類還沒有找到能根治AIDS的療法，目前的一些AIDS療法不僅對人體有副作用，而且成本也很高。許多國家和醫(yī)療組織都在積極試驗、尋找更好的AIDS療法。 現(xiàn)在得到了美國艾滋病醫(yī)療試驗機構(gòu)ACTG公布的兩組數(shù)據(jù)。 ACTG320（見附件1）是同時服用zid., lam., ind. 3種藥物的300多名病人每隔幾周測試的CD4和HIV的濃度（每毫升血液里的數(shù)量）。193A（見附件2）是將1300多名病人隨機地分為4組，每組按下述4種療法中的一種服藥，大約每隔8周測試的CD4濃度（這組數(shù)據(jù)缺HIV濃度，它的測試成本很高）。4種療

3、法的日用藥分別為：600mg zid.或400mg did.，這兩種藥按月輪換使用；600 mg zid.加2.25 mg zal.；600 mg zid.加400 mg did.；600 mg zid.加400 mg did.，再加400 mg nev.。,請你完成以下問題： （1）利用附件1的數(shù)據(jù)，預測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時間（繼續(xù)治療指在測試終止后繼續(xù)服藥，如果認為繼續(xù)服藥效果不好，則可選擇提前終止治療）。 （2）利用附件2的數(shù)據(jù)，評價4種療法的優(yōu)劣（僅以CD4為標準），并對較優(yōu)的療法預測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時間。 (3) 艾滋病藥品的主要供給商對不發(fā)達國

4、家提供的藥品價格如下：600mg zid. 1.60美元，400mg did. 0.85美元，2.25 mg zal. 1.85美元，400 mg nev. 1.20美元。如果病人需要考慮4種療法的費用，對（2）中的評價和預測（或者提前終止）有什么改變。,附件1 ACTG320數(shù)據(jù) 同時服用3種藥物的300多名病人每隔幾周測試的CD4和HIV的濃度。 第1列是病人編號，第2列是測試CD4的時刻（周），第3列是測得的CD4（乘以0.2個/ml），第4列是測試HIV的時刻（周），第5列是測得的HIV（單位不詳）。 PtIDCD4Date CD4Count RNADateVLoad 23424 01

5、780 5.5 23424 42284 3.9 23424 81268 4.7 23424 25171 25 4 23424 40 99 40 5 23425 0 140 5.3 23425 4 624 2.4 23425 91109 3.7 23425 23122 23 2.6 23425 40320,附件2 193A數(shù)據(jù) 1300多名病人按照4種療法服藥大約每隔8周測試的CD4濃度。 第1列是病人編號，第2列是4種療法的代碼： 第3列是病人年齡，第4列是測試CD4的時刻（周），第5列是測得的CD4，取值log(CD4+1). ID 療法 年齡 時間 Log(CD4 count+1) 123

6、6.427103.1355 1236.42717.57143.0445 1236.427115.57142.7726 1236.427123.57142.8332 1236.427132.57143.2189 1236.427140 3.0445 2447.84670 3.0681 2447.84678 3.8918 2447.846716 3.9703 2447.846723 3.6109 2447.846730.71433.3322 2447.846739 3.0910,CD4大致有先增后減的趨勢，HIV有先減后增的趨勢，啟示應建立時間的二次函數(shù)模型,問題（1） 利用附件1的數(shù)據(jù)，預測繼續(xù)

7、治療的效果, 或者確定最佳治療終止時間。,分析數(shù)據(jù),如隨機取20個病人，畫出他們CD4和HIV濃度隨時間變化的圖形（折線），,若先用一次模型，應與二次模型做統(tǒng)計分析比較,CD4,HIV,1） 總體回歸模型 用全部數(shù)據(jù)擬合一個模型，如 yij=b0+b1tij+b2tij2，tij，yij分別為第i病人第j次測量的時間和CD4（或HIV），估計b0, b1, b2,建立模型,有以下形式的回歸模型（一次與二次模型比較，二次較優(yōu)）：,對HIV，b20, b10, t=-b1/2b2 達到最小,對CD4，b20, t=-b1/2b2 達到最大,平均地應在2530（周）結(jié)束治療。,可對CD4統(tǒng)計b2i0

8、（存在正最大點）及b2i0（不存在最大點）的頻率，分別作為及時結(jié)束治療與繼續(xù)治療的概率；也可用它們的均值和均方差在確定分布下計算這些概率。,2) 個人回歸模型,用每個病人的數(shù)據(jù)擬合一個模型，如yij=b0i+b1itij+b2itij2，計算b0i ,b1i ,b2i的均值和均方差，用均值可得CD4的最大點和HIV的最小點。,將模型 yij=b0i+b1itij+b2itij2 的系數(shù)分解: bki=bk+ik（k=0,1,2），設ik服從零均值正態(tài)分布，利用極大似然估計可以得到bk的估計值及ik的方差。,3) 縱向數(shù)據(jù)回歸模型,bk的估計值用于計算CD4的最大點和HIV的最小點，它與ik的方

9、差一起可以在正態(tài)分布假定下計算及時結(jié)束治療與繼續(xù)治療的概率。,如果考慮病人初始狀態(tài)（t=0時的CD4和HIV）的不同對模型的影響，可以將模型中的yij定義為第i病人第j次測量的CD4（或HIV）與初始值之差或之比。,或者先按照病人初始狀態(tài)分類（如輕度、中度、重度），然后對于每一類建立回歸模型。,建立模型,問題（2） 利用附件2的數(shù)據(jù)，評價4種療法的優(yōu)劣，并對較優(yōu)的療法預測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時間。,對于每種療法隨機取20個病人，畫出他們CD4隨時間變化的圖形（折線），可以看出療法13的CD4基本上水平，略有下降，而療法4有先增后減的趨勢。啟示應建立時間的一次與二次函數(shù)模型，經(jīng)統(tǒng)

10、計分析比較，確定哪種較優(yōu)。,分析數(shù)據(jù),可以引入4（或3）個0-1變量表示4種療法建立統(tǒng)一模型，或者對每種療法各建立一個模型（一般來說前者較優(yōu)）。,1）回歸模型,以總體回歸模型為例，只需增加年齡變量，分別用一次與二次時間函數(shù)模型進行比較，可知療法13用一次模型較優(yōu)，且一次項系數(shù)為負，即CD4在減少，從數(shù)值看療法3優(yōu)于療法2和1；療法4用二次模型較優(yōu)，即CD4先增后減，,建立模型,做療法有無顯著性差異的兩兩比較： 用1個0-1變量構(gòu)造兩種療法的統(tǒng)一模型，可以用t檢驗作回歸系數(shù)是否為零的假設檢驗。結(jié)果是療法1與2無顯著性差異，而療法1與3，2與3，3與4均有顯著性差異。,2）假設檢驗,療法是必選的因

11、素，如果還考慮年齡和初始狀態(tài)，用雙因素分析則比較復雜，可以先按這些因素分類，再做療法的單因素分析。,3）方差分析,論文中出現(xiàn)問題的評析,1只做數(shù)據(jù)擬合，不做統(tǒng)計檢驗。,用回歸分析方法做統(tǒng)計檢驗： 得到的模型有無顯著意義，它的置信度多大，用它作預測時準確程度如何。,最小二乘擬合： 已知一組數(shù)據(jù)(xk,yk), k=1,2,n 和一個形式已定、參數(shù)待定的模型（曲線）y=f(x, ), 確定參數(shù)使數(shù)據(jù)與模型在誤差平方和最小的意義下擬合得最好。,有現(xiàn)成的計算公式和軟件確定參數(shù),y=a1x+b1=0.2013x+1.0040,z=a2x+b2=0.2025x+1.0025,兩個模型的結(jié)果一樣，但是可靠性

12、和準確性一樣嗎？,需要做統(tǒng)計檢驗！,簡例,最小二乘擬合,R2=0.3528在z的變化中只有35%是由x決定的,p值大于0.05在常用的置信度=5%下該模型沒有顯著意義,a2的置信區(qū)間包含零點a=0落在置信水平為95%的區(qū)間內(nèi),若x=5.5,預測區(qū)間 y：2.0621，2.1606 ，z：0.3899，3.8432，,預測值 y=2.1113, z=2.1165,回歸分析結(jié)果,z的預測沒有什么價值！,2對原始數(shù)據(jù)先取平均，再用平均值做擬合,數(shù)據(jù)中大多數(shù)病人的測試時間是0,4,8,（周），個別病人是5,7, （周），為了得到CD4(或HIV)的變化趨勢，先在每個時間點上對CD4取平均，再用平均值做

13、擬合,這樣做有什么問題呢？,注意：有的時間點上有上百個病人的CD4，而有的時間點上只有幾個病人的CD4。,數(shù)據(jù)(x,y)：x=0, y=0:0.05:2; x=1,y=1:0.05:3; x=2,y=0,2, 在圖上共84個點。,簡例,對數(shù)據(jù)(x,y)擬合一條直線，得y=0.7647x+1.0784,先在x=0,1,2對y取平均得到3個點, 再擬合直線，得y=1.3333,取平均后的3個點在做擬合時的權(quán)重相同; 但是x=0,1的點都是41個數(shù)據(jù)的平均值, 而x=3的點只是2個數(shù)據(jù)的平均值,3擬合過度,用4次、5次甚至更高次數(shù)的多項式作擬合,數(shù)據(jù)的起伏是由與時間本身無關(guān)的其它隨機因素引起的，不應該用增加時間的高次項來擬合,注意擬合與插值在應用場合的差別,一般地說，多項式擬合不要超過3次，對于本題如果用統(tǒng)計檢驗做顯著性分析，可以發(fā)現(xiàn)多數(shù)情況是以時間的2次多項式為好,適用本題的顯然是擬合而非插值,4只按照圖形做直觀的定性判斷，不做定量分析,為了比較4種療法的優(yōu)劣，對每種療法的CD4（或取平均）做散點圖, 或折線（散點連線）圖, 直觀地比較療法的優(yōu)劣,沒有普遍的指導意義，對于其它問題或數(shù)據(jù)，這樣做不一定能得到結(jié)果,一種療法的CD4散點圖(或折線圖)在另一種療法的上面, 從統(tǒng)計意義上并不能表明其顯著性,作為數(shù)學建模題目