屋檐水槽構(gòu)建模型

1、 組別：第六小組 姓名：梁偉仙、葉佳盛、冼深發(fā)屋檐水槽模型摘要 對于傾斜屋頂采用何種結(jié)構(gòu)進行有組織排水，是民用建筑一個普通而有實際的問題。在民用建筑中一般是在房頂?shù)倪吘壈惭b一個檐槽和一個豎立的排水管來排水，這種排水方式的可行性探討實際上是解決水槽的容量在單位時間內(nèi)能否足以排除雨水的問題。構(gòu)建這種排水方式的微分方程模型，運用Maple對設(shè)計方案進行了可行性論證，提出了屋檐水槽模型的優(yōu)化方案。關(guān)鍵詞: 速度平衡原理；微分方程；數(shù)值解；maple一、問題的重述 為了雨天出入方便，房屋管理部門想在房頂邊緣安裝一個檐槽?，F(xiàn)在有一個公司想承擔(dān)這項業(yè)務(wù)，他們承諾：提供一種新型的可持久的檐槽，這種檐槽不管天氣

2、如何都能排掉房頂?shù)挠晁?。房屋部門希望檢驗公司的承諾能否實現(xiàn)。簡單來說, 從屋脊到屋檐的房頂可以看成是一個12米長,6米寬的矩形平面.房頂與水平方向的傾斜角度要視具體的房屋而定,一般來說,這個角度通常在2050之間?，F(xiàn)在有一個公司想承接這項業(yè)務(wù),他們允諾:提供一種新型的可持久的檐槽,它包括一個橫截面為半圓形(半徑為7.5厘米)的水槽和一個豎直的排水管(直徑為10厘米),并且不管天氣情況如何,這種檐槽都能排掉房頂?shù)挠晁Ｈ鐖D1所示。 二、模型的假設(shè)2.1、合理假設(shè) (1)、降雨分布均勻并以垂直下落，并且直接落在房頂上；(2)、所有落在房頂上的雨水迅速流入水槽中；(3)、雨水不斷從水槽中濺出；(4)

3、、排水管道順暢，沒有任何障礙或阻塞；(5)、假設(shè)雨開始下時槽內(nèi)有雨水，且水深高度為0.01m。2.2、符號說明 ： 如下圖表所示 各因素與符號說明有關(guān)的因素因素類型 符號 單位降水強調(diào)輸入變量rm/s時間變量ts房頂?shù)膬A斜度輸入?yún)?shù) 弧度房頂長度輸入?yún)?shù)dm房頂?shù)膶挾容斎雲(yún)?shù)bm水槽的半徑輸入?yún)?shù)am水槽中水的深度輸入?yún)?shù)hm水槽中水的容量變量Vm流入水槽的流速變量Qm/s流出水槽的流速變量Qm/s排水管橫截面積參數(shù)Am重力加速度常數(shù)gm/s 表1三、模型的建立參照圖1, 根據(jù)速度平衡的原理, 對于房頂排水系統(tǒng)有:水槽中水的流量的變化率= 雨水的流入流量- 排水流出的流量。即Vc(t)= Q-

4、 Q,這里Q、Q 分別是單位時間流入水槽和從水槽流出的雨水流量。房頂雨水的流動情況, 如圖2 所示。房頂?shù)拿娣e是bd, 由于房頂是傾斜的, 根據(jù)合理假設(shè)(1), 實際受雨的水平面積應(yīng)為bdcos, 房頂上雨水的流量就是r(t)bdcos,雨水的流動是沿傾斜的房頂向下的, 從而流入水槽的流量應(yīng)該是它在鉛垂方向的分量 , 即Q= r( t)cossin (1) 而根據(jù)能量守恒定律 得出， （2） 所以，Vc(t)= Q- Q水槽中水的深度hV(t):=a2*d*(arcos(a-h(t)/a)-(a-h(t)*sqrt(2*a*h(t)-h(t)2)/a2)定義v(t);V(t):=adarcco

5、s-V1：=diff(v(t),t);#求v（t） v2:=a2*d(diff(h(t),t)/(2*a*h(t)-h(t)2)(1/2)+diff(h(t),t)*(2*a*h(t)-h(t)2)(1/2)/a2-1/2*(a-h(t)/(2*a*h(t)-h(t)2)(1/2)/a2*(2*a*diff(h(t),t)-2*h(t)*diff(h(t),t);v(t):=simplify(%);#對上式化簡 v(t):=- （8）所以根據(jù)（1）、（2）、（8）這樣就得到模型： （9）即 （10）： 四、 模型的求解與分析設(shè)定一組數(shù)據(jù)：a=0.075m,b=6m,d=12m,g=9.8m/s

6、,A=0.0025m,h(0)=0.01m（假設(shè)槽內(nèi)有些積水）。下面，用Maple 求（10）數(shù)值解。 restart;eq:=diff(h(t),t)=(r*b*d*sin(alpha)*cos(alpha)-A*sqrt(2*g*h(t)/(2*d*sqrt(2*a*h(t)-(h(t)2);#定義（10）式；eq:=subs(a=0.075,b=6,d=12,g=9.8,A=0.0025*Pi,alpha=Pi/6,%);把這組數(shù)據(jù)代到上式eq := eq:=evalf(eq);化簡針對房屋管理部門的要求，所以我們可能遇到兩種情況：1、r(t)為常數(shù)；2、r(t)為周期函數(shù)：（1） 當(dāng)r

7、(t)為常數(shù)時。考慮水槽的深度趨于一個低于0.075m的穩(wěn)定值，即h(t)=0 eq1:=0 = .e-1*(31.*r-.e-1*h(t)(1/2)/(.150*h(t)-1.*h(t)2)(1/2);eq1:=0= solve(eq1,h(t);8.r eq2:=.5762*r2=0.075; eq2:=0.075 solve(eq2,r);r=-0.90,0.900.時，水溢出。 所以我們可以令r=0.00021; r=0.; r=0.00031 分別代入eq中求出其數(shù)值解，并作出h(t)的圖如圖（4）所示；eq3:=diff(h(t),t)=0.e-1*(31.*r-0.e-1*h(t

8、)(1/2)/(0.150*h(t)-1*h(t)2)(1/2);#定義方程h(t)= eq3:=subs(r=0.00021,eq)=0； #將r=0.00021代入eq3并令其為0 =0.（0.0-0.）initvals:=h(0)=0.01s1:=dsolve(eq4,initvals,h(t),type=numeric)；#求方程eq3的數(shù)值解 h(0)=0.01 proc(x_rkf45)end procsl(5)；#可以看出s1的第2項為好h(t) t=5.,h(t)=0.plot(rhs(s1(t)2,t=0.110):所以根據(jù)圖（4）知道，當(dāng)r=0.00021m/s時，h為t的

9、增函數(shù)，h的最大值在0.035m附近；而根據(jù)圖（5）知道當(dāng)r=0.時，h為t的增函數(shù)，h的最大值為0.074m左右；而根據(jù)圖（6）知道當(dāng)r=0.00031m/s時，h為t的增函數(shù)，h的最大值超過0.075m。 由于各地具體情況不同,各地氣象預(yù)報部門對于當(dāng)?shù)馗黝惤邓臉?biāo)準(zhǔn)也有些自己的規(guī)定。一般而言, 當(dāng)?shù)貧庀蟛块T規(guī)定24 h降水量在60 mm 以上的雨為特大暴雨。對于r(t)= 常數(shù)這種情形, r 0.000 305 m/s 的強降雨機率幾乎為0,因此,這個公司的承諾是能兌現(xiàn)的。（2）當(dāng)r(t)為周期函數(shù)時，并且設(shè)為正弦函數(shù)： r(t)= ，h（t）=0.01這表明下雨過程是在60s內(nèi)發(fā)生的一個

10、短促的強震雨行為，最大的降雨強度是0.m/s，由方程eq3得到如下的微分方程：而且h(0)=0.01這樣我們可以運用上面的數(shù)值解法，得到h(t)的圖（7）。 而且我們可以從圖（7）中可以看出，h(t)的最大值才只有0.01m，也就是水槽的高度，而上圖的最大值為0.075m，所以不會造成溢出現(xiàn)象，對于第2種情況，水槽的水也不會出現(xiàn)溢出的情況，所以這個公司的承諾可以兌現(xiàn)。五、 對模型的優(yōu)化并且改進：如果是長時間下暴雨，可能會造成溢出現(xiàn)象，因此有兩種優(yōu)化方案；a):增大排水管的橫截面積A,即增大排水管的半徑。當(dāng)排水管半徑 增大為0. 056 m,對于模型的第1 種情形,r 0. 000 36 m/

11、s, 水槽的水不會出現(xiàn)溢出的情況。圖8 是h( t)隨時間t 變化的形。h( t)的最大值不會超過0.07 m。對于模型的第2 種情形, 水槽的水不會溢出。圖9 是h( t)隨時間t 變化的圖形。h( t)的最大值不會超過0.01 m。b):改變水槽的連接方式, 如圖10, 讓水槽往屋檐傾斜一定角度, 這相當(dāng)于增加水槽的容水高度。圖9 改進后的h隨t 變化示意參考文獻1劉斌中國三農(nóng)問題報告M北京：中國發(fā)展出版社，2O04 2黎詣遠微 經(jīng)濟分析M北京：清華大學(xué)出版社，20(13 3葛志華wro與當(dāng)代中國農(nóng)民M南京：江蘇人民出版社，2001 4鮮祖德，農(nóng)民收入增長問題研究M北京：中國經(jīng)濟出版社，2

12、002附件1restart;eq:=diff(h(t),t)=(r*b*d*sin(alpha)*cos(alpha)-A*sqrt(2*g*h(t)/(2*d*sqrt(2*a*h(t)-(h(t)2); eq:=subs(a=0.075,b=6,d=12,g=9.8,A=0.0025*Pi,alpha=Pi/6,%); eq:=evalf(eq); eq1:=subs(diff(h(t),t)=0,eq); h(t):=solve(eq1,h(t); eq2:=.5762*r2=0.075; solve(eq2,r); restart;eq := diff(h(t),t) = .e-1*(31.*r-.e-1*h(t)(1/2)/(.150*h(t)-1.*h(t)2)(1/2); eq3:=subs(r=1/2000*sin(Pi/40*t),eq);eq4:=evalf(eq3); s1:=dsolve(eq4,h(0)=0.01,h(t),numeric); s1(5);#可以看出是（1）第二項為h(t) plot(rhs(s1(t)2),t=0.