數(shù)字電路課程課件：第2章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1、第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ),2.1 概述,1、二值邏輯,不同的數(shù)碼不僅可以表示數(shù)量的不同大小，而且還能用來(lái)表示不同的事物。,在數(shù)字邏輯電路中，用1位二進(jìn)制數(shù)碼的0和1表示一個(gè)事物的兩種不同邏輯狀態(tài)。,例如:可以用1和0分別表示一件事情的是和非、真和偽、有和無(wú)、好和壞，或者表示電路的通和斷、電燈的亮和暗、門(mén)的開(kāi)和關(guān)等。,這種只有兩種對(duì)立邏輯狀態(tài)的邏輯關(guān)系稱為二值邏輯。,二、邏輯運(yùn)算,所謂“邏輯”，在這里是指事物間的因果關(guān)系。 當(dāng)兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)碼表示不同的邏輯狀態(tài)時(shí)， 它們之間可以按照指定的某種因果關(guān)系進(jìn)行推理運(yùn)算。 這種運(yùn)算稱為邏輯運(yùn)算。,三、布爾代數(shù),1849年英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治布爾（George Boo

2、le）首先提出了進(jìn)行邏輯運(yùn)算的數(shù)學(xué)方法 布爾代數(shù)。 后來(lái)，由于布爾代數(shù)被廣泛用于開(kāi)關(guān)電路和數(shù)字邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)中，所以也將布爾代數(shù)稱為開(kāi)關(guān)代數(shù)或邏輯代數(shù)。 邏輯代數(shù)中也用字母表示變量，這種變量稱為邏輯變量。 邏輯運(yùn)算表示的是邏輯變量以及常量之間邏輯狀態(tài)的推理運(yùn)算，而不是數(shù)量之間的運(yùn)算 。,2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算,條件：開(kāi)關(guān)閉合 結(jié)果：燈亮,1、邏輯與（AND）,定義：只有決定事物結(jié)果的全部條件同時(shí)具備時(shí)，結(jié)果才發(fā)生。 這種因果關(guān)系叫邏輯與，或叫邏輯相乘。,1 表示開(kāi)關(guān)閉合，燈亮。 0 表示開(kāi)關(guān)斷開(kāi)，燈不亮。,真值表,與邏輯表達(dá)式 Y = AB,條件：開(kāi)關(guān)閉合 結(jié)果：燈亮,2、邏輯

3、或（OR）,定義：決定事物結(jié)果的諸條件中只要有任何一個(gè)條件 滿足， 結(jié)果就會(huì)發(fā)生， 這種邏輯關(guān)系叫邏輯或，也叫邏輯相加。,真值表,1 表示開(kāi)關(guān)閉合，燈亮。 0 表示開(kāi)關(guān)斷開(kāi)，燈不亮。,或邏輯表達(dá)式 Y = A+B,條件：開(kāi)關(guān)閉合 結(jié)果：燈亮,3、邏輯非（NOT）,定義：只要條件具備了，結(jié)果就不會(huì)發(fā)生； 而條件不具備時(shí)，結(jié)果一定發(fā)生， 這種邏輯關(guān)系叫邏輯非，也叫邏輯求反。,真值表,1 表示開(kāi)關(guān)閉合，燈亮。 0 表示開(kāi)關(guān)斷開(kāi)，燈不亮。,圖形符號(hào),幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算,1.與非(NAND),與非邏輯表達(dá)式：,圖形符號(hào)：,或非邏輯表達(dá)式：,圖形符號(hào)：,2. 或非(NOR),3.與或非(AND-NOR

4、),圖形符號(hào)：,與或非邏輯表達(dá)式：,與或非邏輯真值表,4.異或(XOR),兩輸入變量A、B不同時(shí)，輸出Y為 1。 而A、B相同時(shí)，輸出Y為 0。,異或邏輯表達(dá)式：,圖形符號(hào)：,5. 同或(NXOR),兩輸入變量A、B相同時(shí)，輸出Y為 1。 而A、B不同時(shí)，輸出Y為 0。,或Y=AB,同或邏輯表達(dá)式：,圖形符號(hào)：,同或、異或互為反邏輯： A B=(A B) A B=(A B) ,思考： A 0= A 1= A A = A A= A 0= A 1= A A = A A= N位二進(jìn)制中1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，每位異或的結(jié)果為？ N位二進(jìn)制中1的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，每位異或的結(jié)果為？,2.3 邏輯代數(shù)的基本公式和

5、常用公式,2.3.1 基本公式 2.3.2 常用公式,2.3.1 基本公式,結(jié)合律,交換律,分配律,德摩根定理 (反演律),還原律,證明方法：推演 真值表,公式（17）的證明（公式推演法）：,公式（17）的證明（真值表法）：,2.3.2 若干常用公式,2.4 邏輯代數(shù)的基本定理,2.4.1 代入定理 -在任何一個(gè)包含A的邏輯等式中，若以另外一個(gè)邏輯式代入式中A的位置，則等式依然成立。,2.4.1 代入定理,應(yīng)用舉例： 式（17） A+BC = (A+B)(A+C) A+B(CD) = (A+B)(A+CD) = (A+B)(A+C)(A+D),2.4.1 代入定理,應(yīng)用舉例： 式 （8）,2.

6、4 邏輯代數(shù)的基本定理,2.4.2 反演定理,對(duì)任一邏輯式 Y，若將其中所有的乘換成加， 加換成乘，0 換成 1 ，1 換成 0， 原變量換成反變量，反變量換成原變量， 則得到的結(jié)果就是 Y 的反。,注意： 遵守“括號(hào)、乘、加”的運(yùn)算優(yōu)先次序。 （即保持運(yùn)算順序與原式相同） 不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保留不變。,若,則,若,則,2.4.3 對(duì)偶定理,對(duì)偶式：對(duì)于任何一個(gè)邏輯式 Y， 若將其中的 “” 換成 “+”， “+” 換成 “”，0 換成 1，1 換成 0， 則得到一個(gè)新的邏輯式 YD， 則 YD 叫做 Y 的對(duì)偶式。,若,則,若,則,對(duì)偶定理：若兩邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等。,根據(jù)

7、對(duì)偶定理，則,2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法,2.5.1 邏輯函數(shù) 若以邏輯變量為輸入，運(yùn)算結(jié)果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定。輸入/輸出之間是一種函數(shù)關(guān)系。 表示為： Y=F(A,B,C,) 任何一個(gè)具體的因果關(guān)系都可以用一個(gè)邏輯函數(shù)描述。 注：在二值邏輯中，輸入/輸出都只有兩種取值0/1。,例: 三人表決電路： 三人A、B、C當(dāng)中有兩人或兩人以上同意時(shí)，表決結(jié)果Y為通過(guò)，否則表決結(jié)果Y為沒(méi)通過(guò)。表決結(jié)果Y的狀態(tài)（通過(guò)與沒(méi)通過(guò)）是三人A、B、C狀態(tài)（同意與不同意）的函數(shù)。,邏輯函數(shù)為：,2.5.2 邏輯函數(shù)的表示方法,真值表 邏輯式 邏輯圖 波形圖 卡諾圖 計(jì)算機(jī)軟件中的描

8、述方式 各種表示方法之間可以相互轉(zhuǎn)換,1.邏輯真值表,將輸入變量所有的取值下對(duì)應(yīng)的輸出值 找出來(lái)列成表格，即可得到邏輯真值表。,以三人表決電路為例， 輸入變量A、B、C為1表示同意，0表示不同意， 輸出（函數(shù)）Y為1表示通過(guò)，0表示沒(méi)通過(guò)。,三人表決電路真值表,2.邏輯函數(shù)式,把輸入與輸出之間的邏輯關(guān)系 寫(xiě)成與、或、非等運(yùn)算的組合式， 就得到了邏輯函數(shù)式。 根據(jù)電路功能的要求和與、或的邏輯定義， 三人表決電路的邏輯函數(shù)式為：,3.邏輯圖,將邏輯函數(shù)中各變量之間的與、或、非等邏輯關(guān)系，用圖形符號(hào)表示出來(lái)，就可畫(huà)出表示函數(shù)關(guān)系的邏輯圖。,將輸入變量所有取值可能與對(duì)應(yīng)輸出按時(shí)間順序排列起來(lái)，就得到表

9、示該邏輯函數(shù)的波形圖。,4.波形圖,舉重裁判電路的波形圖,卡諾圖 EDA中的描述方式 HDL (Hardware Description Language) VHDL (Very High Speed Integrated Circuit ) Verilog HDL,5.各種表示方法間的互相轉(zhuǎn)換,從真值表寫(xiě)出邏輯函數(shù)式,一般方法： （1）找出真值表中使邏輯函數(shù)為1的那些輸入變量取值的組合。 （2）每組輸入變量取值的組合對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)， 其中取值為 1 的寫(xiě)入原變量， 取值為 0 的寫(xiě)入反變量。 （3）將這些乘積項(xiàng)相加，即得輸出的邏輯函數(shù)式。,例 ：已知一個(gè)奇偶判斷函數(shù)的真值表如圖所示，試寫(xiě)出它

10、的邏輯函數(shù)式。,這三種取值的任何一種都使Y=1, 所以 Y= ?,從邏輯函數(shù)式列出真值表,將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一代入邏輯式, 求出函數(shù)值，列成表。,例：已知邏輯函數(shù)表達(dá)式：,求它對(duì)應(yīng)的真值表。,解：,從邏輯函數(shù)式畫(huà)出邏輯圖,用圖形符號(hào)代替邏輯函數(shù)式中的運(yùn)算符號(hào)。,例 ：已知邏輯函數(shù)式為,，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的邏輯圖。,從邏輯圖寫(xiě)出邏輯函數(shù)式,從輸入端到輸出端逐級(jí)寫(xiě)出每個(gè)圖形符號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯式，即可得到對(duì)應(yīng)的邏輯式。,從波形圖寫(xiě)出真值表,從真值表畫(huà)出波形圖,真值表 邏輯式 邏輯圖,2.5.3 邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式 最小項(xiàng)之和 最大項(xiàng)之積,一、最小項(xiàng)和最大項(xiàng),1. 最小項(xiàng),定義：在n變量邏輯函數(shù)中

11、，若m為包含n個(gè)因子的乘積項(xiàng)，而且這幾個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量的最小項(xiàng)。,最小項(xiàng)舉例：,兩變量A, B的最小項(xiàng) 三變量A,B,C的最小項(xiàng),n變量的最小項(xiàng)應(yīng)為2n個(gè)。 輸入變量的每一組取值，都使一個(gè)對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)的值等于1。,為方便，可把每個(gè)最小項(xiàng)用一個(gè)號(hào)碼表示，這個(gè)號(hào)碼為使其為1的取值對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。如A=1、B=0、C=1時(shí)，ABC=1。因此本最小項(xiàng)的號(hào)碼為5，表示為m5,m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7,0 1 2 3 4 5 6 7,0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1,三變量最小

12、項(xiàng)的編號(hào)表,最小項(xiàng)的性質(zhì),在輸入變量任一取值下，有且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1。 全體最小項(xiàng)之和為1 。 任何兩個(gè)最小項(xiàng)之積為0 。 兩個(gè)相鄰的最小項(xiàng)之和可以合并，消去一對(duì)因子，只留下公共因子。 -相鄰：僅一個(gè)變量不同的最小項(xiàng) 如,2. 最大項(xiàng),n變量的最大項(xiàng)應(yīng)為2n個(gè)。 輸入變量的每一組取值，都使一個(gè)對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)的值等于0。 使某個(gè)最大項(xiàng)為0的這組取值對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)作為該最大項(xiàng)的編號(hào)。,定義：在n變量邏輯函數(shù)中，若M為n個(gè)變量之和，而且這幾個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次，則稱M 為該組變量的最大項(xiàng)。,如：兩變量A, B的最大項(xiàng),三變量最大項(xiàng)的編號(hào)表,最大項(xiàng)的性質(zhì),在輸入變量任一取值

13、下，有且僅有一個(gè)最大項(xiàng)的值為0； 全體最大項(xiàng)之積為0； 任何兩個(gè)最大項(xiàng)之和為1； 只有一個(gè)變量不同的最大項(xiàng)的乘積等于各相同變量之和。,最大項(xiàng)和最小項(xiàng)之間的關(guān)系,例：已知最小項(xiàng),二、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和形式：,全部由最小項(xiàng)相加而構(gòu)成的與-或表達(dá)式（標(biāo)準(zhǔn)與或式）,利用,可以把任何一個(gè)邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式。,例：,例 ：將邏輯函數(shù),展開(kāi)為最小項(xiàng)之和的形式。,三、邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)之積形式（標(biāo)準(zhǔn)或與式）,方法1：先用A+BC=(A+B)(A+C)變成或與式 再用 將缺少的變量補(bǔ)齊,例：將邏輯函數(shù),展開(kāi)成最大項(xiàng)之積的形式。,方法2：,若給定邏輯函數(shù)最小項(xiàng)之和表達(dá)式：,可得其反函數(shù)最小項(xiàng)之和表達(dá)

14、式：,則該邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)之積形式為：,例：將邏輯函數(shù),展開(kāi)成最大項(xiàng)之積的形式。,2.5.4 邏輯函數(shù)形式的變換,同一邏輯函數(shù)可以有不同的表達(dá)式；表達(dá)式不同，實(shí)現(xiàn)電路所選用的器件就不同,例：將邏輯函數(shù),轉(zhuǎn)化為與非-與非形式,二次取反,以后再介紹如何轉(zhuǎn)換為與或非形式,或非-或非形式,2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)法,最簡(jiǎn)與或式 -包含的乘積項(xiàng)已經(jīng)最少，每個(gè)乘積項(xiàng)的因子也最少，稱為最簡(jiǎn)的與-或邏輯式。,同一邏輯函數(shù)可以有不同的表達(dá)式。表達(dá)式簡(jiǎn)單，使用的元器件就少。化簡(jiǎn)的目的：得到邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)形式。,2.6.1公式化簡(jiǎn)法 反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項(xiàng)和多余的因子。以得到函數(shù)式的最簡(jiǎn)形式。,

15、一、并項(xiàng)法,利用公式,二、吸收法,利用公式,3.消項(xiàng)法,利用公式,四、消因子法,利用公式,五、配項(xiàng)法,根據(jù)公式,可在邏輯函數(shù)式中重復(fù)寫(xiě)入某一項(xiàng)。,根據(jù)公式,可在邏輯函數(shù)式中的某一項(xiàng)乘,然后拆成兩項(xiàng)分別與其他項(xiàng)合并。,綜合法,另一方法：,2.6.2 卡諾圖化簡(jiǎn)法,一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法,將n變量的全部最小項(xiàng)各用一個(gè)小方塊表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰地排列起來(lái)，所得到的圖形叫做n變量的卡諾圖。,實(shí)質(zhì)：將邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和形式以圖形的方式表示出來(lái)，也可看為圖形化的真值表。,表示最小項(xiàng)的卡諾圖,二變量卡諾圖 三變量的卡諾圖,4變量的卡諾圖,五變量的卡諾圖,因?yàn)榭ㄖZ圖的每個(gè)小

16、方格對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)，而任一邏輯函數(shù)都可變換成最小項(xiàng)表達(dá)式。所以，可以用n變量的卡諾圖表示n變量的任一邏輯函數(shù)。,1. 將函數(shù)表示為最小項(xiàng)之和的形式 2. 在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置上添入1，其余地方添0。,方法：,任何一個(gè)邏輯函數(shù)，都等于它的卡諾圖中添入 1 的那些最小項(xiàng)之和。,例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù),解：先將邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式，,畫(huà)出四變量最小項(xiàng)的卡諾圖。,在對(duì)應(yīng)函數(shù)式中各最小項(xiàng)的位置上填入1，,其余位置上填入0。,再根據(jù),先將邏輯式變換成最小項(xiàng)之和的形式再填卡諾圖的方法有時(shí)比較繁瑣、易出錯(cuò)，所以經(jīng)常采用觀察法填寫(xiě)卡諾圖。,例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù),通過(guò)觀察函數(shù)發(fā)現(xiàn)當(dāng)A=0

17、、B=1、C=0、D=1時(shí)函數(shù)為1， A=1、B=0、D=0時(shí)函數(shù)為1，A=1、C=1、D=1函數(shù)為1。,例：已知邏輯函數(shù)的卡諾圖，寫(xiě)出該函數(shù)的邏輯式。,解：函數(shù)Y等于卡諾圖中填入1的那些最小項(xiàng)之和， 所以可得：,已知邏輯函數(shù)的卡諾圖還可以寫(xiě)出邏輯式,二、用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù),依據(jù)：具有相鄰性的最小項(xiàng)可以合并，消去不同因子。 在卡諾圖中，最小項(xiàng)的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來(lái)。即邏輯相鄰在卡諾圖中位置相鄰。,1、合并最小項(xiàng)的原則： 兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去一個(gè)有0、1變化的變量 四個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去二個(gè)有0、1變化的變量 八個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去三個(gè)有0、1變化的

18、變量,合并兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)的情況：,合并四個(gè)相鄰最小項(xiàng)的情況：,B,合并八個(gè)相鄰最小項(xiàng)的情況：,2、卡諾圖化簡(jiǎn)的步驟：,畫(huà)出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖。 用圈圈的方法合并相鄰的最小項(xiàng)。 將化簡(jiǎn)后的乘積項(xiàng)相加得到函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式 圈圈的原則： 所有1均被圈到-包含所有的最小項(xiàng) 圈盡可能大-每個(gè)乘積項(xiàng)包含的因子最少 圈盡可能少-所有的乘積項(xiàng)數(shù)目最少 每個(gè)圈應(yīng)至少包含一個(gè)新的1格，否則這個(gè)圈是多余的 圈圈的順序： 先圈只有一種圈法的1格,例：將對(duì)應(yīng)下面卡諾圖的函數(shù)化為最簡(jiǎn)與或式,不最簡(jiǎn),例：將對(duì)應(yīng)下面卡諾圖的函數(shù)化為最簡(jiǎn)與或式,有多余項(xiàng),A,BC,例：,例：,A,BC,例：,A,BC,例：,化 簡(jiǎn) 結(jié) 果 不 唯 一,例：,AB,CD,例：,AB,CD,當(dāng)需要將函數(shù)化為最簡(jiǎn)的與或非形式和或非-或非形式時(shí)，采用圈0的方法,例：將函數(shù),化為最簡(jiǎn)的與或非形式和或非-或非形式,2.7具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)2.7.1 約束項(xiàng)、任意項(xiàng)和邏輯函數(shù)式中的無(wú)關(guān)項(xiàng),約束項(xiàng) 任意項(xiàng) 邏輯函數(shù)中的無(wú)關(guān)項(xiàng)：約束項(xiàng)和任意項(xiàng)可以寫(xiě)入函數(shù)式，也可不包含在函數(shù)式中，因此統(tǒng)稱為無(wú)關(guān)項(xiàng)。,在邏輯函數(shù)中，輸入變量的某些取值是不會(huì)出現(xiàn)的，在這些取值下為1的最小項(xiàng)稱為約束項(xiàng),在輸入變量某些取值下，函數(shù)值為1或?yàn)?不影響邏輯電路的功能，在這些取值下為1的最小項(xiàng)稱為任意項(xiàng),在真值表和卡諾圖中用表示