高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題及參考答案第一章

1、高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題及參考答案（第一章）習(xí)題1-1 1. 設(shè)A=(-, -5)(5, +), B=-10, 3), 寫(xiě)出AB, AB, AB及A(AB)的表達(dá)式. 解 AB=(-, 3)(5, +), AB=-10, -5), AB=(-, -10)(5, +), A(AB)=-10, -5). 2. 設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合, 證明對(duì)偶律: (AB)C=AC BC . 證明 因?yàn)?x(AB)CxAB xA或xB xAC或xBC xAC BC, 所以 (AB)C=AC BC . 3. 設(shè)映射f : X Y, AX, BX . 證明 (1)f(AB)=f(A)f(B); (2)f(AB)f(A)f(B

2、). 證明 因?yàn)?yf(AB)$xAB, 使f(x)=y (因?yàn)閤A或xB) yf(A)或yf(B) yf(A)f(B), 所以 f(AB)=f(A)f(B). (2)因?yàn)?yf(AB)$xAB, 使f(x)=y(因?yàn)閤A且xB) yf(A)且yf(B) y f(A)f(B),所以 f(AB)f(A)f(B). 4. 設(shè)映射f : XY, 若存在一個(gè)映射g: YX, 使, , 其中IX、IY分別是X、Y上的恒等映射, 即對(duì)于每一個(gè)xX, 有IX x=x; 對(duì)于每一個(gè)yY, 有IY y=y. 證明: f是雙射, 且g是f的逆映射: g=f -1. 證明 因?yàn)閷?duì)于任意的yY, 有x=g(y)X,

3、且f(x)=fg(y)=Iy y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f為X到Y(jié)的滿(mǎn)射. 又因?yàn)閷?duì)于任意的x1x2, 必有f(x1)f(x2), 否則若f(x1)=f(x2)g f(x1)=gf(x2) x1=x2. 因此f既是單射, 又是滿(mǎn)射, 即f是雙射. 對(duì)于映射g: YX, 因?yàn)閷?duì)每個(gè)yY, 有g(shù)(y)=xX, 且滿(mǎn)足f(x)=fg(y)=Iy y=y, 按逆映射的定義, g是f的逆映射. 5. 設(shè)映射f : XY, AX . 證明: (1)f -1(f(A)A; (2)當(dāng)f是單射時(shí), 有f -1(f(A)=A . 證明 (1)因?yàn)閤A f(x)=yf(A) f -1(y)=

4、xf -1(f(A), 所以 f -1(f(A)A. (2)由(1)知f -1(f(A)A. 另一方面, 對(duì)于任意的xf -1(f(A)存在yf(A), 使f -1(y)=xf(x)=y . 因?yàn)閥f(A)且f是單射, 所以xA. 這就證明了f -1(f(A)A. 因此f -1(f(A)=A . 6. 求下列函數(shù)的自然定義域: (1); 解 由3x+20得. 函數(shù)的定義域?yàn)? (2); 解 由1-x20得x1. 函數(shù)的定義域?yàn)?-, -1)(-1, 1)(1, +). (3); 解 由x0且1-x20得函數(shù)的定義域D=-1, 0)(0, 1. (4); 解 由4-x20得 |x|0得函數(shù)的定義

5、域D=(-1, +). (10). 解 由x0得函數(shù)的定義域D=(-, 0)(0, +). 7. 下列各題中, 函數(shù)f(x)和g(x)是否相同？為什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x; (2) f(x)=x, g(x)=; (3),. (4)f(x)=1, g(x)=sec2x-tan2x . 解 (1)不同. 因?yàn)槎x域不同. (2)不同. 因?yàn)閷?duì)應(yīng)法則不同, x0, 1-x20. 因?yàn)楫?dāng)x1x2時(shí), , 所以函數(shù)在區(qū)間(-, 1)內(nèi)是單調(diào)增加的. (2)對(duì)于任意的x1, x2(0, +), 當(dāng)x1x2時(shí), 有 , 所以函數(shù)y=x+ln x在區(qū)間(0, +)內(nèi)是單調(diào)增加

6、的. 10. 設(shè) f(x)為定義在(-l, l)內(nèi)的奇函數(shù), 若f(x)在(0, l)內(nèi)單調(diào)增加, 證明f(x)在(-l, 0)內(nèi)也單調(diào)增加. 證明 對(duì)于x1, x2(-l, 0)且x1-x2. 因?yàn)閒(x)在(0, l)內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù), 所以f(-x2)f(-x1), -f(x2)f(x1), 這就證明了對(duì)于x1, x2(-l, 0), 有f(x1)0); 解 由0x+a1得-ax1-a, 所以函數(shù)f(x+a)的定義域?yàn)?a, 1-a. (4) f(x+a)+f(x-a)(a0). 解 由0x+a1且0x-a1得: 當(dāng)時(shí), ax1-a; 當(dāng)時(shí), 無(wú)解. 因此當(dāng)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)閍, 1-

7、a, 當(dāng)時(shí)函數(shù)無(wú)意義. 18. 設(shè), g(x)=ex , 求fg(x)和gf(x), 并作出這兩個(gè)函數(shù)的圖形. 解 , 即. , 即. 19. 已知水渠的橫斷面為等腰梯形, 斜角j=40(圖1-37). 當(dāng)過(guò)水?dāng)嗝鍭BCD的面積為定值S0時(shí), 求濕周L(L=AB+BC+CD)與水深h之間的函數(shù)關(guān)系式, 并指明其定義域. 圖1-37 解 , 又從得, 所以. 自變量h的取值范圍應(yīng)由不等式組h0, 確定, 定義域?yàn)? 20. 收斂音機(jī)每臺(tái)售價(jià)為90元, 成本為60元. 廠方為鼓勵(lì)銷(xiāo)售商大量采購(gòu), 決定凡是訂購(gòu)量超過(guò)100臺(tái)以上的, 每多訂購(gòu)1臺(tái), 售價(jià)就降低1分, 但最低價(jià)為每臺(tái)75元. (1)將

8、每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)p表示為訂購(gòu)量x的函數(shù); (2)將廠方所獲的利潤(rùn)P表示成訂購(gòu)量x的函數(shù); (3)某一商行訂購(gòu)了1000臺(tái), 廠方可獲利潤(rùn)多少？ 解 (1)當(dāng)0x100時(shí), p=90. 令0.01(x0-100)=90-75, 得x0=1600. 因此當(dāng)x1600時(shí), p=75. 當(dāng)100xN時(shí), xn與其極限之差的絕對(duì)值小于正數(shù)e , 當(dāng)e =0.001時(shí), 求出數(shù)N. 解 . . e 0, 要使|x n-0|N, 有|xn-0|0, $, 當(dāng)nN時(shí), 有, 所以. (2); 分析 要使, 只須, 即. 證明 因?yàn)閑0, $, 當(dāng)nN時(shí), 有, 所以. (3); 分析 要使, 只須. 證明 因?yàn)?/p>

9、e0, $, 當(dāng)nN時(shí), 有, 所以. (4). 分析 要使|0.99 9-1|, 只須0, $, 當(dāng)nN時(shí), 有|0.99 9-1|0, $NN, 當(dāng)nN時(shí), 有, 從而|un|-|a|un-a|0, $NN, 當(dāng)nN時(shí), 有. 從而當(dāng)nN時(shí), 有 , 所以. 6. 對(duì)于數(shù)列xn, 若x2k-1a(k), x2k a(k ), 證明: xna(n). 證明 因?yàn)閤2k-1a(k), x2k a(k ), 所以e0, $K1, 當(dāng)2k-12K1-1時(shí), 有| x2k-1-a|2K2時(shí), 有|x2k-a|N, 就有|xn-a|e . 因此xna (n).習(xí)題1-3 1. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

10、 (1); 分析 因?yàn)?|(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|, 所以要使|(3x-1)-8|0, $, 當(dāng)0|x-3|d時(shí), 有 |(3x-1)-8|e , 所以. (2); 分析 因?yàn)?|(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|, 所以要使|(5x+2)-12|0, $, 當(dāng)0|x-2|d時(shí), 有 |(5x+2)-12|0, $, 當(dāng)0|x-(-2)|0, $, 當(dāng)時(shí), 有 , 所以. 2. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明: (1); 分析 因?yàn)?, 所以要使, 只須, 即. 證明 因?yàn)閑 0, $, 當(dāng)|x|X時(shí), 有 , 所以. (2). 分析 因?yàn)?. 所以要使, 只須,

11、 即. 證明 因?yàn)閑0, $, 當(dāng)xX時(shí), 有 , 所以. 3. 當(dāng)x2時(shí), y=x24. 問(wèn)d等于多少, 使當(dāng)|x-2|d時(shí), |y-4|0.001？ 解 由于當(dāng)x2時(shí), |x-2|0, 故可設(shè)|x-2|1, 即1x3. 要使 |x2-4|=|x+2|x-2|5|x-2|0.001, 只要. 取d=0.0002, 則當(dāng)0|x-2|d時(shí), 就有|x2-4|X時(shí), |y-1|0.01? 解 要使, 只要, 故. 5. 證明函數(shù)f(x)=|x|當(dāng)x0時(shí)極限為零. 證明 因?yàn)?|f(x)-0|=|x|-0|=|x|=|x-0|, 所以要使|f(x)-0|e, 只須|x|0, $d=e, 使當(dāng)0|x-

12、0|d, 時(shí)有 |f(x)-0|=|x|-0|0, $X10, 使當(dāng)x-X1時(shí), 有|f(x)-A|0, 使當(dāng)xX2時(shí), 有|f(x)-A|X時(shí), 有|f(x)-A|0, $d0, 使當(dāng)0|x-x0|d 時(shí), 有|f(x)-A|e . 因此當(dāng)x0-dxx0和x0xx0+d 時(shí)都有|f(x)-A|0, $d10, 使當(dāng)x0-d1xx0時(shí), 有| f(x)-A0, 使當(dāng)x0xx0+d2時(shí), 有| f(x)-A|e . 取d=mind1, d2, 則當(dāng)0|x-x0|d 時(shí), 有x0-d1xx0及x0xx0+d2 , 從而有| f(x)-A|0及M0, 使當(dāng)|x|X時(shí), |f(x)|0, 當(dāng)|x|X時(shí)

13、, 有|f(x)-A|e =1. 所以 |f(x)|=|f(x)-A+A|f(x)-A|+|A|0及M0, 使當(dāng)|x|X時(shí), |f(x)|0, $d=e , 當(dāng)0|x-3|0, $d=e , 當(dāng)0|x-0|104？ 證明 分析, 要使|y|M, 只須, 即. 證明 因?yàn)镸0, $, 使當(dāng)0|x-0|104. 4. 求下列極限并說(shuō)明理由: (1); (2). 解 (1)因?yàn)? 而當(dāng)x 時(shí)是無(wú)窮小, 所以. (2)因?yàn)?x1), 而當(dāng)x0時(shí)x為無(wú)窮小, 所以. 5. 根據(jù)函數(shù)極限或無(wú)窮大定義, 填寫(xiě)下表:f(x)Af(x)f(x)+f(x)-xx0e0, $d0, 使當(dāng)0|x-x0|d時(shí), 有恒|

14、f(x)-A|0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒|f(x)|M.x+x-解f(x)Af(x)f(x)+f(x)-xx0e0, $d0, 使當(dāng)0|x-x0|d時(shí), 有恒|f(x)-A|0, $d0, 使當(dāng)0|x-x0|M.M0, $d0, 使當(dāng)0|x-x0|M.M0, $d0, 使當(dāng)0|x-x0|d時(shí), 有恒f(x)0, $d0, 使當(dāng)0x-x0d時(shí), 有恒|f(x)-A|0, $d0, 使當(dāng)0x-x0M.M0, $d0, 使當(dāng)0x-x0M.M0, $d0, 使當(dāng)0x-x0d時(shí), 有恒f(x)0, $d0, 使當(dāng)0x0-xd時(shí), 有恒|f(x)-A|0, $d0, 使當(dāng)0x0-xM.M0,

15、$d0, 使當(dāng)0x0-xM.M0, $d0, 使當(dāng)0x0-xd時(shí), 有恒f(x)0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒f(x)M.e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒f(x)0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒f(x)M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒f(x)0, $X0, 使當(dāng)x-X時(shí), 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使當(dāng)xM.e0, $X0, 使當(dāng)xM.e0, $X0

16、, 使當(dāng)x-X時(shí), 有恒f(x)0, 在(-, +)內(nèi)總能找到這樣的x, 使得|y(x)|M. 例如y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2, ), 當(dāng)k充分大時(shí), 就有| y(2kp)|M. 當(dāng)x+ 時(shí), 函數(shù)y=xcos x不是無(wú)窮大. 這是因?yàn)镸0, 找不到這樣一個(gè)時(shí)刻N(yùn), 使對(duì)一切大于N的x, 都有|y(x)|M. 例如(k=0, 1, 2, ), 對(duì)任何大的N, 當(dāng)k充分大時(shí), 總有, 但|y(x)|=00, 在(0, 1中總可以找到點(diǎn)xk, 使y(xk)M. 例如當(dāng)(k=0, 1, 2, )時(shí), 有, 當(dāng)k充分大時(shí), y(xk)M. 當(dāng)x0+ 時(shí), 函數(shù)不是

17、無(wú)窮大. 這是因?yàn)?M0, 對(duì)所有的d0, 總可以找到這樣的點(diǎn)xk, 使0xkd, 但y(xk)M. 例如可取(k=0, 1, 2, ), 當(dāng)k充分大時(shí), xkd, 但y(xk)=2kpsin2kp=00, 存在d10, 使得當(dāng)0|x-x0|d1時(shí), 恒有|g(x)-A|e, 即 A-eg(x)0, 存在d20, 使得當(dāng)0|x-x0|d2時(shí), 恒有|h(x)-A|e, 即 A-eh(x)A+e. 取d=mind1, d2, 則當(dāng)0|x-x0|d時(shí), A-eg(x)A+e與A-eh(x)A+e同時(shí)成立, 又因?yàn)?g(x)f(x)h(x), 所以 A-ef(x)A+e, 即 |f(x)-A|0,

18、存在d0, 使得當(dāng)0|x-x0|d時(shí), 恒有 |g(x)-A|e及|h(x)-A|e,即 A-eg(x)A+e及A-eh(x)A+e.又因?yàn)?g(x)f(x)h(x), 所以 A-ef(x)A+e, 即 |f(x)-A|e,因此. 4. 利用極限存在準(zhǔn)則證明: (1); 證明 因?yàn)? 而 且, 由極限存在準(zhǔn)則I, . (2); 證明 因?yàn)?, 而 , , 所以 . (3)數(shù)列, , , 的極限存在; 證明 , (n=1, 2, 3, ). 先證明數(shù)列xn有界. 當(dāng)n=1時(shí), 假定n=k時(shí)xk2, 則當(dāng)n=k+1時(shí), , 所以xn2(n=1, 2, 3, ), 即數(shù)列xn有界. 再證明數(shù)列單調(diào)增

19、. 因?yàn)?, 而xn-20, 所以xn+1-xn0, 即數(shù)列xn單調(diào)增. 因?yàn)閿?shù)列xn單調(diào)增加有上界, 所以此數(shù)列是有極限的. (4); 證明 當(dāng)|x|1時(shí), 則有 1+x1+|x|(1+|x|)n , 1+x1-|x|(1-|x|)n , 從而有 . 因?yàn)?, 根據(jù)夾逼準(zhǔn)則, 有 . (5). 證明 因?yàn)? 所以. 又因?yàn)? 根據(jù)夾逼準(zhǔn)則, 有. 習(xí)題 1-7 1. 當(dāng)x0時(shí), 2x-x2 與x2-x3相比, 哪一個(gè)是高階無(wú)窮??？ 解 因?yàn)? 所以當(dāng)x0時(shí), x2-x3是高階無(wú)窮小, 即x2-x3=o(2x-x2). 2. 當(dāng)x1時(shí), 無(wú)窮小1-x和(1)1-x3, (2)是否同階？是否等價(jià)

20、？ 解 (1)因?yàn)? 所以當(dāng)x1時(shí), 1-x和1-x3是同階的無(wú)窮小, 但不是等價(jià)無(wú)窮小. (2)因?yàn)? 所以當(dāng)x1時(shí), 1-x和是同階的無(wú)窮小, 而且是等價(jià)無(wú)窮小. 3. 證明: 當(dāng)x0時(shí), 有: (1) arctan xx; (2). 證明 (1)因?yàn)?提示: 令y=arctan x, 則當(dāng)x0時(shí), y0), 所以當(dāng)x0時(shí), arctanxx. (2)因?yàn)? 所以當(dāng)x0時(shí), . 4. 利用等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì), 求下列極限: (1); (2)(n, m為正整數(shù)); (3); (4). 解 (1). (2). (3). (4)因?yàn)?(x0), (x0), (x0),所以 . 5. 證明無(wú)窮小的等

21、價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì): (1) a a (自反性); (2) 若a b, 則ba(對(duì)稱(chēng)性); (3)若a b, bg, 則ag(傳遞性). 證明 (1), 所以a a ; (2) 若a b, 則, 從而. 因此ba ; (3) 若a b, bg, . 因此ag.習(xí)題1-8 1. 研究下列函數(shù)的連續(xù)性, 并畫(huà)出函數(shù)的圖形: (1); 解 已知多項(xiàng)式函數(shù)是連續(xù)函數(shù), 所以函數(shù)f(x)在0, 1)和(1, 2內(nèi)是連續(xù)的. 在x=1處, 因?yàn)閒(1)=1, 并且 , . 所以, 從而函數(shù)f(x)在x=1處是連續(xù)的. 綜上所述，函數(shù)f(x)在0, 2上是連續(xù)函數(shù). (2). 解 只需考察函數(shù)在x=-1和x

22、=1處的連續(xù)性. 在x=-1處, 因?yàn)閒(-1)=-1, 并且 , , 所以函數(shù)在x=-1處間斷, 但右連續(xù). 在x=1處, 因?yàn)閒(1)=1, 并且 =f(1), =f(1), 所以函數(shù)在x=1處連續(xù). 綜合上述討論, 函數(shù)在(-, -1)和(-1, +)內(nèi)連續(xù), 在x=-1處間斷, 但右連續(xù). 2. 下列函數(shù)在指出的點(diǎn)處間斷, 說(shuō)明這些間斷點(diǎn)屬于哪一類(lèi), 如果是可去間斷點(diǎn), 則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù): (1), x=1, x=2; 解 . 因?yàn)楹瘮?shù)在x=2和x=1處無(wú)定義, 所以x=2和x=1是函數(shù)的間斷點(diǎn). 因?yàn)? 所以x=2是函數(shù)的第二類(lèi)間斷點(diǎn); 因?yàn)? 所以x=1是函數(shù)的第一類(lèi)

23、間斷點(diǎn), 并且是可去間斷點(diǎn). 在x=1處, 令y=-2, 則函數(shù)在x=1處成為連續(xù)的. (2), x=k, (k=0, 1, 2, ); 解 函數(shù)在點(diǎn)x=kp(kZ)和(kZ)處無(wú)定義, 因而這些點(diǎn)都是函數(shù)的間斷點(diǎn). 因(k0), 故x=kp(k0)是第二類(lèi)間斷點(diǎn); 因?yàn)? (kZ), 所以x=0和(kZ) 是第一類(lèi)間斷點(diǎn)且是可去間斷點(diǎn). 令y|x=0=1, 則函數(shù)在x=0處成為連續(xù)的; 令時(shí), y=0, 則函數(shù)在處成為連續(xù)的. (3), x=0; 解 因?yàn)楹瘮?shù)在x=0處無(wú)定義, 所以x=0是函數(shù)的間斷點(diǎn). 又因?yàn)椴淮嬖? 所以x=0是函數(shù)的第二類(lèi)間斷點(diǎn). (4), x =1. 解 因?yàn)? 所

24、以x=1是函數(shù)的第一類(lèi)不可去間斷點(diǎn). 3. 討論函數(shù)的連續(xù)性, 若有間斷點(diǎn), 判別其類(lèi)型. 解 . 在分段點(diǎn)x=-1處, 因?yàn)? , 所以x=-1為函數(shù)的第一類(lèi)不可去間斷點(diǎn). 在分段點(diǎn)x=1處, 因?yàn)? , 所以x=1為函數(shù)的第一類(lèi)不可去間斷點(diǎn). 4. 證明: 若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)且f(x0)0, 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當(dāng)xU(x0)時(shí), f(x)0. 證明 不妨設(shè)f(x0)0. 因?yàn)閒(x)在x0連續(xù), 所以, 由極限的局部保號(hào)性定理, 存在x0的某一去心鄰域, 使當(dāng)x時(shí)f(x)0, 從而當(dāng)xU(x0)時(shí), f(x)0. 這就是說(shuō), 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當(dāng)xU

25、(x0)時(shí), f(x)0. 5. 試分別舉出具有以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)的例子: (1)x=0, 1, 2, , , n, , 是f(x)的所有間斷點(diǎn), 且它們都是無(wú)窮間斷點(diǎn); 解 函數(shù)在點(diǎn)x=0, 1, 2, , , n, , 處是間斷的,且這些點(diǎn)是函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn). (2)f(x)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|在R上處處連續(xù); 解 函數(shù)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|=1在R上處處連續(xù). (3)f(x)在R上處處有定義, 但僅在一點(diǎn)連續(xù). 解 函數(shù)在R上處處有定義, 它只在x=0處連續(xù). 習(xí)題1-9 1. 求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間, 并求極限, 及. 解 , 函數(shù)在(-, +)內(nèi)除點(diǎn)x=2和x

26、=-3外是連續(xù)的, 所以函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間為(-, -3)、(-3, 2)、(2, +). 在函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)x=0處, . 在函數(shù)的間斷點(diǎn)x=2和x=-3處, , . 2. 設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在點(diǎn)x0連續(xù), 證明函數(shù) j(x)=maxf(x), g(x), y(x)=minf(x), g(x)在點(diǎn)x0也連續(xù). 證明 已知, . 可以驗(yàn)證 , . 因此 , . 因?yàn)?=j(x0),所以j(x)在點(diǎn)x0也連續(xù). 同理可證明y(x)在點(diǎn)x0也連續(xù). 3. 求下列極限: (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7). 解 (1)因?yàn)楹瘮?shù)是初等函數(shù), f(x)在點(diǎn)x=0有定

27、義, 所以 . (2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(sin 2x)3是初等函數(shù), f(x)在點(diǎn)有定義, 所以 . (3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ln(2cos2x)是初等函數(shù), f(x)在點(diǎn)有定義, 所以 . (4) . (5) . (6) . (7) . 4. 求下列極限: (1); (2); (3); (4); (5); (6). 解 (1) . (2) . (3) . (4) . (5). 因?yàn)?, , 所以. (6) . 5. 設(shè)函數(shù), 應(yīng)當(dāng)如何選擇數(shù)a, 使得f(x)成為在(-, +)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)？ 解 要使函數(shù)f(x)在(-, +)內(nèi)連續(xù), 只須f(x)在x=0處連續(xù), 即只須 . 因?yàn)? , 所

28、以只須取a=1. 習(xí)題1-10 1. 證明方程x5-3x=1至少有一個(gè)根介于1和2之間. 證明 設(shè)f(x)=x5-3x-1, 則f(x)是閉區(qū)間1, 2上的連續(xù)函數(shù). 因?yàn)閒(1)=-3, f(2)=25, f(1)f(2)0, 所以由零點(diǎn)定理, 在(1, 2)內(nèi)至少有一點(diǎn)x(1x0, b0, 至少有一個(gè)正根, 并且它不超過(guò)a+b. 證明 設(shè)f(x)=asin x+b-x, 則f(x)是0, a+b上的連續(xù)函數(shù). f(0)=b, f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=asin(a+b)-10. 若f(a+b)=0, 則說(shuō)明x=a+b就是方程x=asinx+b的一個(gè)不超過(guò)a+b的根; 若f(a+b)0, 則f(0)f(a+b)0, 由零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn)x(0, a+b), 使f(x)=0, 這說(shuō)明x=x 也是方程x=asinx+b的一個(gè)不超過(guò)a+b的根. 總之, 方程x=asinx+b至少有一個(gè)正根, 并且它不超過(guò)a+b. 3. 設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)于閉區(qū)間a,