第二節(jié)定積分的計(jì)算

1、.,第二節(jié) 定積分的計(jì)算,一.微積分學(xué)基本定理,變上限定積分,設(shè),在,上連續(xù),稱為變上限定積分.,.,定理6.1,(微積分學(xué)基本定理或原函數(shù)存在定理),如果,在,上連續(xù),則,是,在,上的一個(gè)原函數(shù),即有,證,.,例1 設(shè),求,解,例2 設(shè),求,解,例3 設(shè),求,解,和,復(fù)合而成,.,例4 設(shè),求,解,.,變上限求導(dǎo)總結(jié),(1)上限,被積函數(shù)在上限處的值,(2)上限,被積函數(shù)在上限處的值,乘以上限的導(dǎo)數(shù),(3)下限變,交換上下限加負(fù)號再求導(dǎo),(4)上下限變,利用區(qū)間可加性拆開再求導(dǎo),.,例5,求極限,解,例6,求由方程,所確定,的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,解,方程兩邊作為,的函數(shù)同時(shí)求導(dǎo),所以,.,二.牛

2、頓萊布尼茲,公式,定理6.2,如果,在,上連續(xù),是,在,上的一個(gè)原函數(shù),則,證,因,所以,令,則,所以,再令,得,.,例6,求,解,例7,求,解,原式,.,例8,求,設(shè),解,.,計(jì)算,解,注 這是錯(cuò)誤的,因?yàn)槎ɡ硪筮B續(xù).,.,三.定積分的換元積分法,第一類換元積分(湊微分)法具體做題步驟:,證,.,例9 求,解,令,解,注,不寫出新變量,時(shí),積分限不換!,.,第二類換元積分法具體做題步驟:,證,.,例10 求,解,原式,令,則,當(dāng),時(shí),當(dāng),時(shí),.,例11 求,解,原式,令,則,當(dāng),時(shí),當(dāng),時(shí),.,例12 證明,證,令,則,當(dāng),時(shí),當(dāng),時(shí),故,.,定積分等式的證明,(2)作變量替換:看兩端積分

3、限或被積函數(shù)令,(1)將某一端改換自變量符號,(3)如果兩端積分限均為:,則令,則令,則令,(4)定積分是常數(shù)及定積分與積分變量符號,無關(guān)常被應(yīng)用,.,補(bǔ)例,若,是定義在,內(nèi)周期為,的,連續(xù)函數(shù),證明,證,令,則,當(dāng),時(shí),當(dāng),時(shí),故,.,例13 (奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分),設(shè),在,上連續(xù),求證:,(1)如果,為奇函數(shù),則,(2)如果,為偶函數(shù),則,證,令,則,當(dāng),時(shí),當(dāng),時(shí),故命題成立.,.,例14 求,解,原式,.,例15 求,解,原式,.,例16,設(shè),在,內(nèi)連續(xù),若,求,解,令,.,.,四.定積分的分部積分法,定理6.4,如果,及,在,上導(dǎo)函數(shù)連續(xù),則,證,因,所以,則,故,.,例17 求,解,原式,.,例18 求,解,原式,.,(2003年考研真題4分),補(bǔ)充例題,解,.,例19 求,解,原式,故,原式,.,設(shè),與,在,上的導(dǎo)數(shù)連續(xù),且,證明:對任意,有,(2005年考研真題8分),補(bǔ)充例題,證,左邊,.,例20 求,解,令,則,.,例21,設(shè),連續(xù),且,已知,求,的值.,解,令,則,當(dāng),時(shí),時(shí),故,故,.,故,上式兩端對,求導(dǎo),得,即,令,得,即,.,例22,設(shè),連續(xù),且,求,的值.,解,令,則,當(dāng),時(shí),時(shí),故,故,上式兩端對,求導(dǎo),得,.,上式兩端對,求導(dǎo),得,即,令,得,即,.,例23,設(shè),且,在,上可導(dǎo),證明:存在,使,證明:,作輔助函數(shù),則,故,在,.,上