初中數學函數知識點歸納新

1、 函數知識點總結(掌握函數的定義、性質和圖像)平面直角坐標系1、定義：平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，簡稱為直角坐標系2、各個象限內點的特征:第一象限：（+，+） 第二象限：（-，+） 第三象限：（-，-） 第四象限：（+，-） 3、坐標軸上點的坐標特征： x軸上的點，y為零；y軸上的點，x為零；原點的坐標為（0 , 0）。4、點的對稱特征：已知點P(m,n),關于x軸的對稱點坐標是(m,-n), 橫坐標相同，縱坐標反號關于y軸的對稱點坐標是(-m,n) 縱坐標相同，橫坐標反號關于原點的對稱點坐標是(-m,-n) 橫，縱坐標都反號5、平行于坐標軸的直線上的點的坐標特征：

2、平行于x軸的直線上的任意兩點：縱坐標相等；平行于y軸的直線上的任意兩點：橫坐標相等。6、各象限角平分線上的點的坐標特征：第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等。 第二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標互為相反數。7、點P（x,y）的幾何意義：點P（x,y）到x軸的距離為 |y|，點P（x,y）到y軸的距離為 |x|。點P（x,y）到坐標原點的距離為8、兩點之間的距離：X軸上兩點為A、B |AB|Y軸上兩點為C、D |CD|已知A、B AB|=9、中點坐標公式：已知A、B M為AB的中點,則：M=( , )10、點的平移特征： 在平面直角坐標系中，將點（x,y）向右平移a個單位長度，可以得到對應

3、點（ x-a，y）；將點（x,y）向左平移a個單位長度，可以得到對應點（x+a ，y）；將點（x,y）向上平移b個單位長度，可以得到對應點（x，yb）；將點（x,y）向下平移b個單位長度，可以得到對應點（x，yb）。函數的基本知識：基本概念1、變量：在一個變化過程中可以取不同數值的量。 常量：在一個變化過程中只能取同一數值的量。2、函數：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數。 *判斷A是否為B的函數，只要看B取值確定的時候，A是否有唯一確定的值與之對應3、確定函數定義域的方

4、法： （1）關系式為整式時，函數定義域為全體實數； （2）關系式含有分式時，分式的分母不等于零； （3）關系式含有二次根式時，被開放方數大于等于零； （4）關系式中含有指數為零的式子時，底數不等于零； （5）實際問題中，函數定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。4、函數的圖像一般來說，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象5.函數解析式：用含有表示自變量的字母的代數式表示因變量的式子叫做解析式。6、描點法畫函數圖形的一般步驟第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數值）；第二步：描點（在直角坐標系中，以

5、自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點）；第三步：連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。7、函數的表示方法:列表法、解析式法、圖象法一次函數圖象和性質【知識梳理】一、一次函數的基礎知識1、定義：一般地，形如y=kxb(k,b是常數，k0)，那么y叫做x的一次函數當b=0時，y=kxb即y=kx，稱為正比倒函數，所以說正比例函數是一種特殊的一次函數.一次函數的一般形式： y=kx+b (k0) 說明： k不為零 x指數為1 b取任意實數2、解析式：y=kx+b(k、b是常數，k0)3、圖像：一次函數y=kx+b的圖象是經過（0，b）和（-，

6、0）兩點的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b, 4、增減性（單調性）： k0，y隨x的增大而增大（單調增）；k0，y隨x的增大而增大；k0時直線與y軸交于原點上方（即y軸的正半軸）；當b0b0經過：第一、二、三象限不經過：第四象限經過：第一、三、四象限不經過：第二象限經過：第一、三象限不經過：第二、四象限增減性（單調性）：圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大，單調增k0，y隨x的增大而減小（單調減）；k0，y隨x增大而增大（單調增）4、反比例函數的圖象：雙曲線（1）圖像的畫法：描點法 列表（應以O為中心，沿O的兩邊分別取三對或以上互為相反的數） 描點（有小到大的順序） 連線（從左到右光滑的曲

7、線）（3）反比例函數（為常數，）中自變量，函數值，所以雙曲線是不經過原點，斷開的兩個分支（稱為左、右支），延伸部分逐漸靠近坐標軸，但是永遠不與坐標軸相交。（4）比例系數的幾何含義（右圖）：反比例函數y (k0)中比例系數k的幾何意義，即過雙曲線y (k0)上任意一點P作x軸、y軸垂線，設垂足分別為A、B，則所得矩形OAPB的面積(陰影面積)為 .（由y變形可得：k=xy 因為面積為正數，所以k取絕對值。）5、反比例函數性質如下表：k的符號oyxk0yxok0圖像的大致位置經過象限第 象限第 象限增減性（單調性：單調區(qū)間內討論）在每一象限內，從左到右看，y隨x的增大而減小 ；（-，0）U（0，+

8、）區(qū)間內，單調減 在每一象限內,從左到右看y隨x的增大而增大 （-，0）U（0，+）區(qū)間內，單調增 圖像的對稱性中心稱圖形，對稱中心是原點；同時，也是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x 和直線y=-x二次函數圖象和性質【知識梳理】一、二次函數的基礎知識：1定義：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數。 這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零二次函數的定義域（x的取值范圍）：全體實數，R2. 解析式（表達式）：一般式：（，是常數）：說明： 等號左邊是函數，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數是2 是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項補充：二次函數解析式的表示方法（三種

9、）一般式：（，為常數，）；頂點式：（，為常數，）；拋物線的頂點P（h，k） 兩根式（交點式）：（，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.僅限于與x軸有兩個交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線，即0 其中 (即一元二次方程求根公式)注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系: 注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數解析式的這三種形式可以互化.二次函數與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中3、二次函數解析式的確定：根據已知條件確定二次函數解析

10、式，通常利用待定系數法用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式4、二次函數圖象的畫法五點繪圖法： 利用配方法將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標; 然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點

11、）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.3、 二次函數的圖像：拋物線（1）對稱性：拋物線是軸對稱圖形。對稱軸：直線,對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）（2）拋物線有一個頂點P，當=0時，P在y軸上；當= =0時，P在x軸上。4、 a.b.c與拋物線的關系（是二次項系數，是一次項系數，是常數項）y=5x2y=x2xy（1）a決定拋物線的開口方向和大小：開口方向：a為正(a0)，開口朝上，有最小值；a為負(a0)，開口朝下，有最大值；開口大?。篴 的絕對值越大，拋物線的開口越小。（2）a、b共同決定

12、的符號決定對稱軸的位置，分兩種情況：當a與b同號時（即ab0），對稱軸在y軸左側；當a與b異號時（即ab0），對稱軸在y軸右側。概括的說就是“左同右異” （3）常數項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交于（0，c），分三種情況： 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正； 當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為； 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的6、拋物線與x軸交點個數= 0時，拋物線與x軸有2個交點。A（x1,0）和B（x2,0）=0時，拋物線與x軸有1個交點。頂點P= 0

13、時，拋物線與x軸沒有交點。y=0x0yx0yxABP配圖：開口向上(開口向下，情況類似)7、類比一元二次方程的根的情況：特別地，二次函數（以下稱函數）當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程（以下稱方程），即此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。 8、二次函數的圖像和性質0yxO0圖 象開 口對 稱 軸頂點坐標最 值當x 時，y有最 值，y當x 時，y有最 值，y增減性在對稱軸左側y隨x的增大而 y 隨x的增大而 在對稱軸右側y隨x的增大而 y隨x的增大而 9. 應用：（1）最大面積；（2）最大利潤；（3）其它10、二次函數圖象的平移 1. 平移步

14、驟：方法一： 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移？ 2. 平移規(guī)律 在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”概括成八個字“左加右減，上加下減” 方法二：沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）綜合練習（1）下列函數， . . ；其中是y關于x的反比例函數的有：_。（2）函數是反比例函數，則的值是（） A1 B2 C2 D2或2（3）如果是的反比例函數，是的反比例函數，那么是的（ ） A反比例函數 B正比例函數 C一次函數 D反比例或正比例函數（4）如果是的正比例函數，是的反比

15、例函數，那么是的（ ）（5）如果是的正比例函數，是的正比例函數，那么是的（ ）（6）反比例函數的圖象經過（2，5）和（， ），求（1）的值；（2）判斷點B（，）是否在這個函數圖象上，并說明理由（7）已知函數，其中與成正比例, 與成反比例，且當1時，1；3時，5求：（1）求關于的函數解析式；（2）當2時，的值（8）若反比例函數的圖象在第二、四象限，則的值是（ ）A、 1或1; B、小于的任意實數; C、1; 、不能確定（9）已知，函數和函數在同一坐標系內的圖象大致是（ ）(10)、如圖，正比例函數與反比例函數的圖象相交于A、C兩點，過點A作AB軸于點B，連結BC則ABC的面積等于（）A1B2C4

16、D隨的取值改變而改變11、已知函數，其中成正比例,成反比例,且當12、（8分）已知,正比例函數圖象上的點的橫坐標與縱坐標互為相反數,反比例函數在每一象限內的增大而減小,一次函數過點.（1）求的值.（2）求一次函數和反比例函數的解析式.二次函數提高題:1 是二次函數，則的值為（ ）A0或3B0或3C0D32已知二次函數與軸的一個交點A（2，0），則值為（ ）A2B1C2或1D任何實數3與形狀相同的拋物線解析式為（ ）ABCD4關于二次函數，下列說法中正確的是（ ）A若，則隨增大而增大B時，隨增大而增大。C時，隨增大而增大D若，則有最小值5函數經過的象限是（ ）A第一、二、三象限 B第一、二象限

17、C第三、四象限 D第一、二、四象限6已知拋物線，當時，它的圖象經過（）A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第一、三、四象限 D第一、二、三、四象限7對的敘述正確的是（ ）A當1時，最大值2B當1時，最大值8C當1時，最大值8D當1時，最大值28二次函數的圖象過點（1，0）、（0，3），對稱軸1求函數解析式；5、 圖象與軸交于A、B（A在B左側），與y軸交于C，頂點為D，求四邊形ABCD的面積9、拋物線與的形狀相同，而開口方向相反，則=（ ）（A） （B） （C） （D）10把二次函數配方成頂點式為（ ）AB CD11函數的圖象與軸有交點，則的取值范圍是（ ）AB C D12、若拋物線的開

18、口向下，頂點是（1，3），隨的增大而減小，則的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） (D)13拋物線過第二、三、四象限，則 0， 0， 014拋物線可由拋物線向 平移 個單位得到15頂點為（2，5）且過點（1，14）的拋物線的解析式為 16對稱軸是軸且過點A（1，3）、點B（2，6）的拋物線的解析式為 17已知拋物線與軸交于點A，與軸的正半軸交于B、C兩點，且BC=2，SABC=3，則= ，= 18、已知二次函數 的圖象經過點（1，0）和（-5，0）兩點，頂點縱坐標為，求這個二次函數的解析式。對稱軸、頂點、平移：1.拋物線的頂點坐標為 2.拋物線的頂點坐標是 3.拋物線與軸的一個交點為，則這

19、個拋物線的頂點坐標是4.二次函數的最小值是 5.已知二次函數的對稱軸和軸相交于點，則的值為_6.拋物線的對稱軸是直線 7.將拋物向左平移1個單位后，得到的拋物線的解析式是 8.把拋物線向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式是，則有a、b、c的值分別是 圖像交點、判別式：9.已知拋物線與軸相交于兩點，且線段，則的值為 10.已知二次函數不經過第一象限，且與軸相交于不同的兩點，請寫出一個滿足上述條件的二次函數解析式 11.若拋物線的頂點在軸的下方，則的取值范圍是（）12.已知二次函數，且，則一定有（ ）A. B. C. D. 0利用圖像：1若直線ym（m為常數）與函數y的圖像恒有三個不同的交點， m的取值范圍是。2.下列圖形：其中，陰影部分的面積相等的是（）3.若為二次函數的圖象上的三點，則的大小關系是（ ）4.二次函數圖象上部分點的對應值如下表：012346006則使的的取值范圍為5.二次函數和反比例函數在同一坐標系中的圖象大致是（）O6.二次函數的圖象如圖所示，則直線的圖象不經過（）第一象限 第二象限 第三象限第四象限7.在同一平面直角坐標系中，一次