概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第七章正態(tài)總體的區(qū)間總計

1、1,前面，我們討論了參數(shù)的點估計. 它是用樣本算的一個值去估計未知參數(shù). 但是，點估計僅僅給出了未知參數(shù)的一個近似值，它沒有反映出這種估計的精度.區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個不足之處.,7.4 正態(tài)總體的區(qū)間估計,2,可信度：越大越好,估計你的年齡 八成在2128歲之間,被估參數(shù),可信度,范圍、區(qū)間,區(qū)間：越小越好,3,引例 在估計湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個實際樣本，得到魚數(shù)N的最大似然估計為1000條.,實際上，N的真值可能大于1000條， 也可能小于1000條.,為此，我們希望確定一個區(qū)間 來估計參數(shù)真值,4,a 使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.,這里所說的“可靠程度

2、”是用概率來度量的,b 區(qū)間估計的精度要高.,5,設(shè)X1 ，X2,，Xn為來自總體XF(x;)的一個樣本， 是未知參數(shù). 若對于給定的 （0 1），存在兩個統(tǒng)計量,使得對任意的 滿足,一 置信區(qū)間的定義,6,則稱隨機區(qū)間 為參數(shù) 的置信水平(confidence level)為1- 的置信區(qū)間(confidence interval).,置信水平又稱為置信度，置信區(qū)間的左端點 又稱為置信下界，置信區(qū)間的右端點 又稱為置信上界.,7,8,1. 要求 以很大的可能被包含在區(qū)間,內(nèi)，就是說，概率 要盡可能大.,即要求估計盡量可靠.,可靠度與精度是一對矛盾， 一般是在保證可靠度的條件下 盡可能提高精度

3、.,9,二 構(gòu)造置信區(qū)間的方法,1. 樞軸量法,10,(3) 利用不等式運算，將不等式,(2) 適當(dāng)選取兩個常數(shù)a, b，使對給定的，有,等價變形為,11,即,此時參數(shù) 的置信水平為1- 的置信區(qū)間為,12,2. 如何確定a , b,我們總是希望置信區(qū)間盡可能短.,任意兩個數(shù)a和b，只要它們的縱標(biāo)包含f(u)下95%的面積，就確定一個95%的置信區(qū)間.,13,在 概率密度為單峰且對稱的情形，當(dāng)a =-b時求得的置信區(qū)間的長度為最短.,14,即使 的概率密度不對稱的情形，如 分布，F(xiàn)分布，習(xí)慣上仍取對稱的百分位點來計算未知參數(shù)的置信區(qū)間.,15,三 正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計,16,N(0,

4、1),選 的點估計為,求參數(shù) 的置信水平為 的置信區(qū)間.,例1 設(shè)X1,Xn是取自 的樣本，,解：,尋找一個待估參數(shù)和 估計量的函數(shù) ，要求 其分布為已知.,有了分布，就可以求出 Z取值于任意區(qū)間的概率.,17,對給定的置信水平,對于給定的置信水平, 根據(jù)Z的分布， 確定一個區(qū)間, 使得Z取值于該區(qū)間的 概率為置信水平.,使,18,對給定的置信水平,使,從中解得,19,的一個置信水平為 的置信區(qū)間,置信區(qū)間的長度為,20,說明：,(2)置信區(qū)間的中心是樣本均值,(3)置信水平 越大， 越大，因此 置信區(qū)間越長,(4)樣本容量n越大，置信區(qū)間越短,置信區(qū)間的長度為,(1)L越小，置信區(qū)間提供的信

5、息越精確,21,22,因方差未知，則,不是統(tǒng)計量.,想法：用樣本均方差 S 代替.,23,于是取,對給定的置信水平 ,確定分位數(shù),使,即,24,從中解得,25,例2 有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機的取16袋，稱得重量(以克記)如下：,設(shè)每袋糖果的重量近似服從正態(tài)分布，試求總體均值 的置信水平為0.95的置信區(qū)間,506 508 499 503 504 510 497 512,514 505 493 496 506 502 509 496,26,解：這是單總體方差未知，總體均值 的區(qū)間估計問題.,根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，算得,這里,均值 的置信水平為 的置信區(qū)間為,27,均值 的置信水平為0.95 的置信區(qū)間為,28,取樞軸量,從中解得,(2)方差 的置信水平為 的置信區(qū)間.,29,方差 的置信水平為 的置信區(qū)間為,標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平為 的置信區(qū)間.,30,例3 求例2中總體標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平 為0.95的置信區(qū)間,解：,根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，算得,這里,31,標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平為 的置信區(qū)間.,代入具體數(shù)值算得,32,正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間,33,34,35,36,37,38,39,40,因此所求置信區(qū)間為,41,由于所得置信區(qū)間包含0，實際中，