第二換元積分法

1、第二節(jié) 換元積分法,本節(jié)內(nèi)容提要,一、第一類換元積分法（湊微分法）,二、第二類換元積分法,教學目的：使生熟練掌握湊微分法求不定積分、掌握第二類 換元積分法中的根式置換法，了解三角置換法求不定積分 重點： 湊微分法、根式置換法求不定積分 難點： 湊微分法求不定積分 教學方法：啟發(fā)式 教學手段：多媒體課件和面授講解相結(jié)合 教學課時：6課時,返回,第二節(jié) 換元積分法,引例：求 解: 錯在哪里？,一、第一類換元積分法（湊微分法）,定理1、若 則 這種將 利用中間變量 化為 ，則可直接（或稍微變形就可）應用基本積分公式求得結(jié)果，再將 還原成 的積分法，稱為第一類換元積分法，也叫湊微分法。,這里將 湊微分

2、成du是難點，理解起來較困難，我們這樣處理：dx= 故,例1：求 解：設(shè)u=2x,我們總結(jié)出湊微分法求不定積分的情況如下：,、被積函數(shù)是一個復合函數(shù)，與公式作對比，公式中自變量x變成了ax+b的形式，這時設(shè)ax+b為中間變量，,例2：求 解：設(shè) 則,在對上述換元法較熟悉后，可不必寫出中間變量，心中明白即可，書寫格式如下： 解： =,例3求 解：,練習：求下列不定積分 1、 2、 3、 4、,、 被積函數(shù)是兩個函數(shù)乘積形式 1、被積函數(shù)中含有兩個多項式，其中一個多項式的次數(shù)比另一個多項式的次數(shù)高一次，設(shè)高一次的多項式為中間變量，目的是約去另一個因式。,例1、求 解：,例2、求 解： =,例3、求

3、 解,例4、求 解：,例5、求 解：,練習：求下列不定積分 1、 2、 3、 4、 5、,2、被積函數(shù)中，其中一部分函數(shù)“正好”是另一部分函數(shù)的導數(shù)這里存在導數(shù)的那部分函數(shù)為中間變量，目的是約去另一個因式。,例1求 解,例2求 解,例3求 解,例4求 解,例5求 解,例1、,例6求 解,練：求 1、 2、 3、 4 、 5、 6、,第一類換元積分法（湊微分法）是一種非常有效的積分法。首先，必須熟悉基本積分公式，對積分公式應廣義地理解，如對公式 ，應理解為 ，其中u可以 是x的任一可微函數(shù)；其次，應熟悉微分運算，針對具體的積分要選準某個基本積分公式，湊微分使其變量一致。,（1） (2) (3)

4、(4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11),常用的湊微分形式有：,例：求,解：方法一： 方法二： 方法三：,上例表明，同一個不定積分，選擇不同的積分方法，得到的結(jié)果形式不同，這是完全正常的，可以用求導驗證它們的正確性。,使用湊微分法求不定積分，有時還需要先用代數(shù)運算、三角變換對被積函數(shù)作適當變形才能積分。,例1求,練習：求,例2求： 解：,練習：,例3求：,練習： ,例4 求：,練習：求,例5求：,練習：求 ,例6 求：,練習：求,例7 求：,練習：求,例8 求：,練習：求,練習 求 ,二、第二類換元積分法 定理2：設(shè) 是單調(diào)可微函數(shù)，且 若 則：,下面通過例題說明第二

5、類換元積分的應用。,、被積分函數(shù)中含有 類型-根式置換法,例1：求 解：設(shè) ,則,注意：在最后的結(jié)果中必須代入 ,返回到原積分變量 . 練習： ,返回,例2求 解：被積函數(shù)含 、 ，為了去掉根號，設(shè)t= 則 x=,練習：求,例3求 解：設(shè) 則,1、 、 被積分函數(shù)中含有 類型-三角置換法,例1 求 解 設(shè) 則,例2、求 解 設(shè) 則,為了返回原積分變量，可由 作出輔助三角形如圖 由圖可得 其中,空,例3、求 解 設(shè) 則 與前例相同，為了返回原積分變量，由作出輔助三角形如圖 由圖可得： 其中,空,第二類換元積分法是基本積分方法之一，使用第二換元積分法的關(guān)鍵在于選擇適當?shù)淖儞Q，消除被積式中的根號，最常見的形式有： （1）被積函數(shù)中含有： 設(shè) （2）被積函數(shù)中含有： 設(shè) , 為 、 的最小 公倍數(shù) （3）被積函數(shù)中含有： 設(shè) （4）被積函數(shù)中含有： 設(shè)