2010高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六講 空間角課件 新人教版

1、基礎(chǔ)知識 一、空間角 空間中的角包括兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等這些角都是通過兩條射線所成的角來定義的，因而這些角都可以看成是角的概念在空間的拓廣，三種角的計算方法，都是轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)線與線所成的角來計算的確切地說，是“化歸”到一個三角形中，通過解三角形求其大小由于引入了空間向量，三種角的計算除以上方法外，還可考慮采用向量方法進行處理,二、三種角的概念、取值范圍及作法 (1)異面直線所成的角：在空間取一點O，過O點分別作兩異面直線的 線所成的 叫做兩條異面直線所成的角其取值范圍為(0， 作法：平移法 (2)直線和平面所成的角：如果直線平行平面或在平面內(nèi)，則它和平面所成的角的

2、大小為 ；如果直線垂直于平面，則它和平面所成的角的大小為 ；如果直線是平面的斜線，則它和它在平面內(nèi)的 所成的 角，稱之為直線和平面所成的角因此，直線和平面所成角的取值范圍是0， ,平行,銳角或直角,0,射影,銳,作法：幾何法：引垂線，找垂足，連接垂足、斜足得射影 溫馨提示 利用幾何法求線面角時，可過斜線上一點作已知平面的垂線若垂足不好作出，則可借助垂面 (3)二面角的平面角：從一條直線出發(fā)的兩個 組成的圖形叫做二面角以二面角的棱上 一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作 的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做直二面角其取值范圍為0，,半平面,任意,垂直于棱,作二面角的平

3、面角的常用方法有： 定義法：根據(jù)定義，以棱上任一點為端點， ，則形成二面角的平面角 三垂線法：從二面角一個面內(nèi)某個特殊點P ，于是PBA(或其補角)是二面角的平面角,分別,在兩個面內(nèi)作垂直于棱的兩條射線,作另,一個面的垂線，過垂足A作二面角棱的垂線，垂足為B，,連結(jié)PB，由三垂線定理得PB與棱垂直,垂面法：過二面角的棱上一點作平面與棱垂直，分別與兩個面的交線，構(gòu)成二面角的平面角 常用面積的射影定理來求二面角，即ScosS射，它的優(yōu)點是不必作出二面角的平面角,歸納拓展 (1)空間角的計算步驟：一找(作)，二證，三計算(2)特別注意三種空間角的取值范圍,易錯知識 一、找錯平面角致誤 1如圖是三個全

4、等的矩形構(gòu)成的空間圖形，D為AC的中點，若AB1BC1，求二面角DBC1C的大小,錯解：設(shè)BC1B1CO，連結(jié)DO，則ODAB1， 因為AB1BC1， 所以O(shè)DBC1.而OC是OD在平面B1BCC1內(nèi)的射影， 所以O(shè)CBC1， 故DOC為所求二面角的平面角 所以B1BCC1為正方形,分析：把OC當(dāng)成OD在平面B1BCC1內(nèi)的射影，從而找錯了平面角,正解：設(shè)BC1B1CO，連結(jié)OD. 因為AB1OD，AB1BC1， 所以O(shè)DBC1. 因為BB1BC，BB1AB，ABBCB， 所以B1B平面ABC. 所以平面ABC平面B1BCC1. 過D作DEBC于E，則DE平面B1BC1C. 連結(jié)OE，由三垂線

5、定理的逆定理得OEBC1. 所以DOE為二面角DBC1C的平面角,設(shè)ABBCAC2a，取BC的中點F，連結(jié)AF、OF，故AF 易知OFBC.在BOE中， 所以DOE45. 故二面角DBC1C的大小為45.,二、考慮問題不全面導(dǎo)致錯誤 2a、b是所成角為80的異面直線，過空間一點P作直線l. (1)使l與a、b所成的角均為80，這樣的直線l一共有 條 (2)若l與a、b所成的角均為50，這樣的直線l一共有 條,4,3,回歸教材 1(2009湖北黃岡一模)設(shè)直線與平面所成角的大小范圍為集合P，二面角的平面角大小范圍為集合Q，異面直線所成角的大小范圍為集合R，則P、Q、R的關(guān)系為 () ARPQBR

6、PQ CPRQ DRPQ 解析：因為P0， ，Q0，R(0， ，所以RPQ.故選B. 答案：B,2如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，異面直線BC1和B1D1所成的角為() A30B45 C60D90,解析：連接AD1、AB1， AB綊A1B1綊C1D1， 四邊形ABC1D1為平行四邊形， AD1BC1，AD1B1就是BC1和B1D1所成的角或其補角 在AB1D1中，AD1B1D1AB1， AD1B160，BC1和B1D1所成的角為60. 答案：C,3在正方體ABCDA1B1C1D1中，BC1與截面BB1D1D所成的角是() A30B45C60D90 解析：連結(jié)A1C1，交B1D1于O1

7、，則B1D1A1C1， 又BB1A1C1，A1C1平面BB1D1D，連結(jié)O1B，則C1BO1就是所要求的線面角 設(shè)正方體棱長為1， 答案：A,4下面所給出的二面角的平面角的幾種作法： 如圖(1)，在棱a上任取一點O，過O點分別在半平面和半平面內(nèi)作OAa，OBa，得AOB為所求 如圖(2)，在棱a上任取一點O，過O點在內(nèi)作OAa，在OA上任取一點A(異于O)，作AB于B，連結(jié)OB得AOB為所求,如圖(3)，在棱a上任取一點O，過O點作平面a，設(shè)平面分別與、相交于OA、OB，則AOB為所求 能正確地作出二面角的平面角的是() A B只有 C和 D和 解析：正確，這是用定義法作二面角的平面角； 錯誤

8、，這是用三垂線定理或逆定理作二面角的平面角的重要方法，但要注意，上述作法，只對二面角小于90時成立； 正確，這是利用作棱的截面得到二面角的平面角的方法故選C.答案：C,5(教材改編題)下列說法正確的是() A若直線l1、l2和平面所成的角相等，則l1l2 B若直線l1和l2平行，則l1、l2和平面所成的角相等 C若直線l1和l2相交，則l1、l2和平面所成的角必不相等 D若直線l1、l2和平面所成的角不相等，則l1與l2也可平行 解析：對于A，可舉例：由三腿凳知A不正確；對于B，分別在l1、l2上各取一點作的垂線，則兩垂線平行，由等角定理可知正確；對于C，可由A中例子知不正確；對于D，由B知(

9、找等價命題)不正確 答案：B,【例1】正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，求異面直線AB1與C1B所成角的大小 分析可用平移法，構(gòu)造三角形求解,解答解法一：如圖，連結(jié)B1C交C1B于O，取AC中點D，連結(jié)DO，BD，則DOAB1，BOD即為所求角或其補角,DO2BO2BD2， DOBO，即AB1C1B. AB1與C1B所成角的大小等于90.,解法二：如圖，分別延長正三棱柱ABCA1B1C1三條側(cè)棱A1A、B1B、C1C至A2、B2、C2，使A1AAA2，B1BBB2，C1CCC2，連結(jié)A2B2，B2C2，A2C2，則將原來的正三棱柱補成一個新的三棱柱，連結(jié)A2B，A2C1，在矩形A1A

10、2B2B1中，A2BAB1， A2BC1或其補角即為所求 A2B2BCA2C， AB1與C1B所成角的大小等于90.,方法技巧求異面直線的夾角有兩種方法：幾何法和向量法利用幾何法(平移法)求解時，可過線段的端點或中點作平行線，有時還可選擇空間一點(確定點)作兩條直線的平行線；利用向量法求解時可利用向量的線性運算，也可通過建系求解,(2009全國，5)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E為AA1中點，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為() 答案：C,解析：連結(jié)A1B， 則有A1BCD1， A1BE就是異面直線BE與CD1所成角，在ABE中，AB1，AEA1E1，BE A1

11、E1，A1B 由余弦定理可知：,已知正四棱錐SABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點，則AE、SD所成的角的余弦值為() 意圖：本小題考查了異面直線所成角的求法，求異面直線所成的角，一般是過其中一條異面直線上的一點，作另一條異面直線的平行線，將所求角放在三角形中求解 答案：C,解析：如圖，連結(jié)BD，取BD中點O，連結(jié)EO，則EOSD. AEO為異面直線AE與SD所成的角 設(shè)正四棱錐的棱長與底面邊長為a，則AE,總結(jié)評述：求異面直線所成的角，一般總是作其中一條直線或兩條直線的平行線，平移成相交，放在一個三角形中去求基本思想有時往往是解題的最佳思想，可以很快的幫你找到解題思路.,【例2】

12、(2009北京，16)如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，點E在棱PB上 (1)求證：平面AEC平面PDB； (2)當(dāng)PD AB且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小,解析(1)四邊形ABCD是正方形， ACBD. PD底面ABCD， PDAC. AC平面PDB. 平面AEC平面PDB.,(2)設(shè)ACBDO， 連結(jié)OE. 由(1)知AC平面PDB于O. AEO為AE與平面PDB所成的角 O，E分別為DB，PB的中點， OEPD，OE 又PD底面ABCD， OE底面ABCD，OEAO. 在RtAOE中， AEO45，即AE與平面PDB所成的角為45.,已知正三棱

13、錐的側(cè)棱長是底面邊長的2倍，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于() 答案：A 解析：解法一：設(shè)正三棱錐的底面邊長為a，則側(cè)棱長為2a， O為底面中心(OA為ABC外切圓半徑)，,側(cè)棱與底面所成的角為SAO的余弦值為 故選A.,解法二：設(shè)正三棱錐的底面邊長為a，則側(cè)棱長為2a， O為底面中心，SAO為SA與平面ABC所成的角,已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于() 答案：B,解析：設(shè)棱柱的側(cè)棱與底面邊長均為a，O為ABC的中心，如圖，連接AO，則AO,A1O平面ABC，A1O 又在三棱柱ABCA1B1C1

14、中，A1B1平面ABC， 點B1到平面ABC的距離 連接AB1、A1B、BO，設(shè)A1B與AB1交點為H. 在RtA1BD中，A1Ba. 四邊形AA1B1B為菱形，A1HAB1，,總結(jié)評述：本題以三棱柱為載體，考查了線面角的求法以及空間想象能力本題求解時，不易作出直線AB1和平面ABC所成的角(雖然能夠過B1作平面ABC的垂線，但垂足的位置不易確定)但由于A1B1平面ABC，因此點A到平面ABC的距離也就是點B1到平面ABC的距離，這樣點B1到平面ABC的距離可求，因此只需求出AB1的長度即可.,【例3】(2009全國，19)如圖，四棱錐SABCD中，底面ABCD為矩形，SD底面ABCD，AD，

15、DCSD2.點M在側(cè)棱SC上，ABM60. (1)求證：M是側(cè)棱SC的中點； (2)求二面角SAMB的大小,分析本題主要考查空間中的線面、面面關(guān)系及求解二面角大小的能力、空間想象能力 解析(1)證明：作MECD交SD于點E，則MEAB，ME平面SAD. 連接AE，則四邊形ABME為直角梯形 作MFAB，垂足為F，則四邊形AFME為矩形,所以M為側(cè)棱SC的中點,(2)解：MB 2，又ABM60，AB2，所以ABM為等邊三角形 又由(1)知M為SC中點， SM ，SA ，AM2， 故SA2SM2AM2，SMA90. 取AM中點G，連接BG，取SA中點H，連接GH，則BGAM，GHAM.由此知BGH

16、為二面角SAMB的平面角,連接BH.在BGH中，,若正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，那么側(cè)面與底面所成的角等于() 答案：C,解析：方法一：依三垂線定理可作出二面角的平面角， 如右圖，設(shè)ABa，,(2009北京西城一模)如圖所示，在四棱錐PABC中，底面ABCD是直角梯形，BCD90，ABCD，又ABBCPC1，PB ，CD2，ABPC. (1)求證：PC平面ABCD； (2)求PA與平面ABCD所成角的大??； (3)求二面角BPDC的大小,解析：(1)證明：在PBC中，BCPC1，PB，BC2PC2PB2， PCB90，即PCBC.ABPC，ABBCB， PC平面ABCD.,(2)解：如圖，連結(jié)AC，由(1)知PC平面ABCD， AC為PA在平面ABCD內(nèi)的射影， PAC為PA與平面ABCD所成的角 在ABC中，ABC90，ABBC1，,P