數學準備—矢量及其運算1.ppt

1、數學預備知識 矢量及其運算,一、矢量的概念 1.矢量的定義既有大小又有方向的量叫做矢 量（向量） 記 號： 大小表示：F 標量：僅有大小的量叫做標量 如：質量m 、時間 t、 路程 s、動能Ek 、勢能 Ep 等。 標量僅有大小沒有方向但有正負，如溫度 t,AB,2. 矢量的圖形表示：帶有箭頭的線段 線段長度矢量大小 箭頭指向矢量的方向,F=5N，方向為水平向右,3. 兩矢量相等的條件：大小相等，方向相同.與起點無關,4.矢量可以平移,二. 矢量的加法 1.矢量加法的平行四邊形法則 兩矢量 與 的和是以這兩個矢量為兩邊的平行四邊形的對角線矢量 ,記為：,5. 負矢量兩矢量等大反向互稱為負矢量,

2、=,+,矢量加法的表示式,通常將這種用平行四邊形的對角線來求出兩矢量和的方法叫矢量加法的平行四邊形法則.,稱為 、 的合矢量 、 稱為 的兩個分矢量 據余弦定理： , c矢量的大小,規(guī)定： 矢量的方向是： 與任一分矢量之間 的夾角。 矢量的定義 : 既有大小又有方向,加法運算 時滿足平行四邊形法則的物理量叫做矢量。,a,兩矢量相加，要將一個矢量的起點移到另一個矢量的終點，然后連結一矢量的始點和另一矢量的終點,即為兩矢量的和。 由于三個矢量構成一個三角形，所以稱為矢量加法的三角形法則。 應當注意：合矢量可大于、等于、小于其它任一分矢量,或,2.矢量加法的三角形法則,即 三角形的任一邊可大于、等于

3、、小于其 它任一邊,依次作出各個矢量，其中后一個矢量的起點正好是前一個矢量的終點，那么從第一個矢量的起點到最后一個矢量的終點所引的矢量，即它們的矢量和.此時所有的分矢量與合矢量圍成一個多邊形.所以稱為矢量加法的多邊形法則。,3.矢量加法的多邊形法則,在共點力的作用下，物體處于平衡狀態(tài) 時，合力為零，構成一個封閉的多邊形 多力平衡力多邊形自行封閉.,注：三力平衡時，構成一個封閉的三角形. 三力平衡力三角形自行封閉,三.矢量的減法1.矢量減法的平行四邊形法則,可見求 與 的差即求 與 的和，可以按平行四邊形法則或三角形法則計算即矢量的減法實質上仍是矢量的加法，矢量的加、減法統(tǒng)稱為矢量的合成.,2.

4、矢量減法的三角形法則 兩矢量相減，要將它們移到一個共同的起點，然后從減項矢量的終點向被減項矢量的終點所引的矢量即為所求之差。如：,小結：由分矢量求合矢量（加法）或由合矢量求分 矢量（減法），從數學角度來說就是求解三角形的 邊和角的問題,因此一切解算三角形的數學方法均 可使用。,可見：,如：正弦定理、余弦定理、勾股定理、等邊三角形、 相似三角形、全等三角形、菱形特性等都可以使用。 注意：.已知合矢量F的大小和方向與另一個分矢量 F1的方向，則另一個分矢量F2與F1相互垂直時F2有極 小值 且 .已知一個分矢量F1的大小和方向與合矢量F的方 向，則另一個分矢量F2與合矢量F相互垂直時 有極小 值

5、即：,F2,四. 矢量的正交分解合成法（矢量的正交分解法）,矢量的加、減法的平行四邊形法則或三角形法 則,均為矢量合成的幾何法，用幾何法處理兩個矢量的 合成還是比較簡單的，但對于多個矢量的合成問題再 用幾何法就顯得麻煩了.為解決此問題人們引入了矢量 合成的解析法正交分解合成法，從而將矢量計算 轉化為代數計算，使多個矢量的合成問題變的簡單了。 1.正交分解：一個矢量 a 對應一個平行四邊形 的對角線，一個對角線對應有無數個平行四邊形，而 一個矢量可以由平行四邊形法則分解為無數對分矢 量，在這無數對分矢量中必然包括一對相互垂直的分 矢量。,將一個矢量在選定的直角坐標系中，沿兩個坐 標軸的方向分解矢

6、量的正交分解法。 如右圖所示： 矢量 的方向： 矢量 的大小:, 矢量a與x軸正向夾角,（可正、可負）,（可正、可負）,注：已知一個矢量的大小和方向，它在直角坐 標系中的分量唯一確定,反之已知一個矢量在直角坐 標系中的兩個分量則可完全確定該矢量的大小和方 向。 2. 正交合成 求： 解：,又,方向 ：,再求 ：,解 ：,再如：計算,計算,例：已知 方向如圖，求合力F. 解：利用正交分解合成法,=-155 =-124N,=-300 =-212N,=300 =212N,F與x軸負方向夾角為55,F與x軸方向夾角,五 在同一直線上的矢量的運算,在同一直線上的矢量其方向僅有兩個,因此可以 用正、負兩個

7、符號表示兩個方向，具體做法是：沿著 矢量所在的直線選定一個正方向,即建立一維坐標系 （直線坐標系）.凡方向與正方向相同的矢量取正 值，凡方向與正方向相反的矢量取負值。這樣用一個 帶有正、負號的數值把矢量的大小和方向都表示出 來，從而將同一直線上的矢量運行轉化為代數運算， 實際上這也是平行四邊形法則在特殊情況下的運用。 如：a=5 b=-3 c=a+b=5-3=2,方向與正方向同,當然也可用平行四邊形法則：,或 ,六. 兩矢量的乘法 1. 兩矢量的點積（數量積） 定義：兩個矢量 和 的乘積定義為 兩矢量之間的夾角。,C矢量大小為2方向與規(guī)定正方向相反,b=3 a=-5,c=a+b,=-5+3 =-2,注：由于這種矢量的乘法是在 和 之間 放上一點來表示的，因此積得點積。由于這種 乘積的實際定義是 ，這是一個數量 （標量），因此又稱為數量積。 如：物體向右運動 求力F可作的功W=？,2.兩矢量的叉積（矢量積） 定義：兩個矢量 和