數(shù)學物理方法課件：4_1 數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)_第1頁
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1、第四章 解析函數(shù)的冪級數(shù),復(fù)數(shù)項級數(shù) 冪級數(shù) 泰勒（Taylor）級數(shù) 羅朗（Laurent）級數(shù),本章以函數(shù)的復(fù)變函數(shù)微分知識為基礎(chǔ)； 是第五章（留數(shù)）的重要基礎(chǔ)。,復(fù)數(shù)項級數(shù),無窮多項,前n項和Sn,復(fù)數(shù)項級數(shù)的斂散性,若部分和Sn有極限： ，則稱級數(shù)為收斂級數(shù)；反之，則為發(fā)散級數(shù)。,分離實部虛部，則,結(jié)論：復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂實數(shù)項級數(shù) 和 都收斂。,實數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件是：,那么：,復(fù)數(shù)項級數(shù)的斂散性,收斂與絕對收斂的關(guān)系 如果 收斂，則， 必收斂。,逆命題不成立。,稱為絕對收斂,討論級數(shù) 的斂散性。,當0時，級數(shù)絕對收斂； 當=0時，級數(shù)收斂但不絕對收斂；,函數(shù)項級數(shù),注意：所有函數(shù)項

2、在同一個區(qū)域D內(nèi)有定義。,函數(shù)項級數(shù)：,前n項和,若在D內(nèi)每一點都有， 那么： 稱函數(shù)項級數(shù)在D內(nèi)收斂。,特殊的函數(shù)項級數(shù)：冪級數(shù),冪級數(shù)斂散性判別（Abel判別法）,當|z|=|z0| 時，級數(shù)的斂散性? 具體問題具體分析！,若 ，則函數(shù)項級數(shù),稱為冪級數(shù)，特例z0=0，則,冪級數(shù)的收斂半徑,概念：(收斂圓) 區(qū)域|z|z0|=R表示一個圓盤（不包括圓周），使得級數(shù)在圓內(nèi)收斂，在圓外發(fā)散；該圓周稱為收斂圓，半徑R是收斂半徑。,例：討論級數(shù) 的斂散性，求其收斂半徑。,根據(jù)Abel判別法，對任意冪級數(shù)，總是存在一個圓，使得級數(shù)在圓內(nèi)收斂，在圓外發(fā)散；,冪級數(shù)收斂半徑判別法,比式判別法,根式判別法,討論： 兩者結(jié)果應(yīng)該是一致的！ 如何證明之？,收斂半徑判別：舉例,例4：,收斂半徑判別：舉例,例5：,冪級數(shù)的運算：利用運算法則展開級數(shù),

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