第二類曲線積分.ppt

1、第十章,第二節(jié),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第二類曲線積分,二、第二類曲線積分的概念與性質(zhì),一、向量場(chǎng),三、第二類曲線積分的計(jì)算,一、向量場(chǎng),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,畫向量場(chǎng),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,梯度場(chǎng)和保守場(chǎng),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解:,二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,定向曲線與切向量：,定向曲線：帶有確定走向的一條曲線。,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則 L 的切向量為：,分割,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,“分割, 近似,

2、求和, 取極限”,求變力沿曲線所作的功，利用,近似,例：求變力 F 沿曲線 L 所作的功。,求和:,取極限:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,向量形式,坐標(biāo)形式,則,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,上式也稱為第二類曲線積分的向量形式。,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第二類曲線積分也稱為向量場(chǎng)的線積分。,說明：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,基本性質(zhì),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,性質(zhì)1：,性質(zhì)2：,性質(zhì)3：,第二類曲線積分的坐標(biāo)表示,設(shè),則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,令,若上式左端的極限存在，則右端的極限也存在,記為,上式右端稱為第

3、二類曲線積分的坐標(biāo)表示。,（2）若,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,上式右端稱為第二類曲線積分的坐標(biāo)表示。,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、兩類曲線積分之間的關(guān)系,證明：,于是有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,平面曲線的情況完全類似推導(dǎo)。,故,解1：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解2：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,于是,四、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算,定理（平面曲線的情形）,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證明：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返

4、回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注意：a 未必小于 b。,特殊情形,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(4) 若曲線 L 的方程為極坐標(biāo)方程：,先化成參數(shù)方程：,然后用公式計(jì)算。,定理（空間曲線的情形）,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注意：兩類曲線積分之間區(qū)別,（1）第一類曲線積分是數(shù)量函數(shù)對(duì)弧長(zhǎng)的積分； 第二類曲線積分是向量函數(shù)的各分量函數(shù) 對(duì)坐標(biāo)的積分。,（2）第一類曲線積分與路徑的方向無關(guān)，化成 定積分時(shí)，下限總小于上限； 第二類曲線積分與路徑的方向有關(guān)（方向 改變，積分值變號(hào)），化成定積分時(shí)，下 限未必小于上限。,機(jī)動(dòng) 目錄 上

5、頁 下頁 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,（2）對(duì)于第二類曲線積分，當(dāng)積分弧 L 是垂直于某坐標(biāo)軸的直線段 AB 時(shí)，對(duì)該坐標(biāo)的積分為零，即,空間曲線上的第二類曲線積分也有類似的性質(zhì)。,說明：,（1）在第二類曲線積分中，由于涉及積分曲線的方向問題，因此要慎用對(duì)稱性。一般情況下，應(yīng)在曲線積分化為定積分后再考慮能否利用對(duì)稱性來化簡(jiǎn)計(jì)算。,例3:,解:,原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4：,解：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一般情況下，第二類曲線積分的值，不僅與積分路徑的起點(diǎn)或終點(diǎn)有關(guān)，而且與積分路經(jīng)本身有關(guān)。即被積函數(shù)相同，起

6、點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同。,例3說明：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在有些情況下，第二類曲線積分的值，僅與積分路徑的起點(diǎn)或終點(diǎn)有關(guān)，而與積分路經(jīng)本身無關(guān)。即被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，路徑不同積分但結(jié)果相同。,例4說明：,例5. 求,其中 L 是雙紐線的右半支,逆時(shí)針方向。,解: L 的極坐標(biāo)方程是：,L 的參數(shù)方程是：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,奇函數(shù),例6. 求,其中,從 z 軸正向看為順時(shí)針方向.,解: 取 的參數(shù)方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7.,解:,動(dòng)到,向坐標(biāo)原點(diǎn)，,其大小與作用點(diǎn)到 xoy 面的距離成反比。,沿直線移,機(jī)動(dòng) 目錄

7、 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例8：,解：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,如圖,則,例9：,解：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則在 t 時(shí)刻：,單位時(shí)間流出的油漆為：,1. 定義,2. 性質(zhì),(1) L 可分成 k 條有向光滑曲線弧,(2) L 表示 L 的反向弧,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!,內(nèi)容小結(jié),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 計(jì)算, 對(duì)有向光滑弧,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束, 若曲線 L 的方程為極坐標(biāo)方程：,先化成參數(shù)方程：,然后用公式計(jì)算。, 對(duì)空間有向光滑弧 :,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,區(qū)別：,第一類曲線積分與路徑的方向無關(guān)，

8、化成定積分時(shí)，下限總小于上限；,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第二類曲線積分與路徑的方向有關(guān)（方向改變，積分值變號(hào)），化成定積分時(shí)，下限未必小于上限。,4. 兩類曲線積分的聯(lián)系與區(qū)別,聯(lián)系：,作業(yè),習(xí)題9-2(P250) 1(3)(6)(7)(8)； 2(2)(4); 3; 5；7,第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1、,解,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,備用題,解：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 已知,為折線 ABCOA(如圖), 計(jì)算,提示:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,原點(diǎn) O 的距離成正比,4、 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在,處受,恒指向原點(diǎn),沿橢圓,此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn),逆時(shí)針移動(dòng)到,提示:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,5.,將積分,化為對(duì)弧長(zhǎng)的積,分,解1：,其中L 沿上半圓周,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,5.,將積分,化為對(duì)弧長(zhǎng)的積,分,解2：,其中L 沿上半圓周,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,6：設(shè)在力場(chǎng),作用下, 質(zhì)點(diǎn)由,沿移動(dòng)到,解: (1),(2) 的參數(shù)方程為,試求力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.,其中為,機(jī)動(dòng) 目